高中数学复习专题17 导数中的三角函数问题解析版

专题17导数中的三角函数问题1．设函数.（1）若在处的切线为，求的值；（2）当时，恒成立，求的范围.【解析】（1）由得：，且.由题意得：，即，又在切线上.∴，得.（2）当时，，得，当时，，当时，，此时.∴，即在上单调递増，则，要使恒成立，即，∴.2．已知函数．（1）若，求的极值；（2）证明：当时，．【解析】（1），,当时,；当时,当变化时,的变化情况如下表：单调递增单调递减因此,当时,有极大值,并且极大值为，没有极小值.（2）令函数,由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递减.又，故在存在唯一零点.设为,则，当时,；当时,,所以在区间上单调递增,在区间上单调递减，又，所以，当时,.故.3．设函数．（1）若在上存在零点，求实数的取值范围；（2）证明：当时，．【解析】（1）设，因为当时，为增函数，当时，，，所以在上恒大于零，所以在上不存在零点，当时，在上为增函数，根据增函数的和为增函数，所以在上为单调函数，所以在上若有零点，则仅有1个，所以，即，解得，所以实数的取值范围（2）证明：设，则，则，所以，因为，所以，所以在上递增，在上恒成立，所以在上递增，而，因为，所以，所以恒成立，所以当时，4．已知函数，（其中）.（1）证明：当时，；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，，，恒成立，在上单调递减，所以，当时，都有，因此，当时，；（2）即，由得，令，，令，，则，得在单调递减，，从而当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，，得.即实数的取值范围为.5．已知函数，.（1）若，求的单调区间；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【解析】（1）若，则，∴∴，令，则，∴，令，则，，的单调递增区间为和，单调递减区间为，（2），令，，则令，则.∵，∴，∴，∴，∴在上单调递减，∴∴，∴在上单调递减，∴，故所以实数的取值范围是.6．设，．（1）讨论在上的单调性；（2）令，试判断在上的零点个数，并加以证明．【解析】（1），令，则，或，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增，，时，，单调递减，综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为和．（2）在上有3个零点，证明如下：，则，故是的一个零点，，是偶函数，要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，①当时，，令，即，，时，，单调递减，，，时，，单调递增，，在有唯一零点．②当时，由于，，，而在，单调递增，，故，故在，无零点，在有一个零点，由于是偶函数，在有一个零点，而，故在上有且仅有3个零点．7．设（1）恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：当时，．【解析】（1）解，当时，恒成立，所以在为增函数､此时恒成立：当时，存在，使得，所以在单调递减，当时，与矛盾．综上所述，的取值范围为；（2）证明：原不等式等价于易知，令，则，，所以在是减函数，考虑到在也是减函数，所以，在为增函数，又因为，所以时，，所以在为增函数，又因为，所以在成立，命题获证．8．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：；（3）求证：当时，方程有且仅有2个实数根.【解析】（1）因为，，故在点处的切线斜率为，点为，故所求的切线方程为，（2）令，的定义域为，，当时，恒成立，∴在上单调递减，当时，恒成立，∴在上单调递增，∴当时，恒成立，故当时，；（3）由，即，则，设，的定义域为，，设，的定义域为，，当时，恒成立，∴在上单调递减，又，，∴存在唯一的使得，当时，，则，∴在上单调递增，当时，，则，∴在上单调递减，∴在处取得极大值也是最大值，从而又，，∴在与上各有一个零点，即当时，方程有且仅有2个实数根9．已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）由题可知.令，得，从而，∴的单调递减区间为.（2）由可得，即当时，恒成立.设，则.令，则当时，.∴当时，单调递增，，则当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，∴.10．已知函数，.（1）判断函数的单调性；（2）若，且，证明：.【解析】（1），，由得，当时，；当时，∴在上单调递增，在上单调递减.（2）∵，且，∴由（1）知，不妨设.要证，只需证明，而，在上单调递减，故只需证明.又，∴只需证明.令函数，则，当时，，，故，∴在上单调递增，故在上，∴成立，故成立.11．已知.（1）当有两个零点时，求的取值范围；（2）当，时，设，求证：.【解析】(1)由题知，有两个零点，时，，故当有一个非零实根，设，得，在上单调递减，在上单调递增.又，时，；时，.所以，的取值范围是或.(2)由题，，法一：，令，令，在上单调递减，在上单调递增.，法二：要证成立，故设，，()，令，则，在上单调递增.又，使，在上单调递减，在上单调递增.=0，12．已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求实数的值，并证明：对，恒成立．（2）设函数，试判断函数在上零点的个数，并说明理由．