2025年中考数学专项复习：几何图形中求线段线段和面积等最值问题（4题型）（解析版）

抢分秘籍11几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题

（压轴通关）

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

中考预测

几何图形中求线段、线段和、面积最值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都

有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，几何图形中的性质综合问题，是高频考点、也是必考点。

2.从题型角度看，以解答题的最后一题或最后二题为主，分值12分左右，着实不少！

抢分通关

题型一线段最值问题

典例精讲

【例1X2024•四川成都•一模）如图1,在四边形48FE中，/b=90。，点C为线段E尸上一点，使得ZC/8C,

AC=2BC^4,此时防=CF,连接BE,BE1AE,S.AE=BE.

图1图2图3

⑴求CE的长度；

⑵如图2,点。为线段/C上一动点（点。不与A,C重合），连接50,以为斜边向右侧作等腰直角三

角形8GD.

①当DG〃/B时，试求/。的长度；

②如图3,点7/为的中点，连接〃G,试问用是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在,

请说明理由.

【答案】⑴/

⑵①果②当

【分析】

FR11

(1)取45的中点b,连接,证明/FEB=NCAB,得出tanNFE3=—=tanNC48=-则3尸=-跖,

EF22

进而根据CE=EF-CF=&,即可求解；

(2)①如图所示，过点。作于点W,过点。作。于点N,证明AOBCSAGB厂得出

DC=41GF，即可得出DM=G尸，证明ADMG9AG尸2,进而证明G在E尸上，根据已知条件证明。在仍

上，然后解直角三角形，即可求解；

②如图所示，过点H作HP,跖于点P,连接£〃，由①可得G在E厂上运动，当所时，的取得

最小值，即G,尸重合时，族的长即为阳的最小值，由①可得/7=孚，求得sin/EL4=①，根据

310

ZHEF=a+45°=ZETA,即可求解.

【详解】(1)解：如图所示，取的中点H,连接EH,HC,

图1

,/BF=CF,ZF=90°,

AZBCF=45°,BC=叵CF，

又：AC1BC

NECA=45°

*.•AE=BE,BELAE

：.ZEBA=45°

：.ZECA=/ABE=45°

J/FEB=/CAB

,：AC=2BC=4f

：.BC=2

BF=CF=4i

tanZC4^=—=-

AC2

FB1

tan/FEB=----=tanNCAB=—

EF2

：.BF=-EF

2

•*-EF=2V2

CE=EF-CF=42

(2)①如图所示，过点。作。所于点过点。作于点N,

图2

由(1)可得乙4CE=N4BE=45。

.♦.vcnw是等腰直角三角形，

CD=42DM,

VACBF,ADBG都是等腰直角三角形,

：.3=吧=6

BFBG

.BDBG

,•茄―茄

又,：/DBG=/CBF

：.ZDBC=/GBF

：.4DBCS4GBF

:.—也

GFGB

­­DC=6GF

：.DM=GF

在△DMGQG网中，

DM=GF

<ZDMG=ZF

DG=BG

：.^DMG^GFB

：.ZMGD=ZFBG

•:/FBG+/FGB=90。

・•・/MGD+/FGB=90。

又•・•NDGB=90。

：.ZMGF=180°

・・・G在斯上，

DG//AB,NDGB=90。

：.ZGBA=90°

・.・ZABE=45。,/DBG=45。=/ABD

・・・。在防上，

VtanZCAB=-

2f

：.DN=^ANf则=[DN?+AN?=也DN

•：DNLAB,ZABE=45°

：.DN=DB

：.AB=3DN,

VAC=4fCB=2

•*-AB+4?=2卡

DN=-AB=^~,

33

AD=45DN=—f

3

②如图所示，过点H作HP上EF于点P,连接EH,

图3

由①可得G在跖上运动，

・••当斯时，加取得最小值，即G,尸重合时，心的长即为优的最小值,

设4C,EB交于点T,即与①中点。重合，由①可得=£

AB=245

***AE=Vw9EH=3AB=y[5

.sin/M*加3.

AT1010

3

设NFEB=NCAB=a

则ZHEF=a+45°=NETA,

在RtzXPE/f中，PH=sinZHEFxEH=sinZETAxEH=独&<6=—.

102

【点睛】证明G点在E尸上是解题的关键.

