2025年中考数学专项复习：一次函数和反比例函数综合问题（3易错7题型）（原卷版）

通关秘籍04一次函数和反比例函数综合问题

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

■（中考预测

一次函数和反比例函数是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容.每年都有一些考生因为知识

残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分.

I.从考点频率看，一次函数和反比例函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点，所以

对一次函数和反比例函数的图象和性质必须熟记.

2.从题型角度看，以解答题的第三题或第四题为主，分值8分左右，着实不少！

误区点拨

易错点-----次函数与反比例函数中由面积求点坐标

【例1】（2024・广东珠海•模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y=-x+5与了轴交于

点A,与反比例函数y=K的图象的一个交点为3（°,4）,过点B作N8的垂线/.

X

⑴求点A的坐标及反比例函数的表达式；

⑵若点C在直线/上，且“3C的面积为5,求点。的坐标;

易错点拨

本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合-几

何问题，三角形的面积公式，综合性较强，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题

的关键.

I________________________________________________________________________________________________

【例2】（2024•甘肃陇南•一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x-4与反比例函数＞=勺的

X

图象交于4,2两点，与x轴相交于点C,已知点3的坐标分别为（5〃,和（〃55）.

⑴求反比例函数的解析式；

⑵点P为反比例函数＞="图象上任意一点，若SApoc=2SAAOC，求点P的坐标.

【例3】（2024•山东济宁•一模）如图，点4（3,6）,8（6,0）是反比例函数y=%的图象上的两点，连接04、

OB.

⑴求。的值；

⑵求&4O8的面积；

⑶若点。的坐标为（9,0）,点尸是反比例函数图象上的点，若△尸。。的面积等于面积的3倍，求点尸

的坐标.

易错点二一次函数中平移问题

【例1】（2024•河北邯郸・二模）如图，直线4：y=x+4与了轴，X轴交于点A,点3,直线4与了轴，》轴

交于点A,点C,。。=204.

⑴求点A的坐标及直线4的解析式；

⑵点。卜■山+在直线4上.

①直接写出直线4的解析式；

②若点。在内部（含边界），求用的取值范围；

③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线4向上平移〃个单位长度（〃为整数），直线4在第二象限恰有4

个整点，直接写出"的值.

易错点拨

本题是一道一次函数综合问题，考查了求一次函数的解析式；一次函数的上加下减原则；已知点在直

线上的求点的坐标等，需要有解决一次函数的综合能力.

【例2】（2024•河北石家庄•一模）如图，平面直角坐标系中，线段48的端点为4（2,2）,5（4,1）.直线/:y=x+2

与x轴，了轴分别交于C,。两点，动点尸从点。出发，沿了轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，设移

动时间为/秒.某同学设计了一个动画：线段N8为蓝色光带，当有动点或动直线经过线段时，蓝色光带

⑴求直线的解析式；

⑵①若直线/随点尸向下平移，当f=2时，蓝色光带是否变红？

②点M是直线/上的一点，若点”向下平移4个单位长度的过程中，能使蓝色光带变红，求点”的横坐标

xM的取值范围；

⑶当点C,点P与蓝色光带上的点&，"，〃)三点共线时，直接写出加与f的函数关系式.

易错点三一次函数与反比例函数中求线段和的最小值问题

【例1】(2024•甘肃兰州•模拟预测)如图，一次函数y=x+8的图象与反比例函数y=：(x<0)的图象交于

/(a,6),3两点.

⑴求此反比例函数的表达式及点8的坐标；

⑵在y轴上存在点P,使得/P+AP的值最小，求/P+BP的最小值.

易错点拨

本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称最短路径问题，灵活运用所学知识是解题的关键.

【例2】（2023•辽宁盘锦•二模）如图，一次函数>=尤+4的图象与反比例函数y=£（左为常数且左40）的

⑴求此反比例函数的表达式及点8的坐标；

⑵当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出x的取值范围；

⑶在V轴上存在点尸，使得△/尸3的周长最小，求点P的坐标并直接写出41%的周长.

■抢分通关

题型——次函数的图象和性质

［典例精讲一

【例1】（2024,浙江•模拟预测）已知点/（叫,3（碎;，〃2）（加1〈加2）在1次函数y=h+方的图像上.

