2025年中考数学思想方法复习【转化思想】圆中的转化思想（原卷版）

圆中的转化思想

知识方法精讲

1.转化思想

转化不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思

维方式。所谓的转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过

变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；

将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;将未解决的问题通过变换转化为已解决的问

题。总之，转化在数学解题中几乎无处不在，转化的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成

简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，转化的实质就是以运动变化发展的观点，以

及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使

问题得以解决。实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，

由抽象到具体等转化思想。

2.垂径定理的应用

垂径定理的应用很广泛，常见的有：

（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问

题.

这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方

法一定要掌握.

3.圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交，二者缺一不

可.

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能

技巧一定要掌握.

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形

的顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角

转化.③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条

件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.

4.点与圆的位置关系

(1)点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为r,点尸到圆心的距离。尸=4,则有：

①点P在圆外

②点尸在圆上Qd=r

①点尸在圆内QdO

(2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的

关系可以确定该点与圆的位置关系.

(3)符号“Q”读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端，从右端也可

以得到左端.

5.切线的性质

(1)切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

(2)切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件，这三个条件是:

①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直.

(3)切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作:

见切点，连半径，见垂直.

6.扇形面积的计算

(1)圆面积公式：S=Tir2

(2)扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

(3)扇形面积计算公式：设圆心角是1,圆的半径为R的扇形面积为S,则

S扇形=———TTR'或S扇形(其中/为扇形的弧长)

3602

(4)求阴影面积常用的方法:

①直接用公式法；

②和差法；

③割补法.

（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.

7.圆锥的计算

（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.连接顶点与底面圆心的

线段叫圆锥的高.

（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于

圆锥的母线长.

（3）圆锥的侧面积：S9i=^-'2wl=Tirl.

2

（4）圆锥的全面积:S金=$底+5恻=++豆”

（5）圆锥的体积=>^X底面积X高

3

注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等.

②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等.

选择题（共6小题）

1.（2021•枣庄）如图，正方形的边长为2,。为对角线的交点，点E,尸分别为

的中点.以C为圆心，2为半径作圆弧3。，再分别以£,尸为圆心，1为半径作圆弧8。,

OD,则图中阴影部分的面积为（）

A.71—1B.7i—3C.71—2D.4—71

2.（2021秋•覃塘区期中）如图，一张含有80。的三角形纸片，剪去这个80。角后，得到一

个四边形，则/1+/2的度数是（）

A.200°B.240°C.260°D.300°

3.如图，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,分别以4,C为圆心，以

与的长为半径作圆，将RtAABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（）c疗.

...25「25.5.25

A.24-----7iB.—TcC.24—TID.24------冗

4446

4.（2020•锡山区校级模拟）某数学研究性学习小组制作了如图的三角函数计算图尺：在半

径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺。的0刻度固定在半圆的圆心

。处，刻度尺可以绕点。旋转.图中所示的图尺可读出sin乙4。2的值是（）

5.（2020•河北模拟）已知抛物线>=-2（工-1）（工-9）与x轴交于/,B两点,对称轴与抛

物线交于点C,与x轴交于点D,OC的半径为2,G为OC上一动点，尸为NG的中点，

D.5

6.如图，在AA8C中，CA=CB,AACB=90°,=2,点。为48的中点，以点。为圆

心作圆心角为90。的扇形DM,点C恰在弧所上，则图中阴影部分的面积为（）

B

二.填空题（共9小题）

7.（2020秋•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xQy中，尸（4,3）,。。经过点P.点N,

点8在〉轴上，PA=PB,延长尸工,尸3分别交。。于点C,点。，设直线CD与x轴正方

向所夹的锐角为a.

（1）QO的半径为;

8.如图，直角ZU8C中，乙4=90。，ZB=30°,AC=4,以/为圆心，/C长为半径画四

分之一圆，则图中阴影部分的面积是—（结果保留万）.

9.如图，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是R,油面高为3尺，截面上有油的弓形（阴

2

影部分）的面积为一.

10.如图，圆锥的母线长是3,底面半径是1,/是底面圆周上1点，从/点出发绕侧面一

周，再回到N点的最短的路线长是—.

11.如图，已知直角扇形的半径=，以02为直径在扇形内作半圆M,过点M

引MP//4O交叁于点P,则就与半圆弧及〃尸所围成的阴影部分的面积S阴影=.

12.如图，已知口/BCD中，NN=45。，AD=4cm,以为直径的半圆。与BC相切于点

B,则图中阴影部分的面积是

13.已知。。的半径。4为1.弦N8的长为0,若在。。上找一点C,使/C=G，则

NBAC=

14.如图，阴影部分的面积为

15.如图，正方形48C。的边48=1,砺和就都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的

两部分的面积之差是

三.解答题(共6小题)

16.(2021秋•朝阳区校级期中)如图，在A43D中，AB=AD,以为直径的圆交ND于

点、M,交BD于点O,延长/O至点C,使OC=/O,连结CD,BC.

(1)求证：四边形/BCD是菱形；

(2)若/A/=3,BO=V5,求cosNZMB.

17.(2021•滨城区一模)如图，在RtAABC中，ZB=90°,ED=DF,点、E在4C上,以NE

为直径的O。经过点。.

(1)求证：①8c是。。的切线;

②CD。=CE-CA；

(2)若点尸是劣弧的中点，且。£=3,试求阴影部分的面积.

18.(2021•罗平县模拟)如图，48是。。的直径，/C是弦，点E在圆外，于点

D,BE交OO于点F,连接BD、BC、CF,ZBFC=ZAED.

(1)求证：NE是。。的切线；

(2)求证：OB2=OD-OE；

(3)设A54D的面积为E，A3DE的面积为其，若tanNOD8=—,求」的值.

123S,

19.(2021•商河县校级模拟)(1)初步思考:

如图1,在APCB中，已知尸2=2,BC=4,N为3C上一点且3N=1,试证明：PN=-PC

2

(2)问题提出:

如图2,已知正方形48CD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，求

PD+工尸C的最小值.

2

(3)推广运用:

如图3,已知菱形/BCD的边长为4,48=60。，圆8的半径为2,点尸是圆3上的一个动

PD--PC的最大

图3

20.问题提出

(1)如图1,正方形/BCD的对角线交于点。，ACDE是边长为6的等边三角形，则。、E

之间的距离为—；

问题探究

(2)如图2,在边长为6