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文档简介
江西省昌江一中2025届高三下学期联考数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若(),,则()A.0或2 B.0 C.1或2 D.12.执行如图所示的程序框图后,输出的值为5,则的取值范围是().A. B. C. D.3.已知复数z满足(i为虚数单位),则z的虚部为()A. B. C.1 D.4.已知双曲线(,),以点()为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于,两点,若,则的离心率为()A. B. C. D.5.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,其中左视图中三角形为等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积是()A. B.C. D.6.总体由编号01,,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
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4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B.07 C.02 D.017.若θ是第二象限角且sinθ=,则=A. B. C. D.8.双曲线x26-y23=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=A.3 B.2C.3 D.69.数学中的数形结合,也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论:①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2;③曲线C围成区域的面积大于;④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④10.()A. B. C. D.11.已知复数,满足,则()A.1 B. C. D.512.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在一底面半径和高都是的圆柱形容器中盛满小麦,有一粒带麦锈病的种子混入了其中.现从中随机取出的种子,则取出了带麦锈病种子的概率是_____.14.已知向量,,,若,则______.15.若直线与直线交于点,则长度的最大值为____.16.假设10公里长跑,甲跑出优秀的概率为,乙跑出优秀的概率为,丙跑出优秀的概率为,则甲、乙、丙三人同时参加10公里长跑,刚好有2人跑出优秀的概率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为提供市民的健身素质,某市把四个篮球馆全部转为免费民用(1)在一次全民健身活动中,四个篮球馆的使用场数如图,用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场,在中随机取两数,求这两数和的分布列和数学期望;(2)设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为,其相应维修费用为元,根据统计,得到如下表的数据:x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求与的回归直线方程;②叫做篮球馆月惠值,根据①的结论,试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值参考数据和公式:,18.(12分)如图,己知圆和双曲线,记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、,又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.(1)若,且恰为的左焦点,求的两条渐近线的方程;(2)若,且,求实数的值;(3)若恰为的左焦点,求证:在轴上不存在这样的点,使得.19.(12分)已知两数.(1)当时,求函数的极值点;(2)当时,若恒成立,求的最大值.20.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)第十四届全国冬季运动会召开期间,某校举行了“冰上运动知识竞赛”,为了解本次竞赛成绩情况,从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数,满分100分)进行统计,请根据频率分布表中所提供的数据,解答下列问题:(1)求、、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率;(2)若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动,并指定2名负责人,求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.组号分组频数频率第1组150.15第2组350.35第3组b0.20第4组20第5组100.1合计1.0022.(10分)已知数列满足,等差数列满足,(1)分别求出,的通项公式;(2)设数列的前n项和为,数列的前n项和为证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
利用复数的模的运算列方程,解方程求得的值.【详解】由于(),,所以,解得或.故选:A【点睛】本小题主要考查复数模的运算,属于基础题.2、C【解析】
框图的功能是求等比数列的和,直到和不满足给定的值时,退出循环,输出n.【详解】第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:;第四次循环:;此时满足输出结果,故.故选:C.【点睛】本题考查程序框图的应用,建议数据比较小时,可以一步一步的书写,防止错误,是一道容易题.3、D【解析】
根据复数z满足,利用复数的除法求得,再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z满足,所以,所以z的虚部为.故选:D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.4、A【解析】
求出双曲线的一条渐近线方程,利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点,且,则可根据圆心到渐近线距离为列出方程,求解离心率.【详解】不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于,因为,所以圆心到的距离为:,即,因为,所以解得.故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查了转化思想以及计算能力,属于中档题.对于离心率求解问题,关键是建立关于的齐次方程,主要有两个思考方向,一方面,可以从几何的角度,结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程;另一方面,可以从代数的角度,结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.5、C【解析】