通关指导

本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三

角形.

【例2】（2024•天津红桥•一模）在平面直角坐标系中，点0（0,0）,/（2,0）,2（2,26））,C,。分别为。4,

05的中点.以点。为中心，逆时针旋转AOCD得AOC'。',点C,。的对应点分别为点C',D*

⑴填空：如图①，当点源落在y轴上时，点步的坐标为，点。的坐标为

⑵如图②，当点C落在03上时，求点。曲勺坐标和ACT的长；

⑶若M为C'。'的中点，求的的最大值和最小值（直接写出结果即可）.

【答案】⑴（0,2）,

（2）（-1,V3）,BD'=273

（3）4+—,4-—

22

【分析】（1）过C作CT/Lx轴于X,由8（2,26），。为08中点，得。（1,6）,即得OD=,F+同=2,

根据以点。为中心，逆时针旋转AOCD,得A。。。，知09=00=2,故。'（0,2）；由/（2,0）,B（2,2司,

nAT11

可得轴，tan/AOB=@^=枢，从而408=60。=/COD=，可得。7/=—OC'=—,

222

OH=43CH=—,故C'[g,£

2I22J

故答案为：（。，2）,

（2）当点C'落在03上时，过步作D'M_Lx轴于M,求出ND'OG=180。-入108-/C'OZ）'=60。，即可得

OG=^OD'=1,OG=V^OG=VL故。BD'=273;

（3）由C,D分别为CM,05的中点，可得CD〃48,CD=、AB=后,从而4DCO=48/0=90。，根

2

据以点。为中心，逆时针旋转A。。，得AOC'D',可得/D'C'O=/DCO=90。，CD'=CD=6即得

CM=1CD'=—,OM=4CM1+OC'2=—,知M在以。为圆心，立为半径的圆上运动；当最大

2222

万

时，M在80的延长线上，求出的0=02+0/0=4+*-,即敏最大值为

2

4+—;当■最小时，M在线段03上，BM=OB-OM=4--,即即/最小值为4-立.

222

【详解】（1）解：过C作C'HLx轴于如图：

OD=J+心j=2,

•.•以点。为中心，逆时针旋转A。。，得AOCD,

：.OD'=OD=2,

丁点步落在y轴上，

■.,^（2,0）,。为。4中点,

OC=-OA=1=OC,

2

•.•N（2,0）,3（2,26）,

.•.45_Lx轴，tanZAOB=^^=C，

2

/.ZAOB=60°=ZCOD=ZCODf,

.•./C'O〃=90。—60。=30。，

iiA

CH=-OC=-,OH=^CH=—,

222

122j

故答案为：（0,2）,-^-，―；

（2）解：当点C落在OS上时，过拼作。轴于跖如图:

由（1）知408=60°,ZCOD'=60°,OD'=2,ZD'OG=180°-ZAOS-ZC'OD'-60°,

ZGD'O=30°,

OG=-OD'=1,D'G=6OG=C,

•••3（2,2⑹，

r.m="2+l）+（26-6『=2五；

...点。曲勺坐标为卜1,6）,8〃的长为26;

（3）解：如图：

VC,。分别为。/,03的中点,

.,.CD是“05的中位线，

CD//AB,CD=-AB=-x2y/3=43,

22

ZDCO=ZBAO=90°,

:以点。为中心，逆时针旋转AOCD,得AOC'D',

:.NDCO=NDCO=90。,CD=CD=V3.

•.•"是C'。’的中点，

iR

C'M=-C'D'=—,

22

.­.OM=ylc'M2+OC2=]J-y=今,

在以。为圆心，YZ为半径的圆上运动；

2

此时M在30的延长线上,

•••3(2,2⑹，

.•.05=卜+0石『=4,

BM=OB+OM=4+—：

2

即即/最大值为4+工

2

当90最小时，如图:

此时M在线段05上，BM=OB—OM=4—J,

2

.••5加最小值为4-立；

2

综上所述，四最大值为4+立，最小值为4-立.

22

【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及锐角三角函数，直角三角形性质及应用等，解题的关键是掌握

含30。的直角三角形三边的关系.

名校模拟

1.（2024•山东济宁•模拟预测）已知，四边形4BCD是正方形，»EF绕点D旋转（DE<AB）,NEDF=90。,

DE=DF,连接CF.