⑴用含有四，％,加2，“2的代数式表示上的值.

⑵若叫+吗=36,nt+n2=kb+4,6>2.试比较％和内的大小，并说明理由.

通关指导

本题考查一次函数的性质以及一次函数图像上点的坐标特征.

I__________________________________________________________________________________________________

【例2】（2024■浙江杭州・一模）设一次函数夕=依+3。+1（。是常数，。/0）.

⑴无论。取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标：

⑵若2VxV4时，该一次函数的最大值是6,求。的值.

［名校模拟

1.（2024•北京•一模）在平面直角坐标系尤Oy中，一次函数"辰+b（左H0）的图象经过点（0［），（-2,2）,

与x轴交于点/.

⑴求该一次函数的表达式及点/的坐标；

（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数y=2x+加的值大于一次函数y=h+Z>（k#0）的值，直接写出加

的取值范围.

2.（2024•浙江宁波■模拟预测）已知一次函数必=小+"（加”40）.

⑴已知关于x的一元二次方程/+加x-〃=0必有两个不相等的实数根，试说明一次函数%=/尤+"的图象

过第一和第二象限.

⑵在（1）的条件下，已知另一函数%=〃尤+机的图象与力图象的交点在第四象限，求不等式必>%的解.

题型二反比例函数的图象和性质

典例精讲

3—m

【例1】（2024•陕西西安・一模）已知反比例函数>=二上.

x

⑴若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求机的取值范围;

（2）若点/（2,3）在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式.

通关指导

本题考查了反比例函数的图象和性质.

“名校模拟

1.(2024•福建南平•一模)反比例函数>=勺图象经过点/(1,6),B(a,3).

X

⑴求。的值；

⑵若点C(%〃)在反比例函数y=&图象上，其中〃<3,求冽的取值范围.

题型三一次函数和反比例函数与不等式综合问题

典例精讲

【例1】(2024・贵州毕节•一模)如图，一次函数了="+6("0)与反比例函数》=m人0)的图象在第一象

限交于2(2,3)和8(3皿)两点，与x轴交于点C.

⑴求反比例函数和一次函数的表达式；

⑵直接写出关于尤的不等式依+6>&(x>0)的解集.

通关指导

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题.根据反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系

数法求出一次函数的关系式即可；根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出一次函数

大于反比例函数的值的X的取值范围.

L_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

【例2】（2024•陕西宝鸡・一模）如图所示，一次函数必=f+:a图象与反比例函数y,=上图象相交于点4A3）

X

和点2（3,-1）.

⑴求反比例函数解析式；

⑵当乃＞%时，求x的取值范围.

I名校模拟

IId

1.（2024•山西朔州♦一模）如图，反比例函数%=占■（勺＞0,x＞0）与一次函数%=质工+6（左23°）的图象交于

4（2,3）,8卜,|）两点.

⑴求相的值及一次函数的表达式.

⑵直接写出当必〉为时，x的取值范围.

2.（2024•江西九江•一模）如图一次函数y=^+b的图象与反比例函数y=—的图象相交于点/（-I,加）,

5（/7,-1）.

⑴求一次函数的解析式；

⑵结合图象，直接写出不等式丘+6>-色4的解集.

1z，

3.（2024•河南安阳•模拟预测）如图，一次函数y=的图象与反比例函数了=—（左片0）的图象交于

2x

Z（a,l）,8（-2,6）两点，与x轴相交于点C.

⑴求反比例函数的表达式；

⑵观察图象，直接写出不等式1x-l〈上的解集；

2x

⑶若尸（加,0）为X轴上的一动点，连接）?，当△NPC的面积为|•时，求点尸的坐标.

题型四一次函数和反比例函数中求三角形面积问题

典例精讲,

【例1】（2024・山西大同•一模）如图,一次函数卜="+6的图象与反比例函数y=勺左＞0）的图象相交于点

^（6,-3-2«）,点8（”,-3）,与夕轴交于点C.

⑴求一次函数和反比例函数的解析式；

⑵点。是点C关于x轴的对称点，连接BD,求的面积.

通关指导

此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法、关于坐标轴对称等知识，数形结合和

准确计算是解题的关键.

【例2】（2024■吉林白山•一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=f+5的图象与反比例函数

＞=口后＞0）的图象相交于/（1,小）、8（4））两点，与x轴相交于点C,连接04、OB.

