2025年中考数学思想方法复习【新定义问题】方程与不等式中的新定义问题（原卷版）

方程与不等式中的新定义问题

知识方法精讲

1.解新定义题型的方法：

方法一：从定义知识的新情景问题入手

这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能

力，分析问题和解决问题的能力.因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的

含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。

方法二：从数学理论应用探究问题入手

对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法.即

前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真

阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤.

方法三：从日常生活中的实际问题入手

对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题,那么处理此类问题需要结合生活实际,

再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。

2.解新定义题型的步骤：

（1）理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.

⑵重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解

题方法.归纳“举例”提供的分类情况.

（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

选择题（共6小题）

1.（2021秋•涡阳县期末）将关于x的一元二次方程f-px+q=O变形为f=px-q,就

可以将f表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如

x3=x-x2=x（px-q）=...,我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较

高的代数式.根据“降次法"，已知：―-工一1=0,且工＞0,贝|/-2/+2尤+1的值为（）

A.1-V5B.1+V5C.3-V5D.3+75

2.（2021•罗湖区校级模拟）对于实数0和6,定义一种新运算"凶”为：°名）6=」不，

a-b

这里等式右边是实数运算.例如：1⑤3=」=-1•则方程X（8）2=N—-1的解是（）

1-328x-4

A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7

a

(a>b)

a-b

3.（2021秋•南皮县校级月考）定义一种新运算:b=<，若5派％=2,

b

(。<b)

、b-a

则x的值为（）

A.此B2c.2D.2

32

4.（2021•福田区一模）对于实数a,b,定义一种新运算"凶"为：a®b=-^,这

a-b

里等式右边是通常的实数运算.例如：1名）3=3=-L，则方程x€）（-1）=）—-1的解

1-324x-1

是（）

A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7

5.定义：如果一元二次方程办2+bx+c=0（a/0）满足a+6+c=0,那么我们称这个方程

为"和谐”方程；如果一元二次方程办2+6x+c=0（"0）满足a-6+c=0那么我们称这个

方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列

结论正确的是（）

A.方有两个相等的实数根B.方程有一根等于0

C.方程两根之和等于0D.方程两根之积等于0

6.（2020秋•随县期末）规定一种新运算：=若2名）［1凶（-刈=6,则x的

值为（）

A.-1B.1C.2D.-2

二.填空题（共5小题）

7.（2021秋•建华区期末）对于非零的两个有理数。、b,我们给出一种新的运算③，规

定：a®b=---,若l区（x+l）=l,贝！lx的值为____.

ba

8.（2021秋•东莞市期末）新定义一种运算“☆”，规定=+若2^x=x+

2,贝!lx的值为.

9.（2020秋•福田区校级期末）对x,y定义一种新运算“派"，规定：x※>=+（其

中心，〃均为非零常数），若1X1=4,1X2=3.则2X1的值是

10.(2020春•思明区校级期末)新定义：对非负数X“四舍五入”到个位的值记为(X).即

当"为非负整数时，若+；则(x)=〃.如(0.46)=0,(3.67)=4.给出下列关于(x)

的结论：

①(1.493)=1；

②(2x)=2(x)；

③若(gx-1)=4,则x的取值范围是"<11；

④当x^O,m为非负整数时，有(〃?+2020%)=m+(2020x)；

其中正确的结论有—(填写所有正确的序号).

11.(2020秋•奉贤区期末)已知°和6两个有理数，规定一种新运算“*”为：a*b=S

a+b

(其中a+bwO),若加*(一■1)=-：，则切=.

三.解答题(共14小题)

12.(2021秋•市中区期末)用定义一种新运算：对于任意有理数a和6,规定

b=ab2+lab+a.如：1☆3=lx3?+2x1x3+1=16.

(1)(-2)翁3=；

(2)若(一☆3)^(-2)=16,求a的值；

(3)“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式河、N的大小，只

要作出它们的差M-N,若M-N>0,则Af>N；若M-N=0,则"=N；若M-N<Q,

则”<N.若2-=m，(-X)☆3=/7(其中x为有理数)，试比较机，”的大小.

13.(2021秋•西城区期末)我们将数轴上点尸表示的数记为8.对于数轴上不同的三个点

M,N,T,若有4-芍=现%-芍)，其中左为有理数，则称点N是点"关于点T的“左

星点”.已知在数轴上，原点为0,点4,点5表示的数分别为/=-2,XB=3.

(1)若点5是点4关于原点。的“左星点"，则左=；若点C是点/关于点5的“2

星点”，则xc=；

（2）若线段在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段N5的中点。.是

否存在某一时刻，使得点。是点4关于点。的“-2星点”？若存在，求出线段N8的运动

时间；若不存在，请说明理由；

（3）点。在数轴上运动（点。不与/,3两点重合），作点/关于点。的“3星点”，记

为H,作点B关于点。的“3星点”，记为".当点。运动时，。4+。2'是否存在最小值？

若存在，求出最小值及相应点。的位置；若不存在，请说明理由.