⑵直线NE与CF相交于点G.

①如图2,于点BN1CF于点、N,求证：四边形2MGN是正方形；

②如图3,连接8G,若48=6,DE=3,直接写出在A£>E尸旋转的过程中，线段8G长度的最小值为

【答案】⑴见解析；

⑵①见解析；②3逐

【分析】（1）利用正方形性质可得4。=。。、ZADC=90°,然后利用SAS即可证明结论；

（2）①根据=/GPC+/GCP,可得NPGN=90。，又因为2M_L/G,BN1GN,所以四边

形BMGN是矩形，再证明九田三ACNS可得=从而证明结论；②如图：作，/G交/G于点H,

作于点证明ABGM是等腰直角三角形，然后求出血的最小值即可.

【详解】(1)证明：・.•四边形力BCD是正方形，

/.AD=DC,ZADC=90°,

-：DE=DF,/EDF=90°,

/.ZADC=ZEDF,

\BADE=DCDF,

在V/OE和△CO厂中，

DA=DC

</ADE=/CDF,

DE=DF

・•△ADE%CDF(SAS).

(2)解：①证明：如图2中，设4G与5相交于点尸,

图2

ZADP=90°,

:./DAP+/DPA=90P,

AADE=ACDF,

/.NDAE=ZDCF,

/DPA=/GPC,

:.NDAE+NDPA=NGPC+/GCP=9(3,

/.ZPGN=90°,

-BMLAG,BN工GN,

.•・四边形3MGN是矩形，

;./MBN=90。,

•・•四边形485是正方形，

AB=BC,NABC=NMBN=90。,

/ABM=/CBN,

又「ZAMB=NBNC=90°,

:"MB=^CNB,

:.MB=NB,

矩形3MGN是正方形;

②如图：作交/G于点”，作于点M,

F

•：ADAH+ZBAM=NABM+NBAM=90°,

：.ADAH=NABM,

又,：AD=BA,ZDHA=ZAMB=90°,

AAMB咨&DHA,

BM=AH,

222

-：AH=AD-DH>4D=AB=6,

OH最大时，NH最小，即点”与点E重合时，DH最大值=DE=3,

22

二•最小值=Z"最小值=^AD-DH=好，=3石，

由（2）①可知，ABGM是等腰直角三角形，

8G最小值=5A/最小值xV2=3A/3X6=3y/6.

故答案为3布.

【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形

的判定和性质、解直角三角形等知识点，寻找并证明全等三角形是解题的关键.

2.（2024・重庆•一模）在中，点。为线段8c上一动点，点E为射线/C上一动点，连接AD,BE.

（1）若NC>48,ADLBC,当点E在线段/C上时，AD,BE交于点尸，点尸为BE中点.

①如图1,若BF=A，BD=3,AD=1,求NE的长度；

②如图2,点G为线段N尸上一点，连接GE并延长交3C的延长线于点H.若点E为G〃中点,

ZBAC=60°,/DAC=2NEBC,求证：AG+DF=-AB.

2

⑵如图3,若/C=/8=3,ZBAC=60°.当点E在线段ZC的延长线上时，连接。E,将△OCE沿DC所

在直线翻折至所在平面内得到△DC",连接当取得最小值时，搂BC内存在点K,使得

ZABK=/CAK,当KE取得最小值时，请直接写出4K2的值.

【答案】⑴①取；②见解析

⑵6一位

31

【分析】⑴①过点E作EG，/。于点G,通过勾股定理得到。厂的长，证明AFDBRFGE(AAS)利用勾

股定理即可求解；

②延长/C至点K,使EK=E4,连接HK,连接尸K交3c于点M,用过证明三角形全等结合直角三角形

的两个锐角互余，三角形内角和等知识即可得证；

(2)△OCE沿直线BC翻折后，点£的对应点落在直线CM上，当/MLCMr时，取得最小值，通过

含30。角的直角三角形的特征求出乙4K8=120。，过点A作/C的垂线，过点B作8C垂线相交于点。，点K

在以。为圆心，04为半径的圆上，半径。4=6，当。，K,£三点共线时，KE取得最小值，利用勾股

定理相似三角形的判定与性质即可得出最后结果.

