2025年中考数学专项复习：四边形的证明与计算问题（9大题型）（原卷版）

中考大题05四边形的证明与计算问题

考情分析•直击中考

四边形在中考数学中是占比较大，考察内容主要有各个特殊四边形的性质、判定、以及其应用:考察题

型上从选择到填空再到解答题都有，题型变化也比较多样;并且考察难度也都是中等和中等偏上，难度较大,

综合性比较强.所以需要考生在复习这块内容的时候一定要准确掌握其性质与判定，并且会在不同的结合问

题上注意和其他考点的融合.

琢题突破•保分必拿

四边形对角互补模型

正方形对称模型

与正方形有关的三垂直模型

四边形翻折模型

与四边形有关的新定义问题

题型一：利用四边形的性质与判定求解

龙麓》大题典例

1.（2023,广东深圳•中考真题）（1）如图，在矩形ABCD中，E为4。边上一点，连接BE,

①若BE=BC,过。作CF1BE交BE于点F,求证：AABE=AFCB；

②若s矩形4BCD=20时，则BE-CF=.

（2）如图，在菱形ABCD中，cos力=，过C作CE14B交力B的延长线于点E,过E作EF14。交AD于点尸,

若S菱形4BCD=24时，求EF•BC的值.

（3）如图，在平行四边形28CD中，乙4=60。，48=6,力。=5,点E在CD上，且CE=2,点F为BC上一点,

连接EF,过E作EG1EF交平行四边形2BCD的边于点G,若EF-EG=7g时，请直接写出4G的长.

备用图

2.（2023•甘肃兰州•中考真题）综合与实践

【思考尝试】

（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,在矩形N3CD中，E是边4B上一点，DF1CE于点尸,

GD1DF,AG1DG,AG=CF.试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；

【实践探究】

（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2,在正方形ABCD中，£是边力B上一点，DF1CE

于点RAH1CE于点“，GDLDF交AH于点G,可以用等式表示线段FH,AH,CF的数量关系，请你思考

并解答这个问题；

【拓展迁移】

（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在正方形4BCD中，£是边48

上一点，4H1CE于点X,点/在C”上，且=连接力M,BH,可以用等式表示线段CM,的数

量关系，请你思考并解答这个问题.

GG

3.(2023•江苏徐州•中考真题)【阅读理解】如图1,在矩形48CD中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得

AC2^a2+b2,同理)^2222

BI2=a2+62,AC+BD=2(a+h).

【探究发现】如图2,四边形2BCD为平行四边形，若AB=a,BC=b,则上述结论是否依然成立？请加以判

断，并说明理由.

【拓展提升】如图3,已知B。为△4BC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c.求证：3。2=学—冬

【尝试应用】如图4,在矩形4BCD中，若4B=8,BC=12,点尸在边力。上，贝中/+PC?的最小值为

图1图2图3图4

四边形边角对角线对称性

平行四边形对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分中心对称

轴对称、中心对

矩形对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等

称

对边平行且四条两条对角线互相垂直平分，且每轴对称、中心对

菱形对角相等

边都相等一条对角线平分一组对角称

对边平行且四条两条对角线互相垂直平分，且每轴对称、中心对

正方形四个角都是直角

边都相等一条对角线平分一组对角称

3平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定

四边形边角对角线

平行四边形1）两组对边分别平行两组对角分别相等两组对角线互相平分

2）两组对边分别相等

3）一组对边平行且相等

矩形1）平行四边形+一直角平行四边形+两条对角线相等

2）四边形+三直角

菱形1）平行四边形+一组邻边相等平行四边形+两条对角线互相

垂直

2）四边形+四条边都相等

正方形矩形+一组邻边相等菱形+一直角两条对角线互相垂直平分且相

等的四边形

茏塞〉笠式训级

1.（2023・山东济南•模拟预测）如图1,在矩形中，点E,F分别在ZB,BC边上,DE=AF,DE1AF

于点G.

⑴求证：四边形ABC。是正方形；

⑵延长CB到点H,使得BH=4E,判断△4HF的形状，并说明理由.

（3）如图2,在菱形4BCD中,点E,F分别在AB,BC边上，DE与”相交于点G,DE=AF,AAED=60°,

AE=6,BF=2,求DE的长.

