2025届湖南省醴陵市第二中学高考冲刺模拟数学试题含解析

2025届湖南省醴陵市第二中学高考冲刺模拟数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合M＝{y｜y＝2x，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－xA．（1，＋∞） B．（1，2） C．[2，＋∞） D．[1，＋∞）2．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（）A． B．复数的共轭复数是C． D．3．已知命题,；命题若，则，下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．4．已知复数，则对应的点在复平面内位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．已知，函数在区间内没有最值，给出下列四个结论：①在上单调递增；②③在上没有零点；④在上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④6．若，则实数的大小关系为（）A． B． C． D．7．点是单位圆上不同的三点，线段与线段交于圆内一点M，若，则的最小值为（）A． B． C． D．8．若为纯虚数，则z＝（）A． B．6i C． D．209．已知空间两不同直线、，两不同平面，，下列命题正确的是（）A．若且，则 B．若且，则C．若且，则 D．若不垂直于，且，则不垂直于10．不等式组表示的平面区域为，则（）A．， B．，C．， D．，11．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（）A． B．C． D．12．已知向量，满足||＝1，||＝2，且与的夹角为120°，则＝（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记为数列的前项和，若，则__________.14．设函数，则满足的的取值范围为________.15．在四面体中，与都是边长为2的等边三角形，且平面平面，则该四面体外接球的体积为_______．16．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知A是抛物线E：y2＝2px(p>0)上的一点，以点A和点B(2,0)为直径两端点的圆C交直线x＝1于M，N两点.（1）若|MN|＝2，求抛物线E的方程；（2）若0＜p＜1，抛物线E与圆(x﹣5)2+y2=9在x轴上方的交点为P，Q，点G为PQ的中点，O为坐标原点，求直线OG斜率的取值范围.18．（12分）已知的面积为，且.（1）求角的大小及长的最小值；（2）设为的中点，且，的平分线交于点，求线段的长.19．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，，，，，为的中点，为棱上的一点.（1）证明：面面；（2）当为中点时，求二面角余弦值.20．（12分）已知函数，其中为实常数.（1）若存在，使得在区间内单调递减，求的取值范围；（2）当时，设直线与函数的图象相交于不同的两点，，证明：.21．（12分）已知函数的图象在处的切线方程是.（1）求的值；（2）若函数，讨论的单调性与极值；（3）证明：.22．（10分）如图,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且.(I)求证：为直角三角形；(II)试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2)．故选B．2、D【解析】

首先求得，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由题意知复数，则，所以A选项不正确；复数的共轭复数是，所以B选项不正确；，所以C选项不正确；，所以D选项正确.故选：D【点睛】本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.3、B【解析】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．4、A【解析】

利用复数除法运算化简，由此求得对应点所在象限.【详解】依题意，对应点为，在第一象限.故选A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.5、A【解析】

先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出，判断函数的单调性和零点情况得解.【详解】因为函数在区间内没有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上单调递减.当时，，且，所以在上只有一个零点.所以正确结论的编号②④故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6、A【解析】

将化成以为底的对数，即可判断的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系.【详解】依题意，由对数函数的性质可得.又因为，故.故选:A.【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.7、D【解析】

由题意得，再利用基本不等式即可求解．【详解】将平方得，（当且仅当时等号成立），，的最小值为，故选：D．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．8、C【解析】

根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.【详解】∵为纯虚数，∴且得，此时故选：C.【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题.9、C【解析】因答案A中的直线可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线也成立，故不正确；答案C中的直线可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直，是正确的；答案D中直线也有可能垂直于直线，故不正确．应选答案C．10、D【解析】

根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设，分析的几何意义，可得的最小值，据此分析选项即可得答案.【详解】解：根据题意，不等式组其表示的平面区域如图所示，其中，，

设，则，的几何意义为直线在轴上的截距的2倍，

由图可得：当过点时，直线在轴上的截距最大，即，当过点原点时，直线在轴上的截距最小，即，故AB错误；

设，则的几何意义为点与点连线的斜率，由图可得最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C错误，D正确；故选：D.【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.11、D【解析】

