2025年中考数学思想方法复习【新定义问题】圆中的新定义问题（原卷版）

圆中的新定义问题

知识方法精讲

1.解新定义题型的方法：

方法一：从定义知识的新情景问题入手

这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能

力，分析问题和解决问题的能力.因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的

含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。

方法二：从数学理论应用探究问题入手

对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法.即

前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真

阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤.

方法三：从日常生活中的实际问题入手

对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题,那么处理此类问题需要结合生活实际,

再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。

2.解新定义题型的步骤：

(1)理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.

⑵重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解

题方法.归纳“举例”提供的分类情况.

(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

3.垂径定理

(1)垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)垂径定理的推论

推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

4.弧长的计算

(1)圆周长公式：C=2nR

(2)弧长公式：/=史曳(弧长为/,圆心角度数为小圆的半径为R)

180

①在弧长的计算公式中，〃是表示1°的圆心角的倍数，〃和180都不要带单位.

②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长.

③题设未标明精确度的，可以将弧长用7T表示.

④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的

弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一.

填空题（共2小题）

1.（2021•禄劝县模拟）如图，A4BC是正三角形，曲线CZ）所…叫做''正三角形的渐开线”,

其中弧C。、弧。£、弧所的圆心依次按N、B、C...循环，它们依次相连接.若48=1,

则曲线CDE产的长是.

2.（2020•成都模拟）如图，在AABC中，D,E分别是A4BC两边的中点，如果贪（可

以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在A43c的内部或边上，则称能为A43C的中内弧,

例如，图中族是AA5C其中的某一条中内弧.若在平面直角坐标系中，已知点尸（0,4）,

0（0,0）,8（4,0）,在AFO77中，M,N分别是尸O,9的中点，AFO8的中内弧加所

在圆的圆心P的纵坐标机的取值范围是.

二.解答题（共18小题）

3.（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为2.点尸，。为

外两点，给出如下定义：若。。上存在点N,使得以尸，Q,M,N为顶点的四边形

为矩形，则称点尸，。是。。的“成对关联点”.

（1）如图，点4B,C,。横、纵坐标都是整数.在点2,C,。中，与点/组成OO

的“成对关联点”的点是;

(2)点、EQt,t)在第一象限，点厂与点E关于x轴对称，若点E,歹是的“成对

关联点”，直接写出,的取值范围；

(3)点G在〉轴上，若直线了=4上存在点X,使得点G,X是OO的“成对关联点”，

4.(2021秋•海淀区期末)在平面直角坐标系X。中，图形少上任意两点间的距离有最大值,

将这个最大值记为d.对点尸及图形水给出如下定义：点。为图形少上任意一点，若尸，

0两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d.则称点尸为图形水的“倍点”.

(1)如图1,图形水是半径为1的OO.

①图形少上任意两点间的距离的最大值4为一；

②在点片(0,2),乙(3,3),月(-3,0)中，。。的“倍点”是；

(2)如图2,图形少是中心在原点的正方形/3CD,点4(-1,1).若点£(7,3)是正方形/BCD

的“倍点”，求/的值；

(3)图形少是长为2的线段T为的中点，若在半径为6的。。上存在线段

的“倍点”，直接写出所有满足条件的点7组成的图形的面积.

5.(2021秋•丰台区期末)对于平面直角坐标系xOy中的图形N,给出如下定义：若

图形M和图形N有且只有一个公共点P,则称点尸是图形"和图形N的“关联点”.

己知点/(2,0),2(0,2),C(2,2),D(1,V3).

(1)直线/经过点/,08的半径为2,在点/,C,。中直线/和03的“关联点”是；

(2)G为线段GM中点，。为线段。G上一点(不与点。，G重合)，若。。和AO4D有

“关联点”，求。。半径r的取值范围；

(3)。7的圆心为点T(。，。0>0)，半径为，，直线加过点/且不与x轴重合.若OT和

直线加的“关联点”在直线y=x+6上，请直接写出6的取值范围.

