第3讲-直线的投影

§2-2直线一、直线的投影XOZYHYWa'aa"b'bb"直线的投影可由直线上任意两点的投影决定1.直线的倾角：对水平投影面的夹角——

对正投影面的夹角——

对侧投影面的夹角——

二、各种位置直线的投影1）

投影面的平行线2）

投影面的垂直线3）

一般位置线2.各种位置的直线：

直线所平行的投影面不同，投影面平行线又可分为：水平线直线平行于H面，倾斜于V、W面。正平线直线平行于V面，倾斜于H、W面。侧平线直线平行于W面，倾斜于H、V面。投影面平行线(1)投影面平行线

水平线的投影特性：1.水平线的H投影反映真长，真长投影与OX夹角为β；与OY轴的夹角为γ；α=0°。2.水平线的V投影a′b′∥OX；W投影a″b″∥OY；a′b′b″a″baβγ

反映实长YHYWXZaa″a′b′Bb″AβγbZXY水平线

正平线的投影特性：1、正平线的V投影反映真长，真长投影与OX夹角为α；与OZ轴的夹角为γ；β=0°。2、正平线的H投影ab∥OX；W投影a″b″∥OZ；a′b′b″a″baγα反映实长YHYWXZa′b′AabαBa″b″γZXY正平线a′b′b″a″baα反映实长βYHYWXZa′b′AabαBa″b″βZXY

侧平线的投影特性：1.侧平线的W投影反映真长，真长投影与OY夹角为α；与OZ轴的夹角为β；γ=0°。2.侧平线的V投影a′b′∥OZ；H投影ab∥OY；侧平线水平线的投影特征：平行线的投影特征：（1）在与其平行的投影面上的投影反映实长；（2）该投影与相应投影轴之间的夹角反映直线与另外两个投影面的倾角；（3）其余的两个投影平行于投影轴，但不反映实长。25XOZYHYWa'aa"30°b"b'b例题1例题2-4：过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与H面的倾角

=30°。按直线所垂直的投影面不同，投影面垂直线又可分为：铅垂线直线垂直于H面，平行于V、W面。正垂线直线垂直于V面，平行于H、W面。侧垂线直线垂直于W面，平行于H、V面。投影面垂直线(2)投影面垂直线a′b′b″a″b(a)YHYWXZa′b′A(a)bBa″b″ZXY

铅垂线投影特性：1、铅垂线的H投影积聚为一点；2、铅垂线的V、W投影反映直线的真长，且平行于OZ轴。铅垂线b″a″a(b′)ba′YHYWXZa′(b′)Bb″Aaba″ZXY

正垂线投影特性：1、正垂线的V投影积聚为一点；2、正垂线的H、W投影反映直线的真长，且平行于OY轴。正垂线a′b′（b″）a″baYHYWXZa′b′AabBa″(b″)ZXY

侧垂线投影特性：1、侧垂线的W投影积聚为一点；2、侧垂线的V、H投影反映直线的真长，且平行于OX轴。侧垂线（1）直线在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点；（2）其余的两个投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。垂直线的投影特征：XOZYHYWb"a'aa"b'（b）例题2例题2-5：根据投影图判断下列直线的空间位置b"XOZYHYWa'aa"b'bXOZYHYWa'aa"b'bb"（b"）XOZYHYWa'aa"b'b讨论1、在垂直线投影图上能否量得

、

和？2、既然垂直线也平行于投影面，能否称它为平行线呢？讨论XOZYHYWb"a'aa"b'（b）b"XOZYHYWa'aa"b'bXOZYHYWa'aa"b'bb"一般位置线的投影特征：（1）三个投影均不反映实长；（2）三个投影均不反映直线与投影面的倾角。(3)一般位置直线例题2-6：在表中填写指定线对投影面的相对位置。ABACDEDFBE水平线侧垂线一般线一般线侧平线A0

z

y

xXOZYHYWa'aa"

b'bb"实长

实长实长

Za-Zb直角三角形法：两直角边、斜边、锐角三、求直线对投影面的倾角及线段的实长例题3例题2-7：

已知直线AB的正面投影和点A的水平投影a,并知AB=25,求AB的水平投影ab及AB对V面的倾角。

XOa'ab'25

b例题4例题2-8

：已知直线AB的水平投影ab，和正面投影a’,并知AB对H面的倾角为30°，求AB的正面投影及实长。XOa'abb'b1'30ºc'cd'd点在直线上，点的投影必在直线的同名投影上定比性：AC：CB=a'c':c'b'=ac:cb=a"c":c"b"四、直线上的点bXOa'ab'dDd'e'e例题2-9:在直线AB上找一点K,使AK:KB=3:2。

bXOa'ab'32kk'例题6例题2-10:判定点K是否在直线AB上。

k"OZYHYWa"b"k'kXa'ab'bXa'ab'bk'k例题7例题2-11:

已知点C在直线AB上，且AC=20,求C点的投影。

bXOa'ab'20c'c思考题XOZYHYW(a')b'aba"b"b"XOZYHYWa'aa"b'b1、判断AB线的空间位置ABCDEFHILKOJMN2、请指出立体上棱线的空间位置，并画出相应的投影。思考练习题ABCDEFHGILKOJMN请指出立体棱线的空间位置,并找出其相应的投影a"(d")a'd'adb"(c")b'(c')bci'(j')jij"i"k(o)k'o'(k")(o")f'f(f")(h")(h')he'ee"两直线的相对位置两直线交叉两直线相交两直线平行五.两条直线的相对位置关系(一)平行两条直线平行同名投影平行ca'b'c'd'abdabcdc

a

b

d

例：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD①例一：a"c"d"b"a'b'c'd'abdc例二：c'd'a'b'a"b"c"d"abcd当两条直线为某一投影面的平行线时，必须在该投影面内判断两条直线是否平行(二)相交两条直线相交

同名投影相交ca'b'c'd'abdkk'ca'b'c'd'abd交点的投影符合点的投影规律例题2-12：过点A，作直线AB，与已知直线CD相交。a'ac'd'cd例题2-13：过点A，作水平线AB，与已知直线CD相交。a'ac'd'cd无数解唯一解例题2-14：过线外一点A，作正平线与CD相交。a'ac'd'cd例题2-15：从F点作直线，使其与AB、CD均相交。cf'fa'b'abc'(d')dk'ke(e')例题2-16：已知两平行线AB、CD，求作与其相交的水平线MN，使其距H面的距离为15。a'b'abc'd'dc15m'n'mn(三)交叉交叉直线的特征:即不平行也不相交Ob’Xa’abc’d’dc11’(2’)2XOBDACbb’aa’c’cdd’211’(2’)21两直线交叉的投影特性：既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线相交的投影特性，均属于两直线交叉.ca'b'c'd'abdeff'(e')g'h'g(h)例题2-17：判定重影点的可见性。(四)垂直定理：互相垂直的两直线，当其中有一条直线平行于投影面时，两直线在该投影面上的投影反映直角。证明：

bcab

ABBC,BCBb

BC

平面ABab

bc//BC

bc

平面ABab逆定理也成立：如果两直线在某一投影面上的投影互相垂直，而其中有一条直线平行于该投影面，那么这两条直线在空间一定垂直。d'dca'b'c'abd'dca'b'c'abd'dca'b'c'ab相交垂直交叉垂直垂直的两种情况：判断垂直d'dca'b'c'abd'dca'b'c'ab例题2-18：求两直线AB与CD之间的距离。aaˊbbˊcˊdˊc(d)nˊmˊm两交叉线间距离(n)kk′a