2025届广东省宝安中学高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

2025届广东省宝安中学高考全国统考预测密卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，D为的中点，E为上靠近点B的三等分点，且，相交于点P，则（）A． B．C． D．2．在中，“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知函数（，且）在区间上的值域为，则（）A． B． C．或 D．或45．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）A． B． C． D．6．执行下面的程序框图，如果输入，，则计算机输出的数是（）A． B． C． D．7．一个陶瓷圆盘的半径为，中间有一个边长为的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.1478．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（）A． B． C． D．9．若集合，，则A． B． C． D．10．双曲线C：（，）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（）A．3 B． C．6 D．11．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布，且．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（）A．40 B．60 C．80 D．10012．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为________.14．已知随机变量服从正态分布，，则__________．15．在正方体中，分别为棱的中点，则直线与直线所成角的正切值为_________.16．已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.18．（12分）在直角坐标系中，曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若点是圆上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线斜率的取值范围.19．（12分）已知椭圆，上顶点为，离心率为，直线交轴于点，交椭圆于，两点，直线，分别交轴于点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：为定值．20．（12分）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，.（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前n项和.21．（12分）已知函数，，（1）讨论的单调性；（2）若在定义域内有且仅有一个零点，且此时恒成立，求实数m的取值范围.22．（10分）已知，且．（1）请给出的一组值，使得成立；（2）证明不等式恒成立．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

设，则，，由B，P，D三点共线，C，P，E三点共线,可知，,解得即可得出结果.【详解】设，则，，因为B，P，D三点共线，C，P，E三点共线，所以，，所以，.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.2、C【解析】

由余弦函数的单调性找出的等价条件为，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.【详解】余弦函数在区间上单调递减，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.3、A【解析】

由复数的除法运算可整理得到，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.【详解】由得：，对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：.【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.4、C【解析】

对a进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.【详解】分析知，.讨论：当时，，所以，，所以；当时，，所以，，所以.综上，或，故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.5、B【解析】

试题分析：设在直线上的投影分别是，则，，又是中点，所以，则，在中，所以，即，所以，故选B．考点：抛物线的性质．【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半，然后转化为两点到焦点的距离，从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系．6、B【解析】

先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.【详解】本程序框图的功能是计算，中的最大公约数，所以，，，故当输入，，则计算机输出的数是57.故选：B.【点睛】本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.7、B【解析】

结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可【详解】如图，由几何概型公式可知：.故选：B【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题8、B【解析】

先列举出不超过的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，满足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】不超过的素数有：、、、、、，在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种情况，其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、、、，共种情况，因此，所求事件的概率为.故选：B.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.9、C【解析】

解一元次二次不等式得或，利用集合的交集运算求得.【详解】因为或，，所以，故选C.【点睛】本题考查集合的交运算，属于容易题.10、A【解析】

根据焦点到渐近线的距离，可得，然后根据，可得结果.【详解】由题可知：双曲线的渐近线方程为取右焦点，一条渐近线则点到的距离为，由所以，则又所以所以焦距为：故选：A【点睛】本题考查双曲线渐近线方程，以及之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为，属基础题.11、D【解析】

由正态分布的性质，根据题意，得到，求出概率，再由题中数据，即可求出结果.【详解】由题意，成绩X近似服从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，根据正态分布曲线的对称性，求得，所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为人，故选:.【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.12、B【解析】

利用等差数列的性质求出的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.【详解】由等差数列的性质可得，.故选：B.【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值．【详解】解：设点，，其中，，由，，，可设，导数为，由，可得，可得或，由，，可得，即，可得，由可得函数递减；由，可得函数递增，可得时，函数取得最小值，且为，则的最小值为1．故答案为：1．【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题．14、0.22.【解析】

正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。【详解】【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．15、【解析】

由中位线定理和正方体性质得，从而作出异面直线所成的角，在三角形中计算可得．【详解】如图，连接，，，∵分别为棱的中点，∴，又正方体中，即是平行四边形，∴，∴，（或其补角）就是直线与直线所成角，是等边三角形，∴＝60°，其正切值为．故答案为：．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成的角．16、【解析】，由题意，得,解得，则的周期为4，且，所以.考点：三角函数的图像与性质.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）直线普通方程：，曲线直角坐标方程：；（2）.【解析】

（1）消去直线参数方程中的参数即可得到其普通方程；将曲线极坐标方程化为，根据极坐标和直角坐标互化原则可得其直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数的几何意义可知，利用韦达定理求得结果.【详解】（1）由直线参数方程消去可得普通方程为：曲线极坐标方程可化为：则曲线的直角坐标方程为：，即（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：设两点对应的参数分别为：，则，【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义的应用；求解距离之和的关键是能够明确直线参数方程中参数的几何意义，利用韦达定理来进行求解.18、（1）；（2）【解析】

（1）设，根据题意可得点的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点的轨迹的方程；（2）设出切线的斜率分别为，切点，，点，则可得过点的拋物线的切线方程为，联立抛物线方程并化简，由相切时可得两条切线斜率关系；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出，可求得，结合点满足的方程可得的取值范围，即可求得的范围.【详解】（1）设点，∵点到直线的距离等于，∴，化简得，∴动点的轨迹的方程为.（2）由题意可知，的斜率都存在，分别设为，切点，，设点，过点的拋物线的切线方程为，联立，化简可得，∴，即，∴，.由，求得导函数，∴，，，∴，因为点满足，由圆的性质可得，∴，即直线斜率的取值范围为.【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.19、（Ⅰ）；（Ⅱ），证明见解析．【解析】

（Ⅰ）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）设点，，点，，易求直线的方程为：，令得，，同理可得，所以，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理代入上式，化简即可得到．【详解】（Ⅰ）解：由题意可知：，解得，椭圆的方程为：；（Ⅱ）证：设点，，点，，联立方程，消去得：，，①，点，，，直线的方程为：，令得，，，，同理可得，，，把①式代入上式得：，为定值．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、定值问题的求解；关键是能够通过直线与椭圆联立得到韦达定理的形式，利用韦达定理化简三角形面积得到定值；考查计算能力与推理能力，属于中档题．20、（1）；（2）【解析】

(1)设数列的公差为d,由可得,,由即可解得,故,由,即可解得,进而求得.(2)由（1）得，,利用分组求和及错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q，由可得，，整理得，即，故，由可得，则，即，故.（2）由（1）得，，，故，所以，数列的前n项和为，设①，则②，②①得，综上，数列的前n项和为.【点睛】本题考查求等差等比的通项公式,考试分组求和及错位相减法求数列的和,考查学生的计算能力,难度一般.21、（1）时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．（2）．【解析】

（1）求出导函数，分类讨论，由确定增区间，由确定减区间；（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得结论．【详解】（1）函数定义域是，，当时，，单调递增；时，令得，时，，递减，时，，递增，综上所述，时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．（2）易知，由函数单调性，若有唯一零点，则或．当时，，，从而只需时，恒成立，即，令，，