【解析】（1）根据题意，，曲线在点处的切线方程为，，，此时若要证明，对，恒成立，需证明，，故需证明，则令，，；；，函数在上单调递减；在上单调递增；故有当，，即对，恒成立，，恒成立．（2）根据题意可得，，在同一个直角坐标系中作出函数和的图象如下：假设当时，函数和的相交，时，单调递增；时，单调递减；即得，，，又，综上可得，函数在上无零点，在上只有一个零点，即函数在上只有一个零点．13．设函数，，（为参数）．（1）当时，求的单调区间，并证明有且只有两个零点；（2）当时，证明：在区间上有两个极值点．【解析】（1）当时，，，.当时，；当时，，所以在和单调递增，在单调递减．且，，，.根据零点存在定理得，在有唯一零点，在有唯一零点，因此，在上有且只有两个零点．（2）当时，，，令，则，当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增．又因为，，，根据零点存在定理得，在和各有一个零点分别为，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，故在上有一个极大值点和一个极小值点．14．已知函数，.（1）若在上有极值点，求的取值范围；（2）若，时，，求的最大值.【解析】（1），依题意，有变号零点，令，则，所以在有实根，注意到，所以，解得，即.（2），，当时，，显然成立；当时，，所以.记，则恒成立，，，在单调递增，，若，则，记，，则，所以存在，使得，当时，，单调递减，所以时，，不符题意，当时，，即时，单调递增，所以，，符合题意，当时，，由，，所以，而时，，所以成立，综上所述，的最大值为3.15．已知是自然对数的底数，函数，.（1）若曲线在点处的切线斜率为，求的最小值；（2）若当时，有解，求实数的取值范围.【解析】（1）由得.曲线在点处的切线斜率为，，，.当时，，，，当时，，，则，在上单调递增，；（2），设，，则当时，有解.，.当时，，解，可得或，解得，.当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.，，且，，的取值范围为.16．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求的取值范围．【解析】（1）因为，所以，．所以．所以所求切线方程为．（2）法一：设，则当时，．所以，所以．因为，其中，，．又当时，，所以在单调递增．因为，，所以存在，使．03极小所以在单调递减，在单调递增．依题意，只需，即．所以的取值范围是．法二：设，则当时，．当时，．当时，设．则．令，则．所以时，，单调递增．所以时，，，单调递增．依题意，只需，即．所以的取值范围是．17．已知函数.（1）当时，求证：；（2）求证：当时，方程有且仅有个实数根.【解析】(1)令，的定义域为，，当时，恒成立，∴在上单调递减，∴当时，恒成立，故当时，；(2)设，的定义域为，，设，的定义域为，，当时，恒成立，∴在上单调递减，又，，∴存在唯一的使据，当时，则，∴在上单调递增，当时，则，∴在上单调递减，∴在处取得极大值也是最大值，又，，，∴在与上各有一个零点，即当时，方程有且仅有个实数根.18．已知函数．（1）试讨论函数在区间上的极值点的个数；（2）设，当时，若方程在区间上有唯一解，求实数的取值范围．【解析】（1），①当时，因为，所以，所以单调递增，在上无极值点；②当时，在上单调递减，，所以存在，使得，则为的极大值点；在上单调递增，，所以存在使得，则为的极小值点；所以在上存在两个极值点．③当时，在上单调递增，，所以存在，使得，则为的极小值点；在上单调递减，，所以存在使得，则为的极大值点；所以在上存在两个极值点．综上所述，当时，在上无极值点；当或时，在上存在两个极值点．（2）当时，，则，设，则．因为，所以在区间上单调递减，因为．所以存在唯一的，使得，即，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因为，又因为方程在区间上有唯一解，所以．19．已知函数．（1）若在上为单调递减函数，求实数的取值范围；（2）设函数，，若恰有1个零点，求实数的取值范围．【解析】（1）∵在上为单调递减函数，∴对任意恒成立∴，则，令，．则，∴在单调减，则的最小值为，∴，即，所以实数a的取值范围是，（2）①，，所以，当时，，所以在单调递增，又因为，所以在上无零点．当时，，使得，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，又因为，，所以若，即时，在上无零点，若，即时，在上有一个零点，当时，，在上单调递减且，所以在上无零点，综上，20．已知函数.（1）若，证明：；（2）若在上有两个极值点，求实数a的取值范围.【解析】（1）证明：当时，，令，则，当时，；当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，即；（2），由在上有两个极值点，则在上有两个不同的实根，即，设，，令，则，当时，；当时，，所以函数在上递减，在上递增，又，又，所以当时，方程有两个不同的实数根，所以实数a的取值范围为.21．已知函数，其中为的导数．（1）若为定义域内的单调递减函数，求a的取值范围；（2）当时，记，求证：当时，恒成立．【解析】（1）因为，所以，要使为定义域内的单调减函数，需满足，即，令，，由且函数在上单调递减，又，所以在上单调递增，在上单调递减，知的最大值为，所以当时，在定义域内单调减函数．综上，a的取值范围是．（2）当时，，，要，即证，当时，，而，所以成立，当时，令，则，记，则，所以当时，单调递增，，即，所以在上单调递增，所以，即有成立．综上，对任意，恒有成立．22．已知函数.（1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数.【解