【详解】(1)解：①过点E作EGL4D于点G,

A

vADA_BC,EGVAD,

1./BDF=90°,/EG尸=90。，

/.ZBDF=ZEGF,

在RtZ\5Z)尸中，ZBDF=90°,BD=3,BF=而,

点、F为BE中点，

/.BF=EF,

在△立右和△厂GE中，

ZBDF=ZFGE

<Z1=Z2,

BF=EF

:AFDBaFGE(AAS),

：.BD=GE=3,DF=GF=1,

AD=7,

:.AG=AD-DF-FG=l-\-\=5,

在RM/GE中，//G£=90。，

/.AE=yjAG2+GE2=V52+32=734；

②证明：延长4C至点K,使EK=E4,连接HK,连接厂K交于点

vADIBC,

ZADC=90°f

•・•点石为由的中点，

:.GE=HE,

在a/GE和LKHE中,

AE=KE

<Z1=Z2,

GE=HE

「.△/GE也△AHE(SAS),

/./3=/4,

/.AD〃KH,

NCHK=NADC=90。,

•・•/DAC=2/EBC,

设/£5C=x,/DAC=2x,

在RtZXBZ)尸中，Z5=900-ZEBC=90°-x,

/6=/5=90。—%,

ZAEF=180。—ADAC-/6=90。—x,

/.Z6=ZAEF,

:.AF=AE,180°-Z6=180°-Z^£F,即/7=/FEK,

/.AF=EK,

■:点、F为BE中点，

/.BF=EF,

在△/必和△人■£尸中，

AF=KE

<Z7=ZFEK,

BF=EF

:.AAFBaKEF(SAS),

;.AB=FK,Z8=Z9,

•••ABAC=60°,

AHKM=N4+/9=/3+N8=60°,

Z10=90°-ZHKA/=30°,

/.Zll=Z10=30°,

在中，Z10=30°,

:.HK=-MK,

2

:.AG=-MK,

2

在Rt△尸。M中，Zll=30°,

:.DF=-FM,

2

3AB=/K=+MK)=DF+KH=DF+AG；

(2)如图，△OCE沿直线3C翻折后，点E的对应点落在直线CM上，当ZMLCN时,AM取得最小值.

由题意可知：Zl=60°,/C=3,ZAMC=90°f

:.ACAM=30°,

13

:.CM=-AC=-

22f

3

:.CE=CM=~,

2

/E=2

2

♦・•/ABK=/CAK,/BAC=60。,

:./ABK+/BAK=6。。,

:.ZAKB=120°

过点A作力。的垂线，过点8作5c垂线相交于点。,

.,.点K在以。为圆心，04为半径的圆上，半径OZ=G，当O,K,E三点共线时，KE取得最小值,

此时OE=yj0A2+AE2=,

2

：.KE=OE-AO=叵-6,

2

过点K作K0L/C于点。，

:AEKQSAEOA,

.KEKQQE

'EO~OA~AE

一等9731

31

・・.AQF

31

/KJ这+K。J6-匹或者--12扃.

土上3131

【点睛】本题考查了三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠性

质，直角三角形特征，勾股定理，三角形内角和定理等知识，添加辅助线构造直角三角形和全等三角形是

解答本题的关键.

3.（2024・陕西西安•一模）问题提出：

（1）如图①，在“3C中，点M,N分别是AC的中点，若BC=2屈,则儿W的长为.

问题探究：

（2）如图②，在正方形48c。中，ND=6,点E为AD上的靠近点A的三等分点，点尸为48上的动点，

将A/E尸折叠，点A的对应点为点G,求CG的最小值.

问题解决：

（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心/BCDE,已知N/LBC=120。，NBCD=60。,AB=AE=4Qm,

80=8=80111,点C处为参观入口，DE的中点尸处规划为“优秀"作品展台，求点。与点P之间的最小距

离.

【答案】（1）&；（2）2V13-2;（3）点。与点尸之间的最小距离为（20晒-20）m

【分析】（1）根据三角形中位线的定义，得到儿W是。8C的中位线，由中位线的性质，即可求解，

（2）连接EC,求出EG、EC的长度，在RMEDC中，根据勾股定理，求出助的长度，根据两点之间线段

最短，即可求解,

(3)延长DC到点尸，使产C=DC,作CGL48、万由bC=DC,点P是。E的中点，得到CP=」EE,

2

根据四边形C/-G是矩形，及特殊角三角函数，得到CH、GB、切的长，在Rt中，根据勾股定理

求出E4的长，由两点之间线段最短，得到FE2R4-E4,即可求解，

本题考查了，三角形中位线的判定与性质，解直角三角形，两点之间线段最短，解题的关键是：作辅助线

构造三角形中位线.

