初等数学研究课件

1.1数系的扩充

2021/6/271“数系”的历史扩展与逻辑扩展过程不同

“数学史上这一系列事件的发生顺序是耐人寻味的，数学家们并不是按照先整数、分数，然后无理数、复数、代数学和微积分的顺序，而是按照相反的顺序与它们打交道的．看来，他们进行逻辑化的工作是极不情愿的．”

M.Kline《数学——确定性的丧失》2021/6/272数学教育研究表明，人们认识负数比起认识无理数要容易些．但是，历史有独特的自身发展逻辑．事实上，当人们还普遍怀疑负整数也是一种数时，人们就已经在研究正的有理数与无理数，甚至已经开始使用复数了．2021/6/273“数系”的历史扩展途径“数系”的逻辑扩展途径2021/6/274新数产生的原因数是抽象思维的产物．真正与实体直接相关的、用日常生活经验可以获得的数，只有自然数．其他的数，都需要进行理性思考才能获得．数的概念产生于对实物的计量．在漫长的史前时代，人类已经认识了抽象的自然数．随着人类文明的进步，数的概念从实体的测量发展为抽象的存在，如从正方形对角线的测量得到脱离经验的“无理数”．接着是代数运算的需要，因减法、开方运算的需要产生了负数、无理数和复数．到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，人们为了追求运算的无矛盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等等．2021/6/275“新数”为何最初不被承认？不能够测量并非非有不可不能够理解逻辑基础不清楚2021/6/276“新数”为何最终获得承认？

“因为在数学中和在其他场合一样，成功是最高法庭，任何人都得服从它的裁决.”

D.Hilbert《论无限》2021/6/277算法合理性是“新数”获得承认的主要原因算术到代数的演进加速了数系的形成广泛的应用促进广泛的承认“理想数”的思想2021/6/2781.2数系的构造理论

2021/6/2791.2.1自然数的定义自然数严格的抽象定义是由peano公理给出的，它刻画了自然数的本质属性，并导出了有关自然数的所有运算和性质。Peano公理陈述如下：（1）0是自然数；（2）每个自然数都有一个后继，a的后继记为a+；（3）没有自然数的后继为0；（4）不同的自然数有不同的后继，即若a+=b+，则a=b；（5）（归纳公理）如果0有某个属性，而且若自然数a有该属性则a+也有该属性，那么所有自然数都有该属性。2021/6/2710例设m∈N,m≠0,那么，必有n∈N使得

n+=m

证明设集合A由所有这样的自然数组成：它是某个自然数的后继.设S={0}∪A.

显然,0∈S.若x∈S,由A的定义有x+∈A,因而x+∈S.

由归纳公理知,S=N.

因此，若m∈N,m≠0,就必有m∈A,即存在n∈N,使得n+=m.该例题表明：每个不为0的自然数必为某个自然数的后继。2021/6/2711加法定义1自然数集N上的二元运算“+”称为加法，满足条件：(1)对任何a∈N，a+0=a(2)对任何a,b∈Na+b+=(a+b)+

2021/6/2712例证明2+3=5证明：2+0=22+1=2+0+=(2+0)+=2+=32+2=2+1+=(2+1)+=3+=42+3=2+2+=(2+2)+=4+=52021/6/2713例对任何a∈N，证明0+a=a+0.证明：利用数学归纳法证明当a=0时，结论显然成立。假使a=n时，结论成立，即0+n=n+0，则当a=n+时0+n+=(0+n)+=(n+0)+=n+=n++0

结论亦成立。2021/6/2714乘法定义2自然数集N上的二元运算“•”称为乘法，满足条件：(1)对任何a∈N，a•0=0(2)对任何a,b∈Na•b+=(a•b)+a

2021/6/2715例证明a·3=a+a+a证明:a·0=0a·1=a·0+=(a·0)+a=0+a=a+0=aa·2=a·1+=(a·1)+a=a+aa·3=a·2+=(a·2)+a=a+a+a2021/6/2716运算律定理2对任何a,b,c∈N有①加法交换律a+b=b+a②加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,则b=c.

