2025年中考数学总复习：全等模型高效拆分特训

01几何压柚题高效拆分等训

专题~全等模型高效拆分特训

%;勿/%特训1旋转全等（一）一线三等角模型,勿勿勿

1.如图，AC=AB=BD,ZABD=9Q°,BC=6,则△BCD的面积为

2.如图，把两个腰长相等的等腰三角形拼接在一起，腰AD=AR=AC,ND4c=90。，作CE±AF

于E,连接DE.若CE=12,DE=DF,求AC的长.

%%加，特训2旋转全等（二）手拉手模型%加物，

II模型解读

条件：如图，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE.

B、DA

J7^

。A

结论：AACD/LABE.

顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形一全等三角形.

II典题训练

【熟悉模型】

如图①，已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且N54C=NZME,求

证：BD=CE；

【运用模型】

如图②，尸为等边三角形ABC内一点，^.PA：PB：PC=3：4：5,求NAP3的度数.小明在

解决此问题时，根据前面的“手拉手模型”，以3尸为边构造等边三角形这样就有两个

等边三角形共顶点3然后连接CM,通过转化的思想求出了NAPB的度数，则NAPB的度数

为;

【深化模型】

如图③，在四边形ABCD中，AD=4,CD=3,ZABC=ZACB=ZADC=45°,求3。的长.

①②③

切；切勿，特训3旋转全等（三）半角模型,勿勿勿

II模型解读

A

BDEC

等腰直角三角形中的“半角模型”（如图）：

条件：在△ABC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,ZDAE=45°.

方法：将△A3。绕点A逆时针旋转90。，得到△ACR,连接EE

结论：XADEQXAFE,DE2=BD2+CE2.

正方形中的“半角模型”（如图）：

AD

GBEC

条件：在正方形ABCD中，ZEAF=45°.

方法：将△ADR绕点A顺时针旋转90。，得到△ABG.

结论：AAEF^AAEG,EF=BE+DF,EF-=CE2+CF2,

物平分NDRE,EA平分/BEF.

I!典题训练

如图，在正方形ABCD中，E,R分别是边BC,CD上的点（不与端点重合），且NEAR=45。.

⑴求证：EF=BE+DF；

（2）连接3D,分别交AE,AR于点“，N,试探究MN,DN之间的数量关系，并说明理

由.

BEC

奶办特训4中点模型（一）倍长中线（或作平行线）%加明，

II模型解读

条件：如图，A。为△A3C的中线.

方法1:如图①，延长中线A。至D,使得。0=A。，连接3D

方法2:如图②，过点3作3D〃AC交A。的延长线于点D

结论：AAOC^ADOB.

II典题训练

1.如图，AD是△ABC的中线，3E交AC于E,交AD于R,且AC=3E求证：AE=FE.

2.如图，在△ABC中，ZA=90°,。为3c的中点，DE±DF,DE交AB于点E,DF交AC

于点E连接EE试猜想线段BE,CF,ER三者之间的数量关系，并证明你的结论.

A

E

BC

D

%%%，特训5中点模型（二）构造中位线/扬％%/

II模型解读

题眼：中线、中点

方法1：再构造另一个中点，变中线为中位线.

示例：如图①，A。为△A3C的中线，延长A4至。，使得AD=A3,

连接CD,可证。4=gc。，OA//CD.

方法2:构造双中位线

示例：如图②，在四边形ABCD中，E,R分别是AD,3c的中点,

取对角线的中点连接ME,MF.

II典题训练

1.如图，在正方形ABCD中，AB=2y[2,E,R分别是边A3,3C的中点，连接EC,FD,G,

H分别是EC,ED的中点，连接GH,则GH的长度为^________

2.如图，四边形A3CD中，AB=CD,E,R分别是边BC,AD的中点，延长R4,CD,分别

交ER的延长线于P,。.求证：/BPE=/Q.

A

BEC

%%加，特训6中点模型(三)平行线证中点,勿勿/力

II模型解读

方法：作平行或作垂直，证中点.