2.（2023•广东深圳•模拟预测）【问题发现】

（1）在一次小组合作探究课上，老师将正方形4BCD和正方形4EFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG,

请直接写出线段BE与DG的数量关系,位置关系；

【类比探究】

（2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“矩形48CD和矩形4EFG,且矩形A8CD“矩形4EFG,AE=3,

4G=4,如图，点E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若4。=半迫，求BE的长.

【拓展延伸】

（3）若将正方形4BCD和正方形4EFG改成菱形力BCD和菱形4EFG,且菱形ABC。”菱形4EFG如图3,4。=5,

AC=6,2G平分NZMC,点P在射线4G上，在射线4f上截取4Q,使得4Q=|dP,连接PQ,QC,当tan/PQC=

g时，直接写出4P的长.

图3

3.（2023・福建龙岩•模拟预测）综合与实践：过四边形ABCD的顶点/作射线4M,尸为射线4M上一点，连

接DP.将力P绕点/顺时针方向旋转至力Q,记旋转角NP4Q=a,连接BQ.

【探究发现】如图1,数学兴趣小组探究发现，如果四边形4BCD是正方形，且a=90。，无论点尸在何处,

总有BQ=DP,请证明这个结论.

【类比迁移】如图2,如果四边形力BCD是菱形，/.DAB=a=60°,^MAD=15°,连接PQ.当PQ1BQ,

48=遍+鱼时，求4P的长.

【拓展应用】如图3,如果四边形力BCD是矩形，AD=3,AB=4,4M平分N/MC,a=90°.在射线4Q上

截取4R,使得AR=3P.当△PBR是直角三角形时，请直接写出4P的长.

题型二：中点四边形

龙麓》大题典例

1.（2023•山西・中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1,在四边形4BCD中，点、E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，顺次连接E,F,G,H,得到

的四边形EFGH是平行四边形.

D

G

C

H,

A/-E^B

图1

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁

(Varingnon,Pierrel654—1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2,连接4C,分别交于点P,Q,过点。作DM14C于点M,交HG于点N.

分别为力的中点，.・"G||4C,”G=/C.(依据1)

.•.黑=段.-：DG=GC,：.DN=NM=，M.

NMGC2

•.•四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，.出口4匕SPHP||GQ.

■：HG||AC,即”G||PQ,

1

••・四边形HPQG是平行四边形.(依据2).•.SnHpQGuHG-MNEHG-DM.

'''SAADC=-AC-DM=HG-DM,''-SI=IHPQG=-SAADC.同理，...

任务：

⑴填空：材料中的依据1是指：.

依据2是指：.

(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形4BCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH,使得四边形EFGH为

矩形；(要求同时画出四边形力BCD的对角线)

(3)在图1中，分别连接力C,BD得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线长度的关

系，并证明你的结论.

D

图3

茏龙》揶黄揖号

【模型介绍】依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.

中点四边形的性质：

已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则

1

①四边形EFGH是平行四边形②Cc>EFGH=AC+BD③SEFGH='SABCD

【补充】“

结论一：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形.

结论二：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形.

结论三：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形.

速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正.

茏物要其训绻

1.（2022•黑龙江哈尔滨•模拟预测）在四边形ABCD中，对角线4C与BD交于点。，E、F、G、H分别是48、

BC、CD、边中点,连接EF、FG、GH、HE,分别交两条对角线于点P、点Q、点R、点S,^,AC=BD.

图1图2

（1）如图1,求证：四边形EFGH是菱形；

⑵如图2,若2C垂直平分8D,在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中锐角Na,使Na正弦

值等于PR与4B的比值.

2.（2023,黑龙江齐齐哈尔•三模）折纸是一项有趣的活动，有的同学玩过折纸，可能折过小动物、飞机、

小船等.在折纸过程中，不仅可以得到一些美丽的图形，而且其中还蕴含着丰富的数学知识.

如图①，菱形纸片4BCD中，力8=4/4=60。.