【详解】解：(1):点M,N分别是AB,NC的中点，

/.MN//BC,MN=-BC,

2

,/BC=246,

：.MN=-BC=-X246=46,

22

图②

:点E为AD上的靠近点A的三等分点，AD=6,

：.AE=-AD=-x6=2,ED=-AD=-x6=4,

3333

在RLEDC中，EC=^ED2+DC2=6+6?=2屈，

根据折叠的性质，EG=AE=2,

EG+CG>EC,

/.CG>EC-EG=2V13-2，

(3)延长。C到点/，使"=DC,过点C、点尸作CGL/8、FHLAB,分别交延长线于点G、点

H,连接FE\FA,

•；FC=DC,点尸是OE的中点,

Z.CP=-FE,

2

VZABC=nO°,ZBCD=60°,

CD//AB,ZCBG=60°,

'：CG±AB,FHLAB,

：.CG//FH,

四边形CFHG是矩形,

：.CG=FH,//G=CF=80(m),

/71

在Rtz\CG3中，CG=sin60°-BC=/x80=406(m),5G=cos60°-5C=-x80=40(m),

F〃=CG=40G(m),%=〃G+G3+G/=80+40+40=160(m),

在RtZ\W4中，FA=ylFH2+HA2=J(4O6『+16)=40M(m),

"：FE+EA>FA,

：.FE>FA-EA=(40V19-40)m,

CP=1F£,>|(40V19-40)=(20Vi9-20)m

故答案为：

（1）6；（2）2713-2；（3）点C与点尸之间的最小距离为（20晒-20）m.

4.（2024•陕西西安•一模）【问题提出】

⑴如图1，点。为“BC的边3C上一点,连接AD,ABDA=ABAC,丝=言，若AABD的面积为4,则“CO

AB3

的面积为;

【问题探究】

RF6

（2）如图2,在矩形/BCD中，AB=6,BC=5,在射线8C和射线CD上分别取点£、F,使得亍

Cr5

连接/E、8/相交于点P,连接CP,求C尸的最小值；

【问题解决】

（3）如图3,菱形4BCD是某社区的一块空地，经测量，48=120米，ZABC=60°.社区管委会计划对该

空地进行重新规划利用，在射线上取一点E,沿BE、CE修两条小路，并在小路5E上取点”，将S段

铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，ZBHC=NBCE,为了节

省铺设成本，要求休闲通道C"的长度尽可能小，问S的长度是否存在最小值？若存在，求出S长度的

最小值；若不存在，请说明理由.

图1图2图3

【答案】（1）5；（2）V34-3;（3）存在，最小值为40百米

9

【分析】（1）证明△/8DSACB4,利用相似三角形的性质得到SE=：S.®=9,即可得到A/C〃的面积；

4

（2）证明△4B£S/XBCV,进一步得到//尸8=90。，则证明点P在矩形N3C。内部以48为直径的。。上

运动，连接OP,OC,。。交QO于点P,进一求出OP=O尸=OB=3,OC=后，则CP=OC-OP=扃-3,

由CP2OC-。尸，即可得到CP的最小值；

（3）证明AC5//SA£3C,得到5c2,则/笈二郎/〃，再证明/出2人班工,得到

ZAHB=ZEAB=120°,证明点”在。。的劣弧前上运动，求得NO8C=90。，进一步求得

OH=AO=BO=404米,勾股定理可得OC=80百米，记OC与。。相交于点H',贝UO/T=。〃=406米，

求出。牙=。。-。/=40百米，由c〃2oc-ar=4o4米，即可得到答案.