设，在中，由余弦定理得，从而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.【详解】设，在中，由余弦定理得，则，从而，由正弦定理得，即，从而，在中，由余弦定理得：，则.故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12、D【解析】

先计算，然后将进行平方，，可得结果.【详解】由题意可得：∴∴则.故选：D.【点睛】本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-254【解析】

利用代入即可得到，即是等比数列，再利用等比数列的通项公式计算即可.【详解】由已知，得，即，所以又，即，，所以是以-4为首项，2为公比的等比数列，所以，即，所以。故答案为：【点睛】本题考查已知与的关系求，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.14、【解析】

当时，函数单调递增，当时，函数为常数，故需满足，且，解得答案.【详解】，当时，函数单调递增，当时，函数为常数，需满足，且，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.15、【解析】

先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积.【详解】取的外心为，设为球心，连接，则平面，取的中点，连接，，过做于点，易知四边形为矩形，连接，，设，.连接，则，，三点共线，易知，所以，.在和中，，，即，，所以，，得.所以.【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.16、【解析】

由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）【解析】

（1）设A的坐标为A（x0，y0），由题意可得圆心C的坐标，求出C到直线x＝1的距离.由半个弦长，圆心到直线的距离及半径构成直角三角形可得p的值，进而求出抛物线的方程；（2）将抛物线的方程与圆的方程联立可得韦达定理，进而求出中点G的坐标，再求出直线OG的斜率的表达式，换元可得斜率的取值范围.【详解】（1）设A（x0，y0）且y02＝2px0，则圆心C（），圆C的直径|AB|，圆心C到直线x＝1的距离d＝|1|＝||，因为|MN|＝2，所以（）2+d2＝（）2，即1，y02＝2px0，整理可得（2p﹣4）x0＝0，所以p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；（2）联立抛物线与圆的方程整理可得x2﹣2（5﹣p）x+16＝0，△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝2（5﹣p），x1x2＝16，所以中点G的横坐标xG＝5﹣p，yG（），所以kOG（0＜P＜1），令t＝5﹣p（t∈（4，5）），则kOG（），解得0＜kOG，所以直线OG斜率的取值范围（0，）.【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，换元方法的应用，属于中档题.18、（1），；（2）.【解析】

（1）根据面积公式和数量积性质求角及最大边；（2）根据的长度求出，再根据面积比值求，从而求出．【详解】（1）在中，由，得，由，得，所以，所以，，因为在中，，所以，因为（当且仅当时取等），所以长的最小值为；（2）在三角形中，因为为中线，所以，，所以，因为，所以，所以，由（1）知，所以，或，，所以，因为为角平分线，，，或2，所以，或，所以．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用，属于中档题．19、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）要证明面面，只需证明面即可；（2）以为坐标原点，以，，分别为，，轴建系，分别计算出面法向量，面的法向量，再利用公式计算即可.【详解】证明：（1）因为底面为正方形，所以又因为，，满足，所以又，面，面，，所以面.又因为面，所以，面面.（2）由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，以，，分别为，，轴建系如图所示，则，，,，则，.所以，，，，设面法向量为，则由得，令得，，即；同理，设面的法向量为，则由得，令得，，即，所以，设二面角的大小为，则所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角，考查学生的运算求解能力，此类问题关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.20、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）将所求问题转化为在上有解，进一步转化为函数最值问题；（2）将所证不等式转化为，进一步转化为，然后再通过构造加以证明即可.【详解】（1），根据题意，在内存在单调减区间，则不等式在上有解，由得，设，则，当且仅当时，等号成立，所以当时，，所以存在，使得成立，所以的取值范围为。（2）当时，，则，从而所证不等式转化为，不妨设，则不等式转化为，即，即，令，则不等式转化为，因为，则，从而不等式化为，设，则，所以在上单调递增，所以即不等式成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性、利用导数证明不等式，这里要强调一点，在证明不等式时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理，本题是一道有高度的压轴解答题.21、（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；（3）见解析.【解析】

（1）切点既在切线上又在曲线上得一方程，再根据斜率等于该点的导数再列一方程，解方程组即可；（2）先对求导数，根据导数判断和求解即可.（3）把证明转化为证明，然后证明极小值大于极大值即可.【详解】解：（