若b+a=c+a,则b=c.④乘法交换律a·b=b·a⑤乘法结合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠0,a·b=a·c,则b=c.

若a≠0,b·a=c·a,则b=c.⑦乘法对加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c2021/6/2717代数结构定理3自然数集关于加法和乘法都是一个可交换的半群，0是其零元，1是其单位元。0的负元是0，1的逆元是1，除此之外其他自然数都没有负元和逆元。2021/6/2718减法加法的相消律保证我们可以定义加法的逆运算——减法。定义3设a，b∈N，若存在x∈N，使x+b=a，则称x=a-b.根据定义，有①(a-b)+b=a;②除零元之外其他自然数都没有负元，这说明在整数集上减法不具有封闭性。2021/6/2719例证明不存在x∈N，使得x+2=1成立.证明：反证法假使存在x∈N,满足x+2=1,则(x+1)+=0+x+1=0(x+0)+=0x+=0

这与0不是任何自然数的后继相矛盾。2021/6/2720除法乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算——除法。定义4设a，b∈N,b≠0,若存在x∈N，使x·b=a，则称x=.根据定义，有

除单位元之外其他自然数都没有逆元，这说明在自然数集上除法不具有封闭性。2021/6/2721例证明不存在x∈N，使得x·2=1成立.证明：反证法假使存在x∈N,满足x·2=1,则

x+x=1

显然x≠0,可设x=y+,所以

y++y+=1((y+y)+)+=0+

(y+y)+=0

这与0不是任何自然数的后继相矛盾。2021/6/2722自然数的序关系定义5对给定的a,b∈N,若存在x∈N，使得b=a+x,则称a≤b,或b≥a.定理5关系“≤”(≥)是自然数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。定理6（最小自然数原理）(N,≤)是良序集，即N的每一个非空子集都有最小数。2021/6/2723定理7对任何a∈N,a≥0定理8若a,b,c∈N,则①当a≤b时，a+c≤b+c②当a≤b时，a·c≤b·c所以，“≤”(≥)是自然数集上的大小关系。2021/6/2724定义6若a≤b,且a≠b,则称a<b,或b>a.定理9“<”(>)也是自然数集上的大小关系。定理10（阿基米德性质）对于任意a，b∈N，a>0，总存在n∈N，使n•a>b.2021/6/27251.2.2从自然数到整数定义1N×N上的关系“~”规定如下：对于任意(a,b),(c,d)∈N×N,如果a+d＝b+c,则称(a,b)~(c,d).定理1：关系“~”是N×N上的一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。定义2：N×N按等价关系“~”划分的等价类（以[(a,b)]表示(a,b)所属的等价类）叫做整数，一切整数组成的集合叫做整数集，记为Z.2021/6/2726定理2设Z+={[(a,0)]|a∈N-{0}}Z-={[(0,a)]|a∈N-{0}}

则Z=Z+∪[(0,0)]∪Z-,且Z+,[(0,0)],Z-两两不相交.定义3称Z+为正整数集，称Z-为负整数集。2021/6/2727整数集上的运算定义4（整数加法）整数集Z上的二元运算加法“+”规定如下：对于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Z,[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]上述定义是合理的，可以证明Z中的加法运算与等价类代表的选取无关。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),则(a1+c1,b1+d1)~(a2+c2,b2+d2).2021/6/2728定义5（整数乘法）整数集Z上的二元运算加法“•”规定如下：对于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Z,[(a,b)]•[(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]上述定义是合理的，可以证明Z中的乘法运算与等价类代表的选取无关。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),则(a1c1+b1d1,a1d1+b1c1)~(a2c2+b2d2,a2d2+b2c2).2021/6/2729定理3对任何a,b,c∈Z有①加法交换律a+b=b+a②加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,则b=c.

若b+a=c+a,则b=c.④乘法交换律a·b=b·a⑤乘法结合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠[0,0],a·b=a·c,则b=c.