(1)活动一:

如图②，折叠菱形纸片力BCD,使点力落在点B处，则折痕的长为；菱形纸片4BCD的面积是

(2)活动二：

如图③，E,£G,H分别是菱形纸片4BCD各边的中点，分别沿着折叠并展开.猜想四边形EFGH

是什么特殊四边形，并证明你的猜想；

⑶活动三：如图④，先将菱形纸片4BCD沿4c折叠再展开，点E,F,G,”分别在边力B,BC,CD,D4上且EFII4C,

再分别沿着EF,FG,GH,HE折叠再展开，若四边形EFGH是正方形，则4E=；

⑷活动四：如图⑤，折叠菱形纸片4BCD,使点2落在BC边的中点尸处，则折痕MN的长为.

题型三：十字架模型

龙麓＞大题典例

1.(2022•四川乐山•中考真题)华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案.

2.如图，在正方形ABCD中，CELDF.求证：CE=DF.

证明：设CE与。尸交于点O,

•••四边形N2CD是正方形，.-.ZB=ZOCF=90°,BC=CD.；.NBCE+NDCE=90。.

■:CEIDF,:./.COD=90°.:.^.CDF+/.DCE=90°.

:.Z.CDF=Z.BCE.△CBE=ADFC.

：.CE=DF.

某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究

(1)【问题探究】如图，在正方形/BCD中，点E、F、G、〃分别在线段/2、BC、CD、DA1.,且

并证明你的猜想.

(2)【知识迁移】如图，在矩形/BCD中，AB^m,BC=n,点、E、F、G、〃分别在线段N8、BC、CD、

⑶【拓展应用】如图，在四边形/BCD中，/.DAB=90°,^ABC=60°,AB=BC,点E、尸分别在线段

rp

上，且求嬴的值.

AB、ADCE1BF.Dr

避黄揖号

【模型介绍】如图，在正方形ABCD中，若EF_LMN,则EF=MN

(1)问题解决：如图①，若E,F分别是BC,CD上的点，且4E1BF.求证：AABEmABCF；

⑵类比探究：如图②，若点E,F,G,H分别在BC,CD,DA,28上，且EG1HF,求证：EG=HF.

⑶迁移应用：如图③，在△ABC中，N4BC=90。，4B=8C,点。是BC的中点，点E是4C上一点，且

ADLBE,求力E：EC的值.

2.(2024•山东荷泽,一模)琅珊中学九年级一班同学利用工具，对几种四边形进行探究.

图1图2图3

【初步认识】同学们所用的工具由两条互相垂直的直线构成，垂足为。如图1,同学们将该工具放入正方

形力BCD中，该工具与正方形四条边的交点分别为E、F、G、H.

(1)若点。在边长为1的正方形2BCD的中心，直接写出。6+。”+。6+。F的最大值和最小值.

(2)试猜想黑的值，并证明你的猜想.

rri

【知识迁移】如图2,同学们又将该工具放入矩形4BCD中，该工具与矩形四条边的交点分别为F、G、

H.若=BC=n,则尊=.(直接写出答案)

rri—

【拓展运用】如图3,同学们将工具放入四边形4BCD中，使其经过C、2两点，并与力B边交于点E,与4D

边交于点上已知ND4B=90。，乙48c=60。，AB=BC.求D的r值.

3.(2024•广东阳江•一模)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下

探究:

图2图3图4

【观察猜想】

点E,尸分别是4B,4。上的两点，连接DE,CF,ED1CF,则老的值为

(1)如图1,在正方形4BCD中,GF

(2)如图2,在矩形4BCD中，AD=7,=4,点E是4。上的一点，连接CE,BD,且CE1BD,则言的

DU

值为;

【类比探究】

(3)如图3,在四边形ABCD中，乙4=48=90。，点E为4B上一点，连接DE,过点C作DE的垂线交ED的延

长线于点G,交4D的延长线于点尸，求证：DE-AB=CF-AD.

【拓展延伸】

(4)如图4,在RtaaBD中，NBAD=90。，AD=9,tanzXDfi=将△力BD沿RD翻折，点4落在点C处

得ACBD,点E,尸分别在边48,4。上，连接DE,CF,DE1CF.求蜉的值.

Cr

题型四：正方形半角模型

龙麓》大题典例

1.(2023•内蒙古赤峰•中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①，把一个含有45。角的三角尺

放在正方形4BCD中，使45。角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45。角的两边CM,

CN始终与正方形的边4D,48所在直线分别相交于点M,N,连接MN,可得△CMN.