【详解】（1）解：•••N2"=NBAC,NB=NB,

：.AABDsACBA,

.S"』叼（2）:4

SwyAB）⑴9,

._9_

=

,•S.©BA=~S..<BD9,

4

&ACD的面积为S.CBA—S.ABD=9—4=5,

故答案为：5

(2)•.•四边形48co是矩形,

AABE=NBCF=90°,

RF6

——=—,AB=6,BC=5,

CF5

.BE_AB6

…而一菽一丁

・•・/\ABE^/\BCF,

NBAE=ZCBF,

ZCBF+ZABP=90°

：./BAE+ZABP=90。

：.ZAPB=180。一（ZBAE+/ABP）=90°

・•・点P在矩形ABCD内部以45为直径的。。上运动,

连接OPQC,。。交OO于点P,

ZABC=90°f

：.OPr=OP=OB=-AB=^OC=y/BO2+BC2=5，

2

:・CP'=OC—OP'=5—3

•:CPNOC—OP,

・・・当点尸在点P的位置时，。尸取得最小值，最小值用-3;

(3)连接/〃，作的外接圆。。，连接OH,OB,OC,OA,如图3,

・・•四边形"8是菱形,

・・.45=5。=120米，AD〃BC,

•：NABC=60°,

・•・ABAD=180°-ZABC=120°

/BHC=/BCE,ACBH=NEBC,

：.ACBHSAEBC,

.BCBH

BnnPBC2?=BEBH

BEBC

**.AB?=BEBH，

AB_BH

BE~^B

・.,/ABH=/EBA,

：.AABHS^EBA,

：.ZAHB=/EAB=120°

・••点”在。O的劣弧AB上运动，

,?AAHB=120°

ZAOB=2(180°-ZAHB)=120°,

OA=OB,

：.ZOAB=AOBA=1(180°-ZAOB)=30°,

：.ZOBC=ZABO+ZABC=90°

在二。8中，/8=120米，ZOAB=ZOBA=3(1P,过点。作OM_L于点M,如图,

:.AO=BO=BM+40G米，

2

/.OH=AO=BO=40百米，

OC=yjBO^+BC2=80百米，

记0c与。。相交于点TT,则ar=OH=40人米，

CH'=OC-OH'=40G米，

CH>OC-OH'=40百米，

：.CH的最小值为CH'的长，即CH的最小值为40百米

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、特殊平行四边形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识,

熟练掌握相似三角形的判定和性质、添加合适的辅助线是解题的关键.

题型二线段和的最小值问题

典例精讲

【例1】(2024•四川达州•模拟预测)【问题发现】

(1)如图1,在QB中，03=3,若将AOAB绕点。逆时针旋转120。得OA'B',连接BB'，则BB'=.

【问题探究】

(2)如图2,已知AA8C是边长为的等边三角形，以3c为边向外作等边△BCD,尸为“8C内一点,

连接4P,BP,CP,将△BPC绕点C逆时针旋转60。，得△D0C,求尸N+P3+尸C的最小值；

【实际应用】

(3)如图3,在长方形N3C。中，边48=10,AD=2Q,尸是8C边上一动点，。为户内的任意一点，

是否存在一点P和一点。，使得/。+。0+尸。有最小值？若存在，请求出此时P。的长，若不存在，请说

明理由.

图1图2图3

【答案】(1)38；⑵12；(3)10-^^

3

【分析】(1)作OCL88'于C,由旋转的性质可得/反加'=120。，OB=OB'=3,由等腰三角形的性质及

三角形内角和定理可得ZOBB'=ZOB'B=30°,BC=BC,再由含30。角的直角三角形的性质及勾股定理计

算即可得出88'=36；

(2)如图，连接尸Q,由旋转的性质可得/。。尸=60。，CP=CQ,PB=QD,则△尸CQ是等边三角形，可

得PC=PQ,即可得到P/+必+PC=P/+PQ+。。，故当点。、。、P、A共线时，尸/+PQ+。。最小，

最小值为4D的长，连接4D,作。E1/C于交NC延长线于£,求出/CDE=30。，则C£=！CD=26,

2

进一步求出DE=6,AE=65则AD=〃)炉+/炉”,即P/+尸2+PC的最小值为12；

(3)如图所示，将A/纱绕点/逆时针旋转60。得到△ZE",连接QE,同(2)可得当〃、E、。、P

四点共线，且打，8c时，/汨+£。+尸。的值最小，即此时20+。。+尸。最小；设此时尸。交/。于G,

证明则由三线合一定理得到4G=g/D=10,则0G=[zG=警；再证明四边形N8PG是

矩形，得至!JPG=/B=1O,则尸Q=PG-QG=10-^^.

