新教材2024-2025学年高中数学第一章数列3等比数列3.1等比数列第2课时等比数列的性质及应用分层作业北师大版选择性必修第二册

第一章第2课时等比数列的性质及应用A级必备学问基础练1.(多选题)已知{an}是等比数列,a2=2,a6=18,则公比q=(A.-12 B.-2 C.2 D.2.在等比数列{an}中,若a2a6+a42=π,则a3a5等于 (A.π4 B.π3 C.π3.(多选题)已知等比数列{an},a1=1,q=2,则()A.数列1aB.数列1aC.数列{log2an}是等差数列D.数列{log2an}是递增数列4.(多选题)[2024辽宁鞍山一中校考期中]已知数列{an},{bn},下列说法正确的有()A.若an=2-5n,则{an}为递减数列B.若b1≠0,bn+1=3bn,则{bn}为等比数列C.若数列{bn}的公比q=-1,则{bn}为递减数列D.若数列{an}的前n项和Sn=n2+2n,则{an}为等差数列5.(多选题)[2024黑龙江哈尔滨三中阶段练习]已知等差数列{an}的公差d和首项a1都不等于0,且a3,a5,a8成等比数列,则下列说法正确的是()A.a1+a5C.a1=2d D.d=2a16.公比不为1的等比数列{an}满意a5a6+a4a7=18,若a1am=9,则m的值为()A.8 B.9 C.10 D.117.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=.

8.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为.

9.已知在等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9=.

10.已知数列{an}是等差数列,Sn为其前n项和,a4=9,S4=24.(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=3an,求证:{bn11.已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.B级关键实力提升练12.已知等比数列{an}共有10项,其中奇数项之积为2,偶数项之积为64,则其公比是()A.32 B.2 C.2 D.213.已知在各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为()A.100 B.-100C.10000 D.-1000014.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于()A.12 B.13 C.14 D.1515.(多选题)[2024北京高二阶段练习]已知数列{an}是公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且a1,a2,a5成等比数列,则下列说法正确的是()A.若a1>0,则S4>a8 B.若a1>0,则S4≤a8C.若a1<0,则S4>a8 D.若a1<0,则S4<a816.(多选题)[2024吉林白城高二阶段练习]若数列{an}为等比数列,则下列肯定成立的是()A.若a3>0,则a2023<0 B.若a4>0,则a2022<0C.若a3>0,则a2021>0 D.若a4>0,则a2020>017.(多选题)[2024贵州黔西南高二统考期末]若等比数列{an}的第4项和第6项分别是48和12,下列选项中说法正确的是()A.{an}的公比为12或-B.{an}的第5项是24C.a3·a2022=a1·a2024D.a3+a2022=a1+a202418.设数列{an}为公比q>1的等比数列,若a4,a5是方程4x2-8x+3=0的两根,则a6+a7=.

19.在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,则a41a42a43a44=.

20.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a6=2,a4+a5=12.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=a1a3a5…a2n-1,n∈N+,求数列{bn}的最大项.C级学科素养创新练21.记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,a2=2a1,且数列{Sn+a1}是等比数列,求证:{an}是等比数列.参考答案第2课时等比数列的性质及应用1.AD由题意可得q4=a6a2=116,解得故选AD.2.Ca2a6=a42=a3a5,∴a3a5=3.ACD由a1=1,q=2得an=2n-1,1an=12n-1,所以数列1an是等比数列且为递减数列,故A正确,B不正确;log2a4.ABD对于A,当n∈N+时,an+1-an=2-5(n+1)-(2-5n)=-5<0,即an+1<an,A正确;对于B,因为b1≠0,n∈N+,所以bn≠0,由已知得bn+1bn=对于C,当b1=1时,b2=-b1=-1,b3=-b2=1,则b3>b2,故{bn}不是递减数列,C错误;对于D,由Sn=n2+2n得当n=1时,a1=S1=3,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2n+2=2n+1,检验得,当n=1时,满意an=2n+1,所以an+1-an=2,则{an}为等差数列,D正确.故选ABD.5.BC由a3,a5,a8成等比数列,则a3a8=a52,即(a1+2d)(a1+7d)=(a1+4d)2,即a1d=2d2,又因为公差d和首项a1都不等于0,则a1=2所以a1+a故选BC.6.C由题意得,2a5a6=18,a5a6=9,∵a1am=9,∴a1am=a5a6,∴m=10,故选C.7.-6由题意知,a3=a1+4,a4=a1+6.∵a1,a3,a4成等比数列,∴a32=a1a∴(a1+4)2=(a1+6)a1,解得a1=-8,∴a2=-6.8.8设这8个数组成的等比数列为{an},则a1=1,a8=2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7=(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)=(a1a8)3=23=8.9.8由等比数列的性质,得a3a11=a72,∴a72=∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=a7=4.再由等差数列的性质知b5+b9=2b7=8.10.(1)解因为{an}是等差数列,a4=9,S4=24,所以a1+3所以an=3+2(n-1)=2n+1.(2)证明bn=3an=32n+1,所以b所以{bn}是以9为公比的等比数列.11.解∵{an}是等比数列,∴a1·a9=a3·a7=64.又a3+a7=20,∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4.①当a3=4,a7=16时,a7a3=q4=4,此时a11=a3q8=4×42②当a3=16,a7=4时,a7a3=q4=14,此时a11=a3q8=16×14212.C∵奇数项之积为2,偶数项之积为64,∴a1a3a5a7a9=2,a2a4a6a8a10=64,则a2a4a6a813.C∵lg(a3a8a13)=lga83∴a83=106,∴a8=102=100.∴a1a15=a814.C设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=4=a13q3与a4a5a6=12=a13q12,可得q9=3,an-1anan+1=a13q3n-3=324,因此q3n-6=81=3415.AD设等差数列{an}的公差为d≠0,∵a1,a2,a5成等比数列,则a22=a1a可得(a1+d)2=a1(a1+4d),整理得d2=2a1d,由d≠0,则d=2a1,则S4-a8=(4a1+6d)-(a1+7d)=3a1-d=3a1-2a1=a1,对于A,B,若a1>0,即S4-a8=a1>0,故S4>a8,A正确,B错误;对于C,D,若a1<0,即S4-a8=a1<0,故S4<a8,D正确,C错误.故选AD.16.CD若a3=a1q2>0,则a1>0,所以a2024=a1q2024>0,故A错误;若a4=a1q3>0,则a2024=a1q2024=a1q3·q2024>0,故B错误;若a3=a1q2>0,则a1>0,所以a2024=a1q2024>0,故C正确;若a4=a1q3>0,则a2024=a1q2024=a1q3·q2016>0,故D正确.故选CD.17.AC设该等比数列的公比为q,由题意可知,a6=a4q2,则q2=1248=14,解得a5=a4q=48×±12由等比数列性质知,a3·a2024=a1·a2024,故选项C正确,D不正确.故选AC.18.18由题意得a4=12,a5=32,∴q=a5∴a6+a7=(a4+a5)q2=12+32×32=19.1024设等比数列{an}的公比为q,a1a2a3a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=a14·q6=a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=a14·q54=②÷①得q48=8,q16=2,∴a41a42a43a44=a1q40·a1q41·a1q42·a1q43=a14·q166=a14·q6·q160=(a14·q6)(q16)1020.解(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),由a6=2,a4+a5=12,得a解得a1∴an=64×12n-1=(2)bn=a1a3a5…a2n