图③

【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90。得到同时得到点H在直线上.求证:

/.CNM=乙CNH；

【探究二】在图②中，连接BD,分别交CM,CN于点E,F.求证：4CEFMCNM；

【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45。角两边CM,CN分别交于点E,F.连接4C

交BD于点0,求=7的值.

2.(2022•贵州黔西・中考真题)如图1,在正方形4BCD中，E,尸分别是BC,CD边上的点(点E不与点

B,C重合），Mz£XF=45°.

(1)当BE=。尸时，求证：AE=AF；

(2)猜想BE,EF,。尸三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；

(3)如图2,连接/C,G是。2延长线上一点，GHA.AE,垂足为K,交NC于点X且G”=4E.若DF=a,

CH=b,请用含a,6的代数式表示EF的长.

茏龙》解:去揖号.

【模型介绍】正方形半角模型分为“正方形内含型半角模型”和“正方形外延型半角模型”，其中前者较

为常见.

正方形内含型半角模型结论：

已知正方形ABCD中，E,F分别是BC、CD上的点，ZEAF=45°,AE、AF分别与BD相交于点0、P,贝心

①EF=BE+DF②AE平分/BEF,AF平分NDFE③C.EF=2倍正方形边长_____D

@SAABE+SAADF=SAAEF⑤AB=AG=AD(过点A作AGLEF，垂足为点G)

@0P2=0B2+0D2⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点BEC

⑧AAPOsAAEFsADPFsABEOsADAOsABPA⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆

⑩AAPE、AAOF为等腰直角三角形(11)EF=V20P

2

(12)SAAEF=2SAAPO(13)AB=BPX0D

(14)CE-CF=2BE«DF(15)AEPC为等腰三角形

(16)PX=BX+DP(过点E作EX_LBD,垂足为点X)

茏尔笠式训级

1.(2023•吉林白城•模拟预测)下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整.

图①图②图③

【作业】如图①，已知正方形力BCD中，E,尸分另IJ是4B、BC边上的点，且NEDF=45。.求证：EF=AE+CF.

证明：如图，将△D4E绕点。逆时针旋转90。，得至贝!=DM/2=NDCM/2DE=ZJWDC.

•••四边形2BCD是正方形，.•.乙4=^ADC=4DCB=90°,

•••Z.EDM=乙EDC+乙MDC=Z.EDC+^ADE=Z.ADC=90°.

乙EDF=45°,/.MDF=乙EDF=45°.

又•.•NA=NDCM=NDCB=90。，:.点、B,F,C,M在一条直线上.

DF=DF,EDF=,EF=MF=CM+CF=+CF.

【探究】(1)在图①中，若正方形力BCD的边长为3,AE=1,其他条件不变，求EF的长.

解：・.•正方形4BCD的边长为3,■.-AE=1,.-.BE=2,CM=1.

设EF=X,贝ijFM=EF=x,FC=FM-CM=x-1,BF=3-(%-1)=4-x.

在RtaBEF中，由22+(4—x)2=/,解得久=,即EF=.

(2)如图②，在四边形2BCD中，Z4=ZS=90°,AB=AD=6,BC=4,E是4B边上的点，且NCDE=45。,

则CE=.

(3)如图③，在△4BC中，ABAC=45°,力。为BC边上的高.若BD=2,C£>=3,贝心。的长为.

2.(2024•湖北随州•一模)【操作与发现】

如图①，在正方形ABCD中，点N,将△AMD绕点/顺时针旋转90。，点。与点5重合，从而可得：

DM+BN=MN.

图①图②

⑴【实践探究】在图①条件下，若CN=6,CM=8,则正方形4BCD的边长是.

(2)如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，AMAN=45°,若tanNB4V=g,求证：“是

CD的中点.

⑶【拓展】如图③，在矩形4BCD,AB=12,力。=16,点M、N分别在边DC、BC上，连接2M、AN,BN=4,

则DM的长是.

题型五：四边形对角互补模型

龙麓》大题典例

1.(2023•湖北襄阳•中考真题)【问题背景】

人教版八年级下册数学教材第63页"实验与探究"问题1如下：如图，正方形力BCD的对角线相交于点。，点

。又是正方形&8修1。的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形4/修1。绕点。怎样转动，

两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的!想一想，这是为什么？(此问题不需要作答)

九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形48CD的对角线相交于点。，点P落

在线段。。上，*=k(k为常数).

