高一新课元二次元高次不等式及分式不等式的解法

第八、九讲：一元二次、一元高次不等式及分式不等式的解法教学要求：1．在熟练掌握一元一次不等式(组)的解法基础上，掌握一元二次不等式的解法及其它的一些简单的高次不等式和分式不等式的解法。2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式等复杂不等式化归为整式不等式(组)。3．初步掌握含参不等式的解法，形成讨论思想，要注意它们的讨论依据的选取！一、复习：1.绝对值不等式常见类型的解法：(基本思想一^通过去绝对值转化为不含绝对值的不等式)类型(1)：f(x)|<a(a>0)=-a<f(x)<a；|f(x)|>a(a>0)=f(x)>a或f(x)〈一aa<|f(x)|<b(0<a<b)=a<f(x)<匕或一b<f(x)<一a。类型(2)：f(x)|<g(x)o—g(x)<f(x)<g(x)；类型(3)：含多个绝对值的不等式常见解法一零点分段法(特殊方法还有：函数图象法;数轴法)(注意每种方法的要领)类型(4)：平方法：f(x)|<|g(x)|=f(x)2<g(x)2((但去绝对值一般不要轻易采用平方法)2.一元一次不等式的解法：一元一次不等式、一元一次方程一次函数解集ixx>xJ解集{xx<x0}b>0，解集0b<0，解集R注意：一元一次不等式含参时，要分一次项系数a>0,a<0,a=0及常数项b的符号讨论。二、新课：1.一元二次不等式的解法(型如ax2+bx+c>0(或<0或>0或<0))一元二次不等式一元二次方程一元二二次函数①A>0,解集二不等根x<x1 2②A=0,解集二相等根x=x1 2③A<0，解集无实根注：对二次项系数〃<0类似地可由数形结合求解集！（一）解简单的一元二次不等式例1.求下列不等式的解集：（1）2x2-3x-2>0；（2）-3x2+6x>2；（3）4x2-4x+1>0；（4）一x2+2x-3>0。变式练习一：解下列不等式：①-x2<3-2x； ②x2-3x+2>0。变式练习二：二次函数丁=ax2+bx+c（xeR）的部分对应值如下表:012346006则不等式ax2+bx+c>0的解集是（二）含参一元二次不等式的解法例2.解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0(aeR)。变式练习：设方程ax2+bx+c=0（a丰0）的两根为x,x，且x<x，则关于x的不等式1 2 1 2ax2+bx+c>0的解集（用x,x表示）为 。12（三）一元二次不等式解法的逆向问题例3.0<a<p，已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{xa<x<p},例3.(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集。变式练习：(1){rax2+bx+c>0}=1x-3<x<2,，贝U{rcx2+bx+a<0}=2.一元高次不等式的解法一序轴标根法引入：解不等式(3-x)(x+4)>0。(<)递进：解不等式(3-x)(x+4)(x+5)<0。序轴标根法解一元高次不等式的步骤及注意事项：（1）分解因式成标准型：（x-a）（x-a）（x-a）>0；

TOC\o"1-5"\h\z(2)标根：a<a<<a；1 2 n(3)串线写解集：从最大根的右上方依次串过每一个根，上方线遮住的工轴上的实数代表(1-a)(1-a)(X-a)>01 2 n的解集，下方线遮住的工轴上的实数代表(工-a)(1-a)(工-a)<0的解集。(1 2 n等号时端点也加等号)(注意重根情况怎么办)例1.解不等式：(1)工(X+1)(1-工3)>0；(2)工(工-1)(x-2)2(x2-1)(x3-1)>0。等号时端点也加等号)(注意重根情况怎么办)变式练习:解不等式:(1)(x3-4x2+4x)(3+2x-x2)>0；(2)(x2+4x)2-2(x2+4x)-15<0.课后作业：.解关于x的不等式：(x2-x-2)(x2+1)<0；(2)x2-3x-4>x+1；(3)(x2-2x+1)(2x2-3x-5)<0；(4)(x-1)[(x2—8x)2—2(x2—8x)-63]>0；(5)x2—3x—4>x2—4x+3；(6)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)>120。2.(1)当a+b>0时，不等式(a-x)(x+b)<0的解集是。AB=UCAB=UUACB=UCACB=UUU(2)设全集U=R,A=^xx2-5x+6>0),B=\xx-3AB=UCAB=UUACB=UCACB=UUU，则a+b的值为(3)已知不等式ax2+bx+2，则a+b的值为(4)若不等式(x+a)(x2+4x+3)>(4)若不等式(x+a)(x2+4x+3)>0的解集是(5)若关于x的不等式x2-ax―6a<0有解，且解的区间长度不超过5个单位，则实数a的取值范围是 (6)(09重庆卷理)不等式|x+3|-|x-1|<a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A.(-8,-1][4,+8)B.(-8,-2][5,+8) C.[1,2]D.(-巩1][2,+8)3.(1)已知关于3.(1)已知关于x的不等式ax2+bx+C<0的解集是《x求不等式cx2cx2-bx+a>0的解集。(2)设不等式5—x>7|x+1|与ax2+bx—2>0同解，求a、b的值。课后作业答案：(1)L|—1<x<2}；)｛x|x<-1或-1<x<3或x>5｝；(3)｛x-1<x<1或1<x<2(4)-1(4)-1<x<1或1<x<7或x>9｝；(5)<xx<-1或-1<x<7+同或x>7]；4 ；(6)Lx<-6或x>1｝。2.(1)x<-b或x>a｝；(2)A；(3)-14；(4)-2；