在未知中点的问题中，不能采取倍长中线法，可作平行或垂直，通过三角形的

全等证中点.

鹘典题训练

在△ABC中，AB=AC,点。在射线血上，点E在AC的延长线上，且3D=CE.连接DE,

DE与BC边所在的直线交于点F.

(1)当点。在线段R4上时，如图所示，求证：DF=EF；

(2)过点。作交直线3C于点若3C=4,CF=1,求3H的长.

/加勿勿特训I7中点模型(四)斜边中线4%%/

II模型解读

ZOBD=^ZAOD,ZODA=ZOAD=^ZBOD,ZOCB=ZOBC=^ZAOC,

ZOAC=ZOCA=^ZBOC.

Il典题训练

1.如图，BN,CM分别是△ABC的两条高，。是3c的中点，DELMN于■点、E.

(1)求证：E是MN的中点；

(2)若5c=12,MN=8,则DE=

2.如图，在四边形A3CD中，ZBAD=ZBCD=90°,。为3。的中点，连接。4,AC.^ZADC

=135°,求证：AC=\[20A.

/勿特训8角平分线模型%勿%%

II模型解读

条件：0P平分NAOB

方法一：（垂两边）如图①，过点P分别作PDLO4于。，

PE±0B于E-,

方法二：（垂中间）如图②，过点尸作DEL0P,交。4于。，0B于E;

方法三：（截等线段）如图③，截取0D=0E（点。，E分别在。4,上），连接

PD,PE.

II典题训练

1.如图，△ABC的面积为10,尸为△ABC内一点，BP平分/ABC,AP1BP,则△P3C的面

积为.

A

2.如图，在四边形ABCD中，ZBAD=120°,ZC=60°,5。平分NA3C求证：AD=CD.

D

\

BC

3.如图，在△ABC中，ZA=2ZB,CD平分NAC3交A3于点D求证：BC=AD+AC.

/勿加勿/特训9十字架模型/勿穿%，

II模型解读

A-4夕也

图示盛：曰

BCBHCBHM

正方形ABCD中，若

EF=HK,则过点

正方形ABCD中，若将AM,BN如上图所示E,K分别作

AM±BN,则进行平移，易得HKEN1CD于N,

结论

△ADM之ABAN,=BN=AM=EF,KMLBC于易

・吟

:.AM—BN,即L・・£7厂1,证

AENF^AKMH,

从而得到EF±HK.

II典题训练

⑴感知：如图①，在正方形A3CD中，E,R分别是A3,3C上的点，连接DE,AF,若BE

=CF,求证：DE=AF.

(2)应用：在(1)的条件下，求证：AFLDE.

(3)探究：如图②，在正方形A3CD中，E,R分别为边A3,CD上的点(点E,R不与正方形的

顶点重合)，连接EE作ER的垂线分别交边AD,于点G,H,垂足为。，若E为AB

的中点，DF=1,AB=4,则GH的长为.

/勿加如/特训10对角互补模型,加%勿

鬻模型解读

类型90。的对角互补模型60。、120。的对角互补模型

DFDDD

图示

BCBECBCBEC

ZABC=ZADC=90°,BD平分ZABC=12Q°,ZADC=60°,BD平

条件

ZABC.分/ABC.

过点D分别作DELBC于点E,

作法

DF±BA交BA的延长线于点F.

l.AD=CD;l.AD=CD;

结论2.AB+BC=^2BD;2.AB+BC=BD-,

3.S吟1MABCD=^BD2.

3.S四边形ABC£>=1BD.

II典题训练

1.如图，正方形A3CD的对角线相交于点。，E为A3上一动点.连接OE,作OfUOE交

3C于点E已知A3=2,则四边形E3R9的面积为________.

------FC

2.如图，在四边形A3CD中，ZBAD+ZBCD=1SO°,平分NADC.若NADB=60。，求证:

△ABC是等边三角形.

特训11设参导等角/勿勿分/

II方法技巧

含有等腰三角形的图形中，要证明两个角相等，可以考虑设a,尸导角

证等角.