A0B

IIIIIJ।）।।4।।।।»

-7-6-5-4-3-2-101234567

14.（2021秋•长沙期末）若关于x的方程"+6=0（〃。0）的解与关于》的方程

cy+d=0（c^0）的解满足|x-v|=1,则称方程QX+6=0（。w0）与方程qy+d=0（。w0）是“美

好方程”.例如：方程2x+l=5的解是％=2,方程y-1=0的解是歹二1,因为|x-y|=l,

方程2x+l=5与方程歹-1=0是“美好方程”.

（1）请判断方程5%-3=2与方程2（＞+1）=3是不是“美好方程”，并说明理由；

（2）若关于x的方程位卢-x=2左+1与关于y的方程4y-1=3是“美好方程”，请求出发

的值；

（3）若无论俏取任何有理数，关于尤的方程2x；」a_|=m（a,b为常数）与关于y的方

程y+l=2y-5都是“美好方程”，求仍的值.

15.(2021秋•庆阳期末)若规定这样一种新运算法则：a*b=a=2ab.如

3*(-2)=3*-2x3x(-2)=21.

(1)求5*(-3)的值；

(2)若(-4)*x=-6-2x,求x的值.

16.(2021秋•任城区期末)用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和6,规定。※

b=a(a+b).

例如：1X2=1X(1+2)=1X3=3.

(1)求(-3)派5的值；

(2)若(-2)X(3x-2)=x+l,求x的值.

17.(2021秋•锦江区校级期末)小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出

一个新定义：若毛是关于x的一元一次方程ax+6=0(aW0)的解，为是关于y的方程的所

有解的其中一个解，且毛,为满足/+%=100,则称关于y的方程为关于x的一元一次方

程的“友好方程”.例如：一元一次方程3》-2苫-99=0的解是毛=99,方程y+1=2的

所有解是y=l或y=T,当%=1时，x0+y0=100,所以必+1=2为一元一次方程

3x-2x-99=0的“友好方程”.

(1)已知关于y的方程：①2y-2=4,②|川=2,

以上哪个方程是一元一次方程3x-2x-102=0的“友好方程”？

请直接写出正确的序号是—.

(2)若关于y的方程12y-2|+3=5是关于x的一元一次方程x-与包=。+1的“友好方

程”，请求出a的值.

(3)如关于y的方程2m|j；-49|=m+n是关于％的一元一次方程mx+45〃=54m

的“友好方程”，请直接写出丝士的值.

n

18.(2020•丽水模拟)新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周

长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形.

(1)已知矩形ABCD的长12、宽2,矩形EFGH的长4、宽3,试说明矩形EFGH是矩形ABCD

的“减半”矩形.

(2)矩形的长和宽分别为2,1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由.

19.(2020秋•江北区期末)在平面直角坐标系中，已知点/(-3,0),8(3,0),若在坐标轴

上存在点C,使得AC+BC=k,则称点C为点4,2的“左的和谐点”.例如C坐标为(0,0)

时，AC+BC=6,则称C(0,0)为点/,8的“6的和谐点”.

(1)若点C为点3的“人的和谐点”，且A43c为等腰直角三角形，求左的值；

(2)4,3的“10的和谐点”有几个，请分别求出坐标；

(3)直接指出3的“左的和谐点”的个数情况和相应的左取值条件.

20.（2020秋•九龙坡区期末）若在一个两位正整数4的个位数与十位数字之间添上数字6,

组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“至善数”，如13的“至善数”为163；

若将一个两位正整数3加6后得到一个新数，我们称这个新数为2的“明德数”，如13的

“明德数”为19.

（1）38的“至善数”是—，“明德数”是

（2）若一个两位正整数M的“明德数”的各位数字之和是M的“至善数”各位数字之和

的一半，求出满足条件的所有两位正整数M的值.

21.(2020秋•凤凰县期末)阅读下列材料，然后回答问题:

对于实数x、y我们定义一种新运算Z(x,y)=ax+力，(其中。、6均为非零常数),等式

右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为其中x、y

叫做线性数的一个数对，若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这

时的x、y叫做正格线性数的正格数对.

⑴若文,y)=x+3y,则L(2,l)=一,碎f=一；

(2)已知乙(x,y)=3x+6y,4；，；)=2，若正格线性数上(x,foc)=18(其中左为整数)，

问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出，若没有，请说明理由.

22.(2020秋•新宾县期末)用“*”定义一种新运算：对于任意有理数0和6,规定

a*b=ab2+2ab-b.如：1*3=1x32+2xlx3-3=12.

(1)求(-2)*4的值；

(2)若(尤-1)*3=12,求x的值.

---->b

ab

23.(2020秋•中山区期末)当a片6时，定义一种新运算：F(a,b)=\~例如:

22x48

F(3,l)=—=1,"一1,4)=

4-(-1)5

(1)直接写出尸(a+l,a)=

(2)若尸(m,2)/2,m)=l,求出用的值.

24.