2023-2024学年广东省深圳市福田区红岭实验学校九年级上学期12月月考数学试题及答案

试题PAGE1试题福田区红岭实验学校2023-2024学年第一学期九年级12月月考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1．下列四种图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（）A． B． C． D．3．因深圳市委正紧紧围绕打造“志愿者之城”4.0升级版，推动志愿服务事业朝着更专业、更精细、更规范的方向不断迈进，截至2022年底，深圳市注册志愿者已达3510000人，平均每5个深圳市民里就有一个志愿者．其中数据3510000用科学记数法表示为（）A．3.51×105 B．3.51×106 C．3.51×107 D．0.351×1074．下列计算中，结果正确的是（）A．（－pq）3＝p3q3 B．x·x3＋x2·x2＝x8 C．＝±5 D．（a2）3＝a65．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示．成绩/米1.501.601.651.701.75人数23541这些运动员成绩的众数和中位数分别为（）A．1.65米，1.65米 B．1.65米，1.70米 C．1.75米，1.65米 D．1.50米，1.60米6．解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．7．小华将一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（）A．45° B．60° C．75° D．105°8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（）A． B． C． D．9．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（）A． B． C． D．10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM＋PN的最小值为3；③CF2＝GE•AE；④S△ADM＝6．其中正确的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③二．填空题（每题3分，共15分）11．分解因式：2a2＋8ab＋8b2＝．12．若二次根式有意义，则x的取值范围是．13．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为寸．14．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线DN′交BC于点E．若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，满足A1B1∥AC，过点B作BE⊥A1C，垂足为E，连接AE，若S△ABE＝3S△ACE，则AB的长为．三．解答题（共55分）16．（5分）计算：．17．（6分）先化简，再求值：，其中．18．（8分）某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，完成下列问题：（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；②扇形统计图中的圆心角α的度数为．（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．19．（8分）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：时间第一天第二天第三天第四天x/元15202530y/袋25201510若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额－成本）20．（9分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若，BP＝4，求CD的长．21．（9分）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“”形图都是正方形结构，同一行的“”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．素材1国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．探究1检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“”形图边长．素材2图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角θ．视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n＝（0.5≤θ≤10）．探究2当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．素材3如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“”测得的视力相同．探究3若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“”形图边长．22．（10分）过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，连接DP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ＝α，连接BQ．（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α＝90°．无论点P在何处，总有BQ＝DP，请证明这个结论．（2）【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB＝α＝60°，∠MAD＝15°，连接PQ．当PQ⊥BQ，AB＝时，求AP的长；（3）【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，AM平分∠DAC，α＝90°．在射线AQ上截取AR，使得AR＝AP．当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．