II典题训练

1.如图，在△ABC中，A3=AC,点。在3c的延长线上，ZADB=45°,过点。作CELA3

于点E,延长EC,交AD的延长线于点R求证：AC=FC.

2.如图，在△ABC中，D,E分别在A3,3C边上，连接AE,CD相交于点F,^ZAFD=2ZABC,

AE=AC,求证：CD=AC.

BEC

01几何压轴题高效拆分特训

专题~全等模型高效拆分特训

%;勿/%特训1旋转全等（一）一线三等角模型,勿勿勿

2.解：如图，过。作于H.

7

ND4c=90。，

/.ZDAH+ZCAE=9Q°.

"：CELAF于E,

：.ZACE+ZCAE=9Q°,

：.ZDAH=ZACE.

VZAHD=ZAEC=9Q°,AD=AC,

：.AADH^ACAE,：.AH=CE=12.

设AC=x,贝l]AP=AD=x,AFH=AF-AH=x~12.

,:DE=DF,DH±FE,：.EH=FH=x~12,

.".AE=AH-EH=12一(x-12)=24一x.

VAC2=AE2+CE2,.*.X2=(24-X)2+122,

，x=15.1.AC的长为15.

特训2旋转全等（二）手拉手模型

【熟悉模型】证明：VZBAC=ZDAE,：.ZBAD=ZCAE.

在△A3。和△ACE中，

'：AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

：.AABD咨AACE,BD=CE.

【运用模型】150°

【深化模型】解：VZACB=ZABC=45°,

E

八

y：\

CB

：.ZBAC=90°,且AC=AA

将△ADB绕点A顺时针旋转90。，得至QAEC,连接DE,如图.

：.AD=AE,ZDAE=9Q°,BD=CE.

：.ZEDA=45°,DE=yl2AD=4y12.

'：ZADC=45°,：.ZEDC=45°+45o=90°.

在RtADCE中，CE=7CD?+DE2K9+32=小1,

：.BD=CE=y[41.

特训3旋转全等(三)半角模型

(1)证明：如图，将△ADR绕点A旋转至△ABG的位置，

：.BG=DF,AG=AF,ZGAB=ZFAD,

：.ZGAF=ZBAD=90°,

：.ZEAG=ZGAF-ZEAF=90°-45°=45°=ZEAF.

X".'AE=AE,.".AEAG^AEAF,

：.GE=EF.

又GE=BE+BG=BE+DF,

：.EF=BE+DF.

(2)解：MN2=BM2+DN2.

理由：如图，将△ABM绕点A旋转至△ADH的位置，连接HN,

：.AH=AM,DH=BM,ZADH=ZABM,ZHAD=ZMAB,

：.ZHAM=ZBAD=90°,

：.ZHAN=ZHAM-ZEAF=90°-45°=45°=ZMAN.

又,：AN=AN,

:.AHANmAMAN,：.HN=MN.

'：四边形ABCD是正方形，ZABM=ZADN=45°,

：.ZADH=ZABM=45°,

：.ZHDN=ZADH+ZADN=90°,

.,.HAF2=DH2+D^2,:.MN-=BM2-\-DN2.

特训4中点模型（一）倍长中线（或作平行线）

1.证明：延长AD到使AD=DM,连接如图.

,.•AD是△ABC的中线，：.CD=BD,

在△ADC和△儿亿＞3中，

DC=DB,

ZADC=ZMDB,

DA=DM,

：.AADC^AMDB,:.BM=AC,ZCAD=ZM.

,:AC=BF,：.BM=BF,：.ZM=ZBFM.

'：ZAFE=ZBFM,：.ZCAD=ZAFE,

：.AE=FE.

2.解：猜想：BE2+CF2=EF2.

证明：延长ED到点G,使DG=ED,连接GRGC,如图.

'：ED±DF,DG=ED,：.EF=GF.

•。是3C的中点，：.BD=CD.

在△BDE和△CDG中，

ED=GD,

ZBDE=ZCDG,

BD=CD,

:ABDE咨ACDG,：.BE=CG,ZB=ZGCD.