作出三视图所表示几何体的直观图,可得直观图为直三棱柱,并且底面为等腰直角三角形,即可求得外接球的半径,即可得外接球的体积.【详解】如图为几何体的直观图,上下底面为腰长为的等腰直角三角形,三棱柱的高为4,其外接球半径为,所以体积为.故选:C【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意球心的确定.6、D【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为:08,02,14,07,01,所以第5个个体是01,选D.考点:此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法,考查学习能力和运用能力.7、B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知:,.所以.8、A【解析】
由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为y=±22x,圆心坐标为(3,0).由题意知,圆心到渐近线的距离等于圆的半径r,即r=±答案:A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系,属于基础题.9、B【解析】
利用基本不等式得,可判断②;和联立解得可判断①③;由图可判断④.【详解】,解得(当且仅当时取等号),则②正确;将和联立,解得,即圆与曲线C相切于点,,,,则①和③都错误;由,得④正确.故选:B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用,根据方程,判断曲线的性质及结论,考查学生逻辑推理能力,是一道有一定难度的题.10、B【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】.故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.11、A【解析】
首先根据复数代数形式的除法运算求出,求出的模即可.【详解】解:,,故选:A【点睛】本题考查了复数求模问题,考查复数的除法运算,属于基础题.12、A【解析】
利用已知条件画出几何体的直观图,然后求解几何体的体积.【详解】几何体的三视图的直观图如图所示,则该几何体的体积为:.故选:.【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
求解占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可.【详解】解:由题意可得:取出了带麦锈病种子的概率.故答案为:.【点睛】本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题.14、-1【解析】
由向量垂直得向量的数量积为0,根据数量积的坐标运算可得结论.【详解】由已知,∵,∴,.故答案为:-1.【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算.掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键.15、【解析】
根据题意可知,直线与直线分别过定点,且这两条直线互相垂直,由此可知,其交点在以为直径的圆上,结合图形求出线段的最大值即可.【详解】由题可知,直线可化为,所以其过定点,直线可化为,所以其过定点,且满足,所以直线与直线互相垂直,其交点在以为直径的圆上,作图如下:结合图形可知,线段的最大值为,因为为线段的中点,所以由中点坐标公式可得,所以线段的最大值为.故答案为:【点睛】本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定义得到交点在以为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.16、【解析】
分跑出优秀的人为:甲、乙和甲、丙和乙、丙三种情况分别计算再求和即可.【详解】刚好有2人跑出优秀有三种情况:其一是只有甲、乙两人跑出优秀的概率为;其二是只有甲、丙两人跑出优秀的概率为;其三是只有乙、丙两人跑出优秀的概率为,三种情况相加得.即刚好有2人跑出优秀的概率为.故答案为:【点睛】本题主要考查了分类方法求解事件概率的问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析,12.5(2)①②20【解析】
(1)运用分层抽样,结合总场次为100,可求得的值,再运用古典概型的概率计算公式可求解果;(2)①由公式可计算的值,进而可求与的回归直线方程;②求出,再对函数求导,结合单调性,可估计这四个篮球馆月惠值最大时的值.【详解】解:(1)抽样比为,所以分别是,6,7,8,5所以两数之和所有可能取值是:10,12,13,15,,,所以分布列为期望为(2)因为所以,,;②,设,所以当递增,当递减所以约惠值最大值时的值为20【点睛】本题考查直方图的实际应用,涉及求概率,平均数、拟合直线和导数等问题,关键是要读懂题意,属于中档题.18、(1);(2);(2)见解析.【解析】
(1)由圆的方程求出点坐标,得双曲线的,再计算出后可得渐近线方程;(2)设,由圆方程与双曲线方程联立,消去后整理,可得,,由先求出,回代后求得坐标,计算;(3)由已知得,设,由圆方程与双曲线方程联立,消去后整理,可解得,,求出,从而可得,由,可知满足要求的点不存在.【详解】(1)由题意圆方程为,令得,∴,即,∴,,∴渐近线方程为.(2)由(1)圆方程为,,设,由得,(*),,,,所以,即,解得,方程(*)为,即,,代入双曲线方程得,∵在第一、四象限,∴,,∴.(3)由题意,,,,,设由得:,,由得,解得,,,所以,,,当且仅当三点共线时,等号成立,∴轴上不存在点,使得.【点睛】本题考查求渐近线方程,考查圆与双曲线相交问题.考查向量的加法运算,本题对学生的运算求解能力要求较高,解题时都是直接求出交点坐标.难度较大,属于困难题.19、(1)唯一的极大值点1,无极小值点.(2)1【解析】
(1)求出导函数,求得的解,确定此解两侧导数值的正负,确定极值点;(2)问题可变形为恒成立,由导数求出函数的最小值,时,无最小值,因此只有,从而得出的不等关系,得出所求最大值.【详解】解:(1)定义域为,当时,,令得,当所以在上单调递增,在上单调递减,所以有唯一的极大值点,无极小值点.(2)当时,.若恒成立,则恒成立,所以恒成立,令,则,由题意,函数在上单调递减,在上单调递增,所以,所以所以,所以,故的最大值为1.【点睛】本题考查用导数求函数极值,研究不等式恒成立问题.在求极值时,由确定的不一定是极值点,还需满足在两侧的符号相反.不等式恒成立深深转化为求函数的最值,这里分离参数法起关键作用.20、(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增;(2).【解析】
(1)对a分三种情况讨论求出函数的单调性;(2)对a分三种情况,先求出每一种情况下函数f(x)的最小值,再解不等式得解.【详解】(1),当时,,在上单调递增;当时,,,,,∴在上单调递减,在上单调递增;当时,,,,,∴在上单调递减,在上单调递增.综上:当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)可知:当时,,∴成立.
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