6.(2021秋•大兴区期末)在平面直角坐标系xQy中，点"在无轴上，以点M为圆心的圆

与x轴交于/(1,0),5(4,0)两点，对于点P和0/,给出如下定义：若抛物线

了="2+区+C(。彳0)经过/,B两点且顶点为尸，则称点P为。”的“图象关联点”.

(1)已知£(5,2),F(|,-4),G(3,l),77(1,3),在点E,F,G,“中，O“的”

图象关联点”是—；

(2)已知的“图象关联点"尸在第一象限，若OP=，PM,判断OP与的位置

3

关系，并证明；

(3)已知C(4,2),D(l,2),当的“图象关联点”尸在外且在四边形N8CD内时,

直接写出抛物线y="2+6x+c中”的取值范围.

7.(2021秋•海淀区校级期末)平面内的OO和OO外一点N,过点/的直线/与。。交于3,

C两点(2在/,C之间)，点。为平面内一点.若以4D为边的正方形/D跖的面积等于

分别以NB,NC为一组邻边的矩形的面积，则称正方形NDE尸为点/关于。。的“原本正

方形”，该正方形的中心称为点/关于。。的“原本点”.

如图所示，正方形NDE厂的面积等于矩形4WC的面积，其中/河=/8,称正方形/£>£尸

为点/关于。。的“原本正方形”，该正方形中心点G称为点/关于。。的“原本点”.特

别的，当点。恰好在。。上时，称此时正方形的中心G为点/关于OO的“单纯原本点”.

(1)在平面直角坐标系xS中，O。的半径为4,4-6,0).

①过点N的直线/与x轴重合，则点4关于O。的“原本正方形”的边长为—；

②过点/的直线/与x轴夹角为30。，则点/关于。。的“原本点”中，横纵坐标均为整数

的点有个.

(2)的圆心为M(w,O),半径为1.点N为坐标平面上一点，且M4=6,过点N的

直线/与。"交于3,C两点.直线y=-x+5与x,y轴分别交于点。和点E,若线段OE

上存在点/关于的“原本点”，求他的取值范围.

(3)ON的圆心为N(〃，0)(«>0),半径为^CW.点H为坐标平面内一点，过点〃的

直线/与ON有两个交点，目ON=NH.若直线y=J§x+6上存在点P,使得点P为点H关

8.(2021秋•门头沟区期末)如图，在平面直角坐标系xS中，C(0,2),。。的半径为1.如

果将线段AB绕原点。逆时针旋转a(00<a<180°)后的对应线段A'B'所在的直线与QC相

切，且切点在线段49上，那么线段就是OC的“关联线段”，其中满足题意的最小。就

是线段N8与0c的“关联角”.

(1)如图1,如果/(2,0),线段。4是。。的“关联线段”，那么它的“关联角”为一

(2)如图2,如果4(-3,3)、月(-2,3),4(1,1)、鸟(3,2)，43。)、53(3,-2).

那么。。的“关联线段”有—(填序号，可多选).

①线段4月

②线段4与

③线段44

(3)如图3,如果8(1,0)、D&0),线段3。是OC的“关联线段”,那么/的取值范围是.

(4)如图4,如果点”的横坐标为加，且存在以M为端点，长度为G的线段是0C的“关

联线段”，那么〃，的取值范围是—.

图3图4

9.(2021秋•海淀区校级期末)新定义：在平面直角坐标系xQy中，若几何图形G与。/有

公共点，则称几何图形G的叫的关联图形，特别地，若。/的关联图形G为直线，则称

该直线为O/的关联直线.如图，为O/的关联图形，直线/为O/的关联直线.

(1)已知。。是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：

①直线y=2x+2；②直线y=-x+3；③双曲线y=2,是。。的关联图形的是—(请直

X

接写出正确的序号).

(2)如图1,07的圆心为7(1,0),半径为1,直线/:y=-x+6与x轴交于点N,若直线/

是OT的关联直线，求点N的横坐标的取值范围.

(3)如图2,已知点3(0,2),C(2,0),D(0,-2),O/经过点C,O/的关联直线网经过

点3,与。/的一个交点为P；。/的关联直线也经过点。，与。/的一个交点为。；直

线HB,HD交于点、H,若线段尸。在直线

x=6上且恰为OI的直径，请直接写出点8横坐标h的取值范围.