VZA=90°,:.NB+/ACB=90。,

：.ZGCD+ZACB=9Q°,即NGCR=90°,

在RtACFG中，GC2+CF2=GF2,

:.BE1+CF2=EF2.

特训5中点模型（二）构造中位线

1.1

2.证明：连接AC,取AC的中点昭连接则ME,“分别为AABC和△ACD的中

位线，

：.ME=^AB,MF=^CD,ME//AB,MF//CD.

'：AB=CD,：.ME=MF,：.ZMEF=ZMFE.

'JME//AB,MF//CD,

：.ZBPE=ZMEF,ZQ=ZMFE,

：.ZBPE=ZQ.

特训6中点模型（三）平行线证中点

（1）证明：如图①，过点。作DG〃AC,交3C于点G.

ZDGB=ZACB.

'：AB=AC,：.ZB=ZACB,

：.ZDGB=ZB,：.BD=GD.

•：BD=CE,：.GD=CE.

,JDG//AC,

：.ZGDF=ZCEF,ZDGF=ZECF,

：.ADGF2AECF,：.DF=EF.

(2)解：当点。在线段B4上时，过点E作交3c的延长线于。，如图②所示,

'：AB=AC,：.ZB=ZACB=ZOCE.

又：ZDHB=ZE0C=9Q°,

BD=CE,:.△DHB经AEOC,

：.BH=CO,

：.H0=HC+C0=HC+HB=BC=4.

'：ZDHF=ZEOF=90°,ZDFH=ZEFO,

由⑴得DE—

丛DHF经AEOF,：.HF=OF=^HO=2.

VCF=1,：.BH=CO=OF~CF=2~1=1；

当点。在册的延长线上时，过点E作E。，3c交3c的延长线于点。，如图③,

同理可证m△EOC,△DHF2AE0F,

：.BH=OC,HF=OF.

：.H0=HC+C0=HC+HB=BC=4r,：.HF=0F=^H0=2.

"：CF=1,：.BH=CO=OF+CF=2+1=3.

综上所述，3H的长为1或3.

特训7中点模型(四)斜边中线

L(1)证明：如图，连接DM,DN.

,：BN,CM分别是ZkABC的两条高,

ZBMC=ZCNB=90°.

•。是3C的中点,

：.DM=^BC,DN=^BC.

：.DM=DN.

\'DE±MN,，E是MN的中点.

(2)2小

2.证明：连接。C,如图.VZBAD=ZBCD=90°,。为3。的中点,

ZABC+ZADC=180°,OA=^BD=OB,OC=^BD=OB,

：.OA=OC.

"：ZADC=135°,：.ZABC=45°.

,?OB=OC,：.ZOBC=ZOCB,

：.ZCOD=2ZCBO,同理可得NAOD=2NA3O.

/.ZAOC=ZAOD+ZCOD=2ZABO+2ZCBO=2(ZABO+ZCBO)=2ZABC=9Q°,

.••△AOC为等腰直角三角形，

：.AC=yj0A2+0C2=y[20A.

特训8角平分线模型

1.5

2.证明：如图，过点。分别作DE,于E,DFLBA,交B4的延长线于点R

•点。在NA3C的平分线上，

：.DE=DF.

VZBAD=12Q°,：.ZDAF=60°,

/.ZDAF=ZC.

'：DELBC,DFLAF,

：.ZF=ZDEC=90°,

：.AADF咨△CDE,：.AD=CD.

3.证明：在3c边上截取EC=AC,连接DE,则BC=BE+EC.

'：CD是NACB的平分线，・•.ZDCE=ZDCA.

(EC=AC,

在△CDE和△OM中，5ZDCE=ZDCA,

[CD=CD,

：.ACDE^ACDA,：.ZCED=ZA,ED=AD.

VZCED=ZB+ZBDE,ZA=2ZB,

：.ZB=ZBDE,：.BE=ED,：.BE=AD,

：.BE+EC=AD+AC,即BC=AD+AC.

特训9十字架模型

(1)证明：•.•四边形A3CD是正方形，

：.AD=AB=BC,