图1图2图3

【特例证明】

ci）如图1,将RtaPEF的直角顶点P与点。重合，两直角边分别与边AB,BC相交于点M,N.

①填空：k=；

②求证：PM=PN.（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△P2MWZXPBN；也可过

点P分别作ZB,BC的垂线构造全等三角形证明.请选择其中一种方法解答问题②.）

【类比探究】

（2）如图2,将图1中的aPEF沿。C方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明

理由.

【拓展运用】

（3）如图3,点N在边BC上，ABPN=45°,延长NP交边CD于点E,若EN=kPN,求k的值.

2.（2022•湖北武汉,中考真题）已知是△4BC的角平分线，点E,尸分别在边AC,BC上，AD^m,

BD=n,△力DE与△BDF的面积之和为S.

⑴填空：当Z2CB=9。。，DEIAC,DF1BC时，

①如图1,若Z_B=45°,m=5V2,则71=,S=

②如图2,若NB=60。,m=4遍,则九=,S=

（2）如图3,当乙4cB=尸=90。时，探究S与加、〃的数量关系，并说明理由:

（3）如图4,当乙4cB=60。，ZEDF=12O°,m=6,九=4时，请直接写出S的大小.

茏皿一变其训绻

1.（2024•贵州黔南•一模）小红在学习了三角形的相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，如图，在

RtaABC中，AB=BC,^ABC=90°,点、D,E分别在边AB,ACk（不同时在点/）,连接DE.

⑴问题解决：如图1,当点。，£分别与点2,。重合时，将线段DE绕点E顺时针旋转90。，得到线段FE,

连接4F,4尸与8C的位置关系是,数量关系是.

（2）问题探究：如图2,当点。，E不与点8,C重合时，将线段DE绕点E顺时针旋转90。，得到线段FE,连

接2F/F与BC的位置关系是怎样的？请说明理由.

⑶拓展延伸：如图3,当点E不与点C重合，且。为4B的中点时，将线段0E绕点E顺时针旋转90。，得到

线段FE,点G是点C关于直线48的对称点，若点G,D,尸在一条直线上，求正的值.

2.（2023•吉林长春,二模）【问题呈现】如图①，点E、F分别在正方形4BCD的边BC、CD上，

NE4F=45。，试判断BE、EF、FD之间的数量关系.小聪同学延长CD至点G,使DG=BE,连接力G,可证

AABE=AADG,进而得至U△4EF三△4GF,从而得出BE、EF、FD之间的数量关系为.（不需要证

明）.

图①图②图③

【类比引申】如图②，四边形4BCD中，^BAD^90°,AB=AD,NB+N。=180。，点E、尸分别在边BC、

CD上，请回答当4瓦4/与ABAD满足什么关系时，仍有【问题呈现】中BE、EF、FD之间的数量关系，并给

出证明.

【探究应用】如图③，在四边形4BCD中，AB^AD=60,NB=60。，^ADC=120°,/BAD=150。，点E、

F分别在线段BC、CD上，KAEIAD,DF=30g—30,直接写出线段EF的长.

题型六：正方形对称模型

茏麓》大题典例

1.（2023•浙江绍兴•中考真题）如图，在正方形4BCD中，G是对角线BD上的一点（与点不重合），

GE，CD,GF，BC,E,F分别为垂足.连接EF/G,并延长4G交EF于点H.

(1)求证：4DAG=KEGH.

(2)判断2”与EF是否垂直，并说明理由.

为海》犀黄指导.

口诀：正方形对角线，连接条件对称现.

为能》笠式训级

1.如图，在正方形48co中，E是射线CD上一动点(E不与。重合)，连/£交射线AD于尸点，过尸

作FGL4E交在射线BC于G.

⑴当点£在线段CD上时，求证：AF=FG.

(2)若2C=10,BG=4,求AF的长；

⑶连EG,当£在射线CD上移动时，探究线段3G、EG、之间的数量关系，并说明理由.

题型七：与正方形有关的三垂直模型

茏A2鹘粤例.