图1图2

10.（2021秋•工业园区校级期中）在平面直角坐标系内，过OT（半径为尸）外一点尸引它

的一条切线，切点为。，若0＜。0?尸，则称点尸是07的“沙湖点”.

（1）当。。的半径为1时，

①在点4（4,0）,B（0,后,C（l,百）中，。。的“沙湖点”是；

②点。在直线y=x+3上，且点。是。。的“沙湖点”，求点。的横坐标4的取值范围；

（2）。〃的圆心为M（冽,0）,半径为2,直线》=2%-2与x轴，＞轴分别交于点E,F.若

直线川上的所有点都是。M的“沙湖点”，求机的取值范围.

4-

3-

2-

1-

1111___________IIII»

-4-3-2-101234X

-1-

-2-

-3-

—4一

11.(2021秋•漂阳市期中)概念认识：

平面内，”为图形7上任意一点，N为。。上任意一点，将“、N两点间距离的最小值称

为图形T到。。的“最近距离”，记作以7-。。).例：如图1,在直线/上有/、C、。三

点，以/C为对角线作正方形N8C。，以点O为圆心作圆，与/交于£、尸两点,若将正方

形/BCD记为图形T,则C、E两点间的距离称为图形T到。的“最近距离”.

数学理解：

(1)在平面内有/、3两点，以点/为圆心，5为半径作ON,将点2记为图形T,若

d(T-OA)=2,贝ljN8=.

(2)如图2,在平面直角坐标系中，以。(0,0)为圆心，半径为2作圆.

①将点C(4,3)记为图形T,贝1」或7-。。)=.

②将一次函数y=fcc+2a的图记为图形T,若以7-。)>0,求后的取值范围.

推广运用：

(3)在平面直角坐标系中，P的坐标为(f,()),OP的半径为2,£两点的坐标分别为(5,5)、

(5,-5),将ADOE记为图形T,若d(T-OP)=l,则/=.

12.(2021•常州一模)在平面直角坐标系xOy中，。。的半径是痴，A,8为。。外两

点，AB=2也.给出如下定义：平移线段48,使平移后的线段4夕成为。。的弦(点

9分别为点/,2的对应点)，线段44,长度的最小值成为线段43到。。的“优距离”.

图1图2

(1)如图1,O。中的弦片心、片鸟是由线段平移而得，这两条弦的位置关系是；

在点6，P2,P3,与中，连接点/与点—的线段长度等于线段到O。的“优距离”;

(2)若点N(0,7),3(2,5),线段N4的长度是线段到。。的“优距离”，则点4的坐标

为;

(3)如图2,若N,3是直线y=-x+6上两个动点，记线段N8到。。的“优距离”为"，

则d的最小值是；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母.

13.(2021•建邺区二模)【概念学习】

在平面直角坐标系xQy中，。。的半径为1,若。。平移4个单位后，使某图形上所有点在

。。内或。。上，则称"的最小值为。。对该图形的“最近覆盖距离”.例如，如图①，A(3,0),

8(4,0),则0。对线段N3的“最近覆盖距离”为3.

【概念理解】

(1)。0对点(3,4)的“最近覆盖距离”为.

(2)如图②，点尸是函数y=2x+4图象上一点，且。。对点P的“最近覆盖距离”为3,

则点P的坐标为.

【拓展应用】

(3)如图③，若一次函数夕=履+4的图象上存在点C,使00对点C的“最近覆盖距离”

为1,求左的取值范围.

(4)。(3,刈、£(4,加+1),且-4〈加＜2,将O。对线段的“最近覆盖距离”记为d,

则d的取值范围是

14.(2021•石景山区二模)在平面直角坐标系xOy中，对于0M内的一点尸，若在0M外

存在点P'，使得MP'=2MP,则称点P为OM的二倍点.

(1)当。。的半径为2时，

①在7](1,0),7;(1,-1),4(]，方三个点中，是O。的二倍点的是;

②已知一次函数y=履+2左与y轴的交点是A(0,a),若一次函数在第二象限的图象上的所有

点都是OO的二倍点，求。的取值范围.