红岭实验学校九年级12月月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列四种图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．原图是中心对称图形，故此选项符合题意；C．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．2．一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；B、选项是主视图，不符合题意；C、选项是右视图，不符合题意；D、选项是左视图，符合题意；故选：D．3．因深圳市委正紧紧围绕打造“志愿者之城”4.0升级版，推动志愿服务事业朝着更专业、更精细、更规范的方向不断迈进，截至2022年底，深圳市注册志愿者已达3510000人，平均每5个深圳市民里就有一个志愿者．其中数据3510000用科学记数法表示为（）A．3.51×105 B．3.51×106 C．3.51×107 D．0.351×107【解答】解：3510000＝3.51×106，故选：B．4．下列计算中，结果正确的是（）A．（－pq）3＝p3q3 B．x•x3＋x2•x2＝x8 C．＝±5 D．（a2）3＝a6【解答】解：A：（－pq）3＝（－p）3q3＝－p3q3，故选项A错误，B：x•x3＋x2•x2＝x4＋x4＝2x4，故选项B错误，C：＝5，故选项C错误，D：（a2）3＝a2×3＝a6．故答案为：D．5．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示．成绩/米1.501.601.651.701.75人数23541这些运动员成绩的众数和中位数分别为（）A．1.65米，1.65米 B．1.65米，1.70米 C．1.75米，1.65米 D．1.50米，1.60米【解答】解：由表可知1.65m出现次数最多，有5次，所以众数为1.65m，这15个数据最中间的数据是第8个，即1.65m，所以中位数为1.65m，故选：A．6．解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：，解不等式①得：x＞－4，解不等式②得：x≥1，将不等式①②的解集在同一条数轴上表示如图所示：∴该不等式组的解集为：x≥1，故选：B．7．小华将一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（）A．45° B．60° C．75° D．105°【解答】解：设AB与DF交于点O，由题意得，∠F＝45°，∠A＝60°，∵AB∥EF，∴∠AOF＝∠F＝45°，∴∠1＝180°－∠A－∠AOF＝180°－60°－45°＝75°．故选：C．8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（）A． B． C． D．【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，所列方程组为：．故选：A．9．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（）A． B． C． D．【解答】解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，由第一次折叠得：∠DA'E＝∠A＝90°，∠ADE＝∠ADC＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AE＝AD＝1，在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE＝AD＝，由第二次折叠知，CD＝DE＝，∴AB＝．故选：A．10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM＋PN的最小值为3；③CF2＝GE•AE；④S△ADM＝6．其中正确的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，∵BF＝CE，∴BC－BF＝DC－CE，即CF＝DE，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF＋∠ADG＝90°，∴∠DAE＋∠ADG＝90°，∴∠AGD＝90°，∴∠AGM＝90°，∴∠AGM＝∠AGD，∵AE平分∠CAD，∴∠MAG＝∠DAG，又AG为公共边，∴△AGM≌△AGD（ASA），∴GM＝GD，又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，∴AE垂直平分DM，故①正确；②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即DO⊥AM，∵AE垂直平分DM，∴HM＝HD，当点P与点H重合时，PM＋PN的值最小，此时PM＋PN＝HM＋HO＝HD＋HO＝DO，即PM＋PN的最小值是DO的长，∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝BD＝，∴，即PM＋PN的最小值为，故②错误；③∵AE垂直平分DM，∴∠DGE＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠DGE＝∠ADE，又∵∠DEG＝∠AED，∴△DGE∽△ADE，∴，即DE2＝GE•AE，由①知CF＝DE，∴CF2＝GE•AE，故③正确；④∵AE垂直平分DM，∴AM＝AD＝4，又，∴，故④错误；综上，正确的是：①③，故选：D．二．填空题（共6小题）11．分解因式：2a2＋8ab＋8b2＝2（a＋2b）2．【解答】解：2a2＋8ab＋8b2＝2（a2＋4ab＋4b2）＝2（a＋2b）2．故答案为：2（a＋2b）2．12．若二次根式有意义，则x的取值范围是x＜2．【解答】解：∵二次根式有意义，∴2－x＞0，解得：x＜2．故答案为：x＜2．13．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为26寸．【解答】解：连接OA，设⊙O的半径是r寸，∵直径CD⊥AB，∴AE＝AB＝×10＝5寸，∵CE＝1寸，∴OE＝（r－1）寸，∵OA2＝OE2＋AE2，∴r2＝（r－1）2＋52，∴r＝13，∴直径CD的长度为2r＝26寸．故答案为：26．14．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线DN′交BC于点E．若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为．【解答】解：由作图知，∠A＝∠BDE，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△BAC的面积：△BDE的面积＝（△BDE的面积＋四边形ACED的面积）：△BDE的面积＝1＋四边形ACED的面积：△BDE的面积＝1＋＝，∴△BDC的面积：△BAC的面积＝（）2＝，∴＝，∴＝．故答案为：．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，满足A1B1∥AC，过点B作BE⊥A1C，垂足为E，连接AE，若S△ABE＝3S△ACE，则AB的长为4．【解答】解：设A1C交AB于D，如图：∵A1B1∥AC，∴∠A1＝∠A1CA，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，∴∠A1＝∠BAC，∴∠A1CA＝∠BAC，∴CD＝AD，∵∠ACB＝90°，∴∠CBD＋∠BAC＝90°＝∠A1CA＋∠BCD，∴∠CBD＝∠BCD，∴BD＝CD，∴BD＝CD＝AD，∴S△BDE＝S△ADE＝S△ABE，∵S△ABE＝3S△ACE，∴S△BDE＝S△ADE＝S△ACE，∴＝，∴＝，设CE＝2x，则DE＝3x，CD＝5x＝BD＝AD，∴BE＝＝4x，∴BC＝＝2x，∵∠BCE＝∠CBA，∠BEC＝90°＝∠BCA，∴△BCE∽△ABC，∴＝，∵AC＝8，∴＝，∴AB＝4．故答案为：4．三．解答题（共7小题）16．计算：．【解答】解：原式＝＝．17．先化简，再求值：，其中．【解答】解：原式＝（－）•＝•＝•＝－x2－x，当x＝时，原式＝－（）2－＝－2－．18．某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，完成下列问题：（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；②扇形统计图中的圆心角α的度数为120°．