1.(2022•辽宁阜新•中考真题)已知，四边形2BCD是正方形，△DEF绕点。旋转(DE<AB),

NEDF=90°,DE=DF,连接力E,CF.

(1)如图1,求证：△ADE三△CDF；

(2)直线ZE与CF相交于点G.

①如图2,8"146于点“，BN1CF于点N,求证：四边形BMGN是正方形；

②如图3,连接BG,若48=4,DE=2,直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值.

2.(2022•江苏镇江•中考真题)已知，点E、F、G、”分别在正方形4BCD的边力B、BC、CD、XD±.

(1)如图1,当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；

(2)如图2,已知=CF=CG,当4E、CF的大小有关系时，四边形EFGH是矩形；

⑶如图3,AE=DG,EG、FH相交于点。，OE:OF=4:5,已知正方形4BCD的边长为16,长为20,当

△OE”的面积取最大值时，判断四边形EFG”是怎样的四边形？证明你的结论.

奥茏》基黄揖号.

己知(一线三垂直)图示结论(性质)

如图AB_LBC,AB=BC,1

△ABD^ABCE,DE=AD+EC

CE_LDE,AD±DE

EB2L

如图AB_LBC,AB=BC,A

△ABD^ABCE,DE=AD-EC

CEJ_DE,AD±DE

.1一

C

龙A笠式训绻

(1)如图①，在正方形48CD中，E为力B边上一点，连结。E,过点E作EF1DE交BC于点F.易证：

△AEDMBFE.(不需要证明)

(2)如图②，在矩形4BCD中，E为边上一点，连结DE,过点E作EF1DE交8C于点F.

①求证：AAED-ABFE.

②若4B=10,AD=6,E为AB的中点，求BF的长.

(3)如图③，在△力8C中，乙4cB=90。，AC=BC,AB=4,E为48边上一点(点E不与点4、B重合)，

连结C&过点E作“EF=45咬BC于点F,当△CEF为等腰三用形时，BE的长为多少？

2.【模型引入】

我们在全等学习中所总结的"一线三等角、K型全等"这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅

速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题.

AD

DD

图1ffi2

M

图7图8

【模型探究】

如图，正方形/BCD中，E是对角线3。上一点，连接/E,过点£作小L4E,交直线CB于点F.

(1)如图1,若点尸在线段8C上，写出以与EF的数量关系并加以证明;

(2)如图2,若点尸在线段C2的延长线上，请直接写出线段2C,和3尸的数量关系.

【模型应用】

(3)如图3,正方形N8CD中，48=4,£为。）上一动点，连接NE交8。于R过尸作F7/1/E于R

过//作8G_LAD于G.则下列结论：①4F=FH；②乙HAE=45°；③BD=2FG；④△CE"的周长为8.正

确的结论有个.

(4)如图4,点E是正方形/BCD对角线2。上一点，连接过点£作E尸L4E,交线段2C于点R交

线段NC于点M,连接力尸交线段3。于点给出下列四个结论，①AE=EF；②)&DE=CF；③&4W

=SAMCF；④BE=DE+&BF；正确的结论有_个.

【模型变式】

(5)如图5,在平面直角坐标系中，四边形O8CD是正方形，且。(0,2),点E是线段08延长线上一

点，M是线段08上一动点(不包括点。、B),作MN1DM,垂足为M,交NC8E的平分线与点N,求证:

MD=MN

(6)如图6,在上一间的条件下，连接。N交8c于点尸，连接引W,贝此月河和NMW5之间有怎样的数量

关系？请给出证明.

【拓展延伸】

(7)已知ZA/ON=90。，点N是射线ON上的一个定点，点8是射线上的一个动点，且满足03>

04.点C在线段CM的延长线上，且/C=03.如图7,在线段2。上截取使连接CE.若

乙OBA+乙OCE=0,当点3在射线上运动时，”的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；

如果变化，请说明理由.

(8)如图8,正方形4BCD中，40=6,点E是对角线/C上一点，连接。£,过点E作EF1E。，交AB

于点尸，连接。尸，交/C于点G,将△£网7沿斯翻折，得到△ERVf,连接DM,交所于点N,若点尸是

N8边的中点，则的面积是.

题型八：四边形翻折模型

龙龙》大题典例

1.(2023,江苏泰州•中考真题)如图，矩形28CD是一张44纸，其中力。=岳B,小天用该44纸玩折纸游

戏.