图①

••・在AONB中，08=3,将AO4B绕点。逆时针旋转120。得到三角形OH3',

ZBOB'=120°,OB=OB'=3,

:.ZOBB'=ZOB'B,

•••ZOBB'+ZOB'B+AB'OB=18。，

180°-ZBOB'

:.ZOBB'=ZOB'B=■=3(J,

2

vOCVBB',

:.ZOCBr=90°,BC=B'C,

13

;.OC=—OB'=—,

22

B'C=BC=yJOB'2-OC2=—

2

:.BB'=B'C+BC=343,

故答案为：36；

(2)如图，连接尸。，

将△APC绕点C逆时针旋转60°得△D0C,

ZQCP=60°,CP=CQ,PB=QD,

•••△尸C0是等边三角形，

PC=PQ,

PA+PB+PC=PA+PQ+DQ,

当点。、。、P、A共线时，PN+PQ+DQ最小,最小值为的长，

连接作DE//C于交ZC延长线于E,

•;NDCB=NBCA=60°,AABC边长为4月，

ZDCE=180°-ZDCB-ZBCA=60°,AC=CD=4

ZCDE=90°-NDCE=30°,

:.CE=-CD=2y/i,

2

DE=ylCD2-CE2=6-AE=CE+AC=,

AD=^JDE2+AE2=12>

P/+P5+PC的最小值为12；

(3)如图所示，将A/。。绕点/逆时针旋转60。得到△/£〃，连接。〃，QE,

：.ZHAD=ZEAQ=90°,EA=QA,HA=DA,HE=QD,

:.AADH,A4QE都是等边三角形，

QA=QE,

：.AQ+DQ+PQ=HE+EQ+PQ,

:.当H、E、0、P四点共线，且时，HE+E0+尸。的值最小，即此时4。+。。+?。最小;

设此时P。交/。于G,

在矩形ZBCL•中，AD//BC,

：.PHLAD,

：.AG^-AD=10,

2

・C厂V3.„10A/3

••(JCr———AG=-------;

33

'：ZB=90°,AGLPG,BPLPG,

...四边形/APG是矩形，

PG=AB=10,

,PQ=PG-QG=10一当^

通关指导

本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30

度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用旋转构造等边三角形，从而把三条不在一条直线的线段

之和的问题，转换成几点共线求线段的最值问题是解题的关键.

【例2】（2024・贵州毕节•一模）在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进

行探究.已知08C是边长为2的等边三角形.

A

图1图2图3

⑴【动手操作】如图1,若。为线段8c上靠近点B的三等分点，将线段绕点A逆时针旋转60。得到线

段ZE,连接CE,则CE的长为

(2)［探究应用】如图2,。为^ABC内一点，将线段4。绕点A逆时针旋转60°得到线段4E,连接CE,若B,D,E

三点共线，求证：EB平分/AEC；

(3)［拓展提升］如图3,若。是线段上的动点,将线段绕点。顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE.请

求出点。在运动过程中，ADEC的周长的最小值.

【答案】⑴;

⑵见详解

⑶2+百

【分析】

(1)根据旋转性质，得=/£,结合等边三角形的性质,得ABAD=NCAE,=4C,证明^BAD^CAE,

结合。为线段BC上靠近点B的三等分点和是边长为2的等边三角形等条件，即可作答.

(2)证明均ZCE(SAS),可得41。8=乙4£。=120°,故NBEC=60。，从而仍平分NNEC；

(3)由丝△/<?£,得CE=BD,可得AOEC的周长=BC+DE,而DE=AD,知/。的最小时，ADEC

的周长最小，此时/BC,即可求得答案.