⑴求反比例函数的解析式;

⑵求“05的面积.

名校模拟

1.（2024•湖南长沙三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数了=-^》+6与反比例函数》=：（上片°）交

于/（私6）,3（4,-3）两点，与V轴交于点C,连接。4。反

⑴求反比例函数和一次函数的表达式;

⑵求。03的面积.

2.（2024・四川成都•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=3x+b的图象与坐标轴交于点/,B,

与反比例函数y=8（x>0）的图象交于点C（l,a）,D是反比例函数图象上的一个动点，过点。向V轴作垂线与

X

一次函数图象交于点E,其中点A的坐标为（-3,0）.

备用图

⑴求反比例函数的表达式；

⑵连接D8,Z）C,当的面积等于△D8C面积的2倍时，求点E的坐标；

⑶若P是x轴上的一个动点，连接当AZJPE与“03相似时，求点。的纵坐标.

题型五一次函数和反比例函数中求证问题

典例精讲，

【例1】（新考法，拓视野）（2024•河南周口•一模）如图，反比例函数＞=人与正比例函数y=/交于点/（3,2）

和点C,与正比例函数7=6无交于点8和点D

⑴求后与。的值，并求点3,C,。的坐标;

⑵求证：NCBD=NADB.

通关指导

本题考查了反比例函数与正比例函数交点问题，求函数解析式，平行四边形的判定，平行线的性

质，根据函数交点求出求解析式是解题关键.

名校模拟,

1.（2024•湖南怀化•一模）在平面直角坐标系中，点。为坐标原点.如图，一次函数y="+6（a为常数,

awO）与反比例函数＞=工（后为常数，左40）的图象相交于点/（2,5）和点3（m,-4）.

X

⑴求反比例函数与一次函数的解析式；

⑵过点/作y轴的垂线，过点8作x轴的垂线，相交于点C；过点N作x轴的垂线，过点8作y轴的垂线,

相交于点。.求证：C,O,D三点在同一条直线上.

2.（2024•河南平顶山•一模）如图，一次函数了=办+6的图象与反比例函数y=&的图象交于第一象限C（l,4）,

X

D（4,m）两点，与坐标轴交于4、5两点，连接。C,OD（。是坐标原点）.

⑴求一次函数与反比例函数的解析式；

⑵当办+6〈勺时，直接写出x的取值范围；

⑶将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？

题型六一次函数和反比例函数中求线段长问题

典例精讲,

【例1】（2024•广东珠海•一模）如图1.直线y=2x+l与y轴交于点£与反比例函数y=：（x>0）的图象

交于点图2将线段向右平移加个单位长度（加>0）,得到对应线段CD,连接/C,BD.当点

。恰好落在反比例函数图象上时，过点。作《广，x轴于点凡交反比函数图象于点E.

⑴求反比例函数表达式;

⑵求E尸的长度.

通关指导

本题考查求反比例函数，平行四边形的性质，反比例函数与一次函数的综合应用.

j名校模拟

1.（2024•河南•模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数必=h+乂左/0）的图象与反比例函数

%=§（切看0）的图象相交于第二、四象限内的/（-1,3）,3（a,-1）两点，与了轴交于点C.

⑴求该反比例函数和一次函数的解析式；

⑵在X轴上找一点尸，使尸/-PC最大，求尸/-PC的最大值及点尸的坐标.

题型七利用反比例函数的图象和性质探究平移问题

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024•广东深圳•模拟预测）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步

1

研究了函数了=一同的图象与性质.其探究过程如下：

⑴绘制函数图象，如图，

列表：下表是x与了的几组对应值，其中〃?=；

1_

X-33

-2-1~212

m

y-3~2-1-2-1~2-3

描点：根据表中各组对应值（xj）,在平面直角坐标系中描出各点；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整;

⑵通过观察函数图象，写出该函数的一条性质：.

⑶利用函数图象，解不等式2》-3+j<0.

通关指导

本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程.

2

【例2】（2024•陕西西安•一模）乐乐同学在学习了反比例函数的基础上，进一步探究函数了=二的性质.以

x-1

下是他的研究过程，请补充完整.

⑴如表是y与x的几组对应值.

X-i-2-102345

_2j_