(2)已知点”(加,0),3(0,-；),C(l,-1),GW的半径为2,若线段3C上存在点尸为(W

的二倍点，直接写出力的取值范围.

15.(2020•雨花区校级一模)在平面直角坐标系xQy中，对于点P(a,6)和正实数左，给出

如下定义：当妨2+6>0时，以点P为圆心，妨为半径的圆，称为点尸的“左倍雅圆”

例如，在图1中，点尸(1,1)的“1倍雅圆”是以点尸为圆心，2为半径的圆.

(1)在点6(3,1),£(1,-2)中，存在“1倍雅圆”的点是.该点的“1倍雅圆”的半

径为—•

(2)如图2,点”是y轴正半轴上的一个动点，点N在第一象限内，且满足NMON=30。，

试判断直线ON与点M的“2倍雅圆”的位置关系，并证明；

(3)如图3,已知点4(0,3),5(-1,0),将直线48绕点，顺时针旋转45。得到直线/.

①当点C在直线/上运动时，若始终存在点C的“左倍雅圆”，求左的取值范围；

②点D是直线上一点，点。的“3倍雅圆”的半径为R，是否存在以点D为圆心，、再

4V3

为半径的圆与直线/有且只有1个交点，若存在,求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

5-

4-fy

，/G,「工

-2-1345；o

2图

-r1§目2图3

16.(2020•丰台区二模)过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线

圆.特别地，半径最小的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆.

在平面直角坐标系X0P中，点尸(0,2).

(1)已知点4(0,1),5(1,1),C(2,2),分别以/,8为圆心，1为半径作ON,以C

为圆心，2为半径作OC,其中是点尸和x轴的点线圆的是—；

(2)记点尸和x轴的点线圆为。。，如果。。与直线>=岳+3没有公共点，求0。的半

径，的取值范围；

(3)直接写出点尸和直线y=(左30)的最小点线圆的圆心的横坐标，的取值范围.

>4

4-

3-

2-

1-

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-4-3-2-11234x

-1-

-2-

-3-

-4-

17.(2020•海淀区一模)A,8是OC上的两个点，点尸在OC的内部.若N4P3为直角，

则称ZAP3为48关于OC的内直角，特别地，当圆心C在44PB边(含顶点)上时，称ZAP3

为关于。。的最佳内直角.如图1,乙必四是关于。。的内直角，NANB是AB关于

。。的最佳内直角.在平面直角坐标系xQy中.

(1)如图2,。。的半径为5,4(0,-5),8(4,3)是0。上两点.

①已知4(1,0),巴(0,3),8(一2,1),在ZAP2B,//巴2中，是N5关于。。的内直

角的是—;

②若在直线夕=2x+6上存在一点尸，使得N4PB是N8关于。。的内直角，求6的取值范围.

(2)点E是以790)为圆心，4为半径的圆上一个动点，。7与x轴交于点。(点。在点7

的右边).现有点M(l,0),N(0,〃)，对于线段"V上每一点〃，都存在点T,使NDHE是DE

关于07的最佳内直角，请直接写出〃的最大值，以及〃取得最大值时f的取值范围.

备用图1

备用图2

18.(2020•延庆区一模)对于平面内的点P和图形M,给出如下定义：以点P为圆心，以厂

为半径作。尸，使得图形M上的所有点都在OP的内部(或边上)，当r最小时，称OP为

图形加■的尸点控制圆，止匕时，OP的半径称为图形”的P点控制半径.已知，在平面直角

坐标系中，正方形O48C的位置如图所示，其中点5(2,2).

(1)已知点£>(1,0),正方形GMBC的。点控制半径为斗，正方形048c的/点控制半径为

r2,请比较大小：4r2；

(2)连接。8,点尸是线段05上的点，直线/:夕=瓜+6；若存在正方形CUBC的尸点

控制圆与直线/有两个交点，求6的取值范围.

7A>'

6

5

4

3

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1

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65-4-32工01234567”

-2

-3

-4

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-6

19.(2020•海淀区校级模拟)在平面直角坐标系中