BF

图②

游戏1折出对角线BD,将点8翻折到BD上的点E处，折痕4F交BD于点G.展开后得到图①，发现点尸

恰为BC的中点.

游戏2在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP；展开后将点2沿过点尸的直线翻折到BP上

的点〃处；再展开并连接GH后得到图②，发现N2GH是一个特定的角.

⑴请你证明游戏1中发现的结论；

⑵请你猜想游戏2中N4GH的度数，并说明理由.

2.（2023•四川达州•中考真题）（1）如图①，在矩形4BCD的4B边上取一点E,将△4DE沿OE翻折，使点

4落在BC上4处，若4B=6,BC=10,求霁的值;

CD

D

图①图②图③

（2）如图②，在矩形48CD的BC边上取一点E,将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在。C的延长线上方处,

若BC-CE=24,4B=6,求BE的值;

(3)如图③，在△4BC中，^BAC=45°,AO1BC,垂足为点=10/E=6,过点E作EF1AD交AC于

点尸，连接DF,且满足ADFE=2NZMC,直接写出8D+（EF的值.

茏龙》鼻黄揖号

模型解读图形已知结论

Af

\£c

沿着矩形的对角D已知矩形ABCD中，以DAABD^AA'BD

线所在直线进行对角线BD为折痕，折叠2）折痕BD垂直平分AA'

翻折ABD,点A的对应点为A'3）ABDE为等腰直角三角形

.

DEc

DABCE^ABC'E

2）折痕BE垂直平分CC'

AB

D__________c

沿着矩形的一个DAABE^AA'BE

E已知矩形ABCD中，以

顶点和一边上的2）折痕BE垂直平分AA'

BE为折痕，点A的对应

点的线段所在直

A点为A'

线进行翻折B

Df

D⑷

rC1）四边形AFED三四边形

A'FED'

2）折痕BE垂直平分AA'

AFB

D_EC

VFDAEFC^AEFC'

Cf2）折痕EF垂直平分CC'

AB

Df

C

已知矩形ABCD中，以1）四边形AEFD0四边形

沿着矩形边上的

点E,F为折痕，点A的对A'EFD'

任意两点所在直\14r

应点为A',点C的对应2）折痕EF垂直平分AA'

线进行翻折

点为C'

AEi

DE

11）四边形BFEC/四边形

B'FEC

2）折痕EF垂直平分CC'

AB3）AGB'F为直角三角形

茏能》变式训练

1.（2023•贵州贵阳•模拟预测）如图，在边长为小的正方形ABCD中，点E,F分别为CD,4B边上的点，将

正方形4BCD沿EF翻折，点B的对应点为从点C恰好落在力D边的点G处.

图①图②备用图

（1）【问题解决】

如图①，连接CG,贝/G与折痕EF的位置关系是，CG与EF的数量关系是.

⑵【问题探究】

如图②，连接C”，在翻折过程中，GC平分NDG”，试探究△CGH的面积是否为定值，若为定值，请求出

△CGH的面积；若不是定值，请说明理由;

（3）【拓展延伸】若爪=3,求出CH+CG的最小值.

2.（2023•吉林松原•模拟预测）【感知】如图①，RtZiABC中，NC=90°/C=3B,贝此B的度数为

【探究】如图②，四边形4BCD是一张边长为4的正方形纸片，E,尸分别为AB,CD的中点，沿过点。的折

痕将纸片翻折，使点4落在EF上的点4处，折痕交4E于点G,试求乙4DG的度数和4G的长;

【拓展】若矩形纸片2BCD按图③所示的方式折叠，B,。两点恰好重合于对角线47的中点。（如图④），则

四边形力ECF为..；当4B=9a时，则四边形AECF的面积为..（用含a的代数式表示）

图④

题型九：与四边形有关的新定义问题

龙麓》大题典例

1.（2023,江苏•中考真题）综合与实践

定义：将宽与长的比值为之尹5为正整数）的矩形称为"阶奇妙矩形.

（1）概念理解:

当n=l时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1）,这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（力D）与长（CD）

的比值是.

（2）操作验证：

用正方形纸片4BCD进行如下操作（如图（2））：

第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为E