【详解】(1)解：•••将线段/。绕点N逆时针旋转60。得到/£

AD=AE,NDAE=60°,

是等边三角形，

AB=AC,ABAC=6T=ZDAE,

：./BAD=ZCAE,

：.AABDWACE(SAS)

：.BD=CE-,

为线段8c上靠近点B的三等分点，且“8C是边长为2的等边三角形

BC=2,CE=-BD=-x2=

333

2

故答案为：—；

(2)证明：・・•将线段4D绕点4逆时针旋转60。得到4区

AAD=AE,/DAE=6(T,

：.ZADE=ZAED=6(P,

.・・ZADB=120°,

;力5C是等边三角形，

AB=AC,ZBAC=60°=ZDAE,

：.NBAD=NCAE,

：.AABD^AACECSAS),

/.ZADB=ZAEC=1200,

：.NBEC=60°,

ZBEC=ZAED=60P,

EB平分ZAEC；

(3)解：当点。在线段BC上时，AZ)EC的周长存在最小值，如图:

△48Z运△ZCE,

：.CE=BD,

：.ADEC的周长MOE+CE+DCUAD+CO+DE,

当点。在线段8C上时，ADEC的周长=BC+DE,

,/"DEC为等边三角形,

：.DE=AD,

的最小时，ADEC的周长最小，此时

BD=-AB=\,AD=43BD=DE,

2

ADEC的周长的最小值为2+百.

【点睛】本题考查几何变换综合应用，旋转性质、涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂

线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

名校模拟

1.(2024•陕西•二模)在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B为x轴正半轴上一点，且CU==4,

连接.

⑴如图1,C为线段A8上一点，连接。C,将。C绕点。逆时针旋转90。得到OD,连接AD,求NC+N。

的值.

(2)如图2,当点C在x轴上，点。位于第二象限时，AADC=90°,且=£为48的中点，连接。E,

试探究线段是否存在最小值？若存在，求出/D+DE的最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴40

(2)2710

【分析】

(1)证明△8OC丝△/。。，得出8c=4。，可得出/C+M=N8,然后利用勾股定理求解即可；

(2)过点。作DMLOC于点DNLOA于葭N,证明A/NDgACMD,可得出点。在//OC的平分线

上，取点4(TO),连接4。，4E,则4和4关于的平分线对称，由2。+。打=4。+。£“£得出

当点4、D、£三点共线时，NO+DE最小，最后利用两点间距离公式求解即可.

【详解】(1)解:•••旋转，

/.ZCOD=90°,OC=OD,

：.NBOC=ZAOD=90°-ZAOC,

又04=OB=4,

：.ABOC^AAOD,

BC=AD,

AC+AD=AC+BC=AB=y]AO2+BO2=472；

(2)解：OA=OB=4,

.•./(O,4),5(4,0),

为N8的中点，

•••小誓，竽,即£(2,2)

过点。作。M，OC于点M,DNLOA于点、N

.••四边形DMON是矩形,

ZMDN=90°,

又/NDC=90°,

/.ZADN=ZCDM=90°-ZNDC,

又NAND=/CMD=9S,AD=CD,

：.AAND^CMD,

：.DN=DM,

...点。在ZAOC的平分线上，

取点4(TO),连接4。，ME

则4和A关于ZAOC的平分线对称，

AXD=AD,

AD+DE=&D+DEig

当点4、D、E三点共线时，AD+DE最小，最小值为4E=J㈠-2)2+(0-2)2=2而,

AD+DE的最小值为2瓦.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，矩形的性质与判断，勾股定理等知识，根据

题意添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键.

2.(2024•陕西西安•二模)(1)如图1,半径为4的。。外有一点尸，且尸。=7,点A在。。上，则尸/的最

大值和最小值分别是和；

(2)如图2,在矩形N8CD中，48=4,=6,点尸在上，点0在8c上，且4P=C。，连接CP、

QD,求PC+00最小时/P的长；

(3)如图3,在Y/BCD中，AB=10,40=20,点。到4B的距离为106，动点、E、尸在边上运动，

始终保持E尸=3,在8c边上有一个直径为四的半圆O,连接与半圆。交于点N,连接CE、FN,求

CE+EF+FN的最小值.

【答案】(1)11；3；(2)3；(3)V589+3

【分析】(1)结合圆的基本性质分两种情况讨论即可；

(2)延长8/至点夕，使/8=/夕，连接37,B'C,交40于点P,结合矩形的性质及已知证明

△ABPGACDQ(SAS),得到尸3=。。，PC+QD=PC+PB=PC+PB'>B'C(当点夕、P、C共线时，取"=

此时点P与点尸'重合），继而得到尸C+QD的最小值为B'C的长，证明,得到工厂="，

BCBB

代入数据求解即可；

（3）如图，过点尸作厂G〃EC,交8C于点G,作点G关于4D的对称点G',连接GG',FG',NG',BG',

OG',