（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．【解答】解：（1）由题意知，被调查的总人数为30÷10%＝300（人），所以D小组人数为300－（40＋30＋70＋60）＝100（人），补全图形如下：②扇形统计图中的圆心角α的度数为360°×＝120°，故答案为：120°；（2）3600×＝720（名），答：估计该校参加E组（人工智能）的学生有720名；（3）画树状图为：由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为＝．19．随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：时间第一天第二天第三天第四天x/元15202530y/袋25201510若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额－成本）【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx＋b，得，解得，故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝－x＋40；（2）依题意，设利润为w元，得w＝（x－10）（－x＋40）＝－x2＋50x－400，配方，得w＝－（x－25）2＋225，∵－1＜0∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为225，故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．20．如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若，BP＝4，求CD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵AE平分∠BAC，∴∠OAE＝∠DAE，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠OAE，∴∠DAE＝∠OEA，∴OE∥AD，∵ED⊥AC，∴OE⊥PD，∵OE是⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线；（2）解：∵＝，BP＝4，OB＝OE，∴＝，∴OE＝2，∴AB＝2OE＝4，∴AP＝AB＋BP＝8，在Rt△APD中，sin∠P＝＝，∴AD＝AP＝，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°＝∠AEC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（ASA），∴AB＝AC＝4，∴CD＝AC－AD＝4－＝，∴CD的长为．21．视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“”形图都是正方形结构，同一行的“”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．素材1国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．探究1检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“”形图边长．素材2图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角θ．视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n＝（0.5≤θ≤10）．探究2当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．素材3如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“”测得的视力相同．探究3若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“”形图边长．【解答】解：探究1：由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，设，将其中一点（9，0.8）代入得：，解得：k＝7.2，∴，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；将n＝1.2代入n＝得：b＝6；答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm；探究2：∵，∴在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，∴当n≥1.0时，0＜θ≤1.0，∵0.5≤θ≤10，∴0.5≤θ≤1.0；探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得＝，由探究1知b1＝6，∴＝，解得，答：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为．22．过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，连接DP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ＝α，连接BQ．（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α＝90°．无论点P在何处，总有BQ＝DP，请证明这个结论．（2）【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB＝α＝60°，∠MAD＝15°，连接PQ．当PQ⊥BQ，AB＝时，求AP的长；（3）【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，AM平分∠DAC，α＝90°．在射线AQ上截取AR，使得AR＝AP．当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠DAP＋∠BAM＝90°，∵∠PAQ＝90°，∴∠BAQ＋∠BAM＝90°，∴∠DAP＝∠BAQ，∵将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，∴AP＝AQ，∴△ADP≌△ABQ（SAS），∴BQ＝DP．（2）解：如图2，过点P作PH⊥AB于点H，连接BP，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，由旋转得：AP＝AQ，∵∠DAB＝α＝60°，即∠DAB＝∠PAQ＝60°，∴△ADP≌△ABQ（SAS），∴BQ＝DP，∠APD＝∠AQB，∵AP＝AQ，∠PAQ＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴∠AQP＝60°，∵PQ⊥BQ，∴∠BQP＝90°，∴∠AQB＝∠AQP＋∠BQP＝60°＋90°＝150°，∴∠APD＝∠AQB＝150°，∴∠DPM＝180°－∠APD＝180°－150°＝30°，∵∠MAD＝15°，∴∠ADP＝∠DPM－∠MAD＝30°－15°＝15°，∴∠ADP＝∠MAD，∴AP＝DP，∴AQ＝BQ＝PQ＝AP，∴∠ABQ＝∠BAQ＝∠MAD＝15°，∴∠PAH＝∠PAQ－∠BAQ＝60°－15°＝45°，∵PH⊥A