2.(1)(5)-25<a<—24或0<a<1；(6)A。1 \a=-43. (1)2<x<3/；(2)i

\b=-93. (1).分式不等式的解法(基本思想：转化为整式不等式(但不能轻易去分母))分式不等式的解法：一般通过移项通分化为如下常见类型：(1)(3)f(x)g((1)(3)f(x)g(x)f(x)g(x)>0of(x)•g(x)>0；⑵g(x)00 ； (4)f(x)•g(x)>0f(x)g(x)f(x)g(x)<0=f(x)•g(x)<0；g(x)丰0f(x)•g(x)<0例1.解下列不等式:(1)x-2、八 x2—3x—4、八 x2-4x+1 ,(1) >0；(2) >0；(3) <1。x2+x+1 x2+3x-10 3x2-7x+2例2.(1)解下列不等式：例2.(1)解下列不等式：5 1 3 x3-x2-4x-17 - >—；(2) x+12(2x-1)2 x2-4x-5>x+1；(3)|x—4|一x—1 x—3|+|x—2|x-3|-x-2 |x-4|.一元二次不等式含参问题及三个“二次”之间的关系例1.(1)已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；变式：对于(J)中的条件改为评集为R”，求实数m的取值范围。(2)集A=L|x2-5x+6<0/,B=\x|(x-2a)(x-(a+2))<0/，若(CA)Bw0，求实数a的取值范围。 实数a的取值范围。 i(3)集A="x|x2—ax+a2-13>0J,B=x2-5x+6<0),C=x2+2x-8<0}，满足(AB)C=0,(AB)C=R，求实数a的值集； .(4)已知A=trx2-x-2>0,xeZ1B=tr2x2+(5+2k)x+5k<0,xeZ，，且AB={-2}，求实数k的取值范围。变式：不等式0<x2+mx+5<3恰好有一个实数解，求实数m的值集。例2.(1)已知集合A={xIx2-ax+8>0},B={xIx2-2ax-b<0}，且AB={x14<x<9},求实数a,b的值；(2)已知集合P={xIx2-3x+2<0},S={xIx2-2ax+a<0}，若ScP，求实数a的取值组成的集合A。变式练习：x-2已知集合A={xI-——>0},B={xIx2-4ax+3a2<0}，且AcB,求实数a的取值范围。3-x(3)已知集合A={xIx2-ax+8>0},B={xIx-2a<0}，且AB=B，求a的取值范围。课后作业：1.解下列关于x的不等式：xx x3+x2-2x八 2x2+3x-7- (2x-1)(x2-x-6)八(1)——>——；(2) <0；(3) >1；(4) >0；x-1x-1 x4-1 x2+x+1 2x2-3x+1

9 x-2 2 1 x|x-1|-2(5) <5x+2；(6) -<0；(7)—>-；(8)平12〉0；3-2x x2xx-12 x2 x-37、257、25x25x ，八 >.--；(10) + 6<0；(11)x2-2x-1;x2+1x2+1(9)1 1 + x+4x+511> + x+6x+3(1)若不等式“x2-2ax+3>0对xeR恒成立，则实数a的取值范围是( )A.0<a<3B.0<a<3C.a<0或a>3D,a>3(2)若不等式£<1的解集是Lx<1或x>2上则实数a的值为 。x-1(p+3)x+3,(3)p为何值时，不等式-12< <3对任意实数x恒成立。x2-x+1(4)设集A=；x 9<5x+2；,B={xx2-2x-k4+1>0}若A屋B，求实数k的取值范围。(5)设集A=TOC\o"1-5"\h\zI3-2范围。(5)设集A=x2-mx+n<0,m、neN*}，若3<x<4},求m、n的值。-x+5,0<x<3},2(6)已知集合A={yIy2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y-x+5,0<x<3},2若ABW01求实数a的取值范围。y t(7)设集A=irx2-x-6>0},B=t2x2+(2k+7)x+7k<0},C=ixx=m,meZ}，若ABC={-3},求实数k的取值范围。(8)(09天津卷理10)0<b<1+a,若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整数恰有3个，则( )A,-1<a<0( B,0<a<1、C,1<a<3D,3<a<6(9)已知M=tx,y)Ix2+2y2=3},N={(x,y)Iy=mx+b},若对于所有的meR,均NW0,则实数b的取值范围是( )「35 , 、/6"、八,232v3、A.[一, ]B.(- , )C.(-,)A.2 2 2 2 3 3课后作业答案： , [ , [1.(1)lx|0<x<1}；(2){xx<-2或-1<x<0}；(3){xx<-4或x>2}；(4)(6)c1-1 --x-(4)(6)c1-1 --x-2<x<一或一<x<1或x>32 2xI-3<x<-2或2<x<4}；(7)；(5)Ixg<x<I或x>21；

11-4<x<0或0<x<4}；(8)x<2或x>3}；(9)b-3<x<-霹或-1<x<-2或2<x<1或及<x<3卜(1