若a≠[0,0],b·a=c·a,则b=c.⑦乘法对加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c2021/6/2730定理4整数集是一个交换环，[(a,a)]是其零元，[(a+1,a)]是其单位元。[(a,b)]的负元是[(b,a)],单位元的逆元是自身，除此之外其他整数都没有逆元。2021/6/2731减法加法的消去律保证我们可以定义加法的逆运算——减法。定义6设a，b∈Z，若存在x∈Z，使x+b=a，则称x=a-b.整数都有负元保证了整数集上减法的封闭性。2021/6/2732除法乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算——除法。定义7设a，b∈Z,b≠[(0,0)],若存在x∈Z，使x·b=a，则称x=.除单位元之外其他整数都没有逆元，这说明在整数集上除法不具有封闭性。2021/6/2733整数集上的序关系定义8对于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Z,如果a+d≤b+c,则称[(a,b)]≤[(c,d)])定理5关系“≤”是整数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。2021/6/2734定理6若a,b,c∈Z,则①当a≤b时，a+c≤b+c②当a≤b,[(0,0)]≤c时，a·c≤b·c所以，“≤”是整数集上的大小关系。2021/6/2735整数集是自然数集的扩张定理7整数集Z是自然数集N的一个扩张，即存在一个N到Z上的一个一一映射f，使得（1）对于任意a,b∈N,都有

f(a+b)=f(a)+f(b)f(a·b)=f(a)·f(b)（2）对于任意a,b∈N,若a≤b,则f(a)≤f(b).证明：构造f:N→Z如下

f(a)=[(a,0)]

即可满足定理要求。2021/6/2736因此，以后我们可以对a与[(a,0)]不加区别地使用，从而有Z+=N-{0}.

因为[(0,a)]是[(a,0)]的负元，所以我们也用-a表示[(0,a)].2021/6/27371.2.3从整数到有理数记Z0=Z+∪Z-.定义1Z×Z0上的关系“~”规定如下：对于任意(a,b),(c,d)∈Z×Z0,如果ad＝bc,则称(a,b)~(c,d).定理1：关系“~”是Z×Z上的一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。定义2：Z×Z按等价关系“~”划分的等价类（以[(a,b)]表示(a,b)所属的等价类）叫做有理数，一切有理数组成的集合叫做有理数集，记为Q.2021/6/2738有理数集上的运算定义3（有理数加法）有理数集Q上的二元运算加法“+”规定如下：对于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Q,[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]上述定义是合理的，可以证明Q中的加法运算与等价类代表的选取无关。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),则(a1d1+b1c1,b1d1)~(a2d2+b2c2,b2d2).2021/6/2739定义4（有理数乘法）有理数集Q上的二元运算加法“•”规定如下：对于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Q,[(a,b)]•[(c,d)]=[(ac,bd)]上述定义是合理的，可以证明Q中的乘法运算与等价类代表的选取无关。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),则(a1c1,b1d1)~(a2c2,b2d2).2021/6/2740定理2对任何a,b,c∈Q

有①加法交换律a+b=b+a②加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,则b=c.

若b+a=c+a,则b=c.④乘法交换律a·b=b·a⑤乘法结合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠[(0,1)],a·b=a·c,则b=c.

若a≠[(0,1)],b·a=c·a,则b=c.⑦乘法对加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c2021/6/2741定理3有理数集是一个域，[(0,a)]是其零元，[(a,a)]是其单位元。[(a,b)]的负元是[(-a,b)],[(a,b)]的逆元是[(b,a)].2021/6/2742减法加法的消去律保证我们可以定义加法的逆运算—减法。定义5设a，b∈Q，若存在x∈Q，使x+b=a，则称x=a-b.有理数都有负元保证了有理数集上减法的封闭性。2021/6/2743除法乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算——除法。定义6设a，b∈Q,b≠[(0,1)],若存在x∈Q，使x·b=a，则称x=.有理数都有逆元保证了有理数集上除法的封闭性。2021/6/2744有理数集上的序关系定义7对于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Q,如果abd2≤cdb2,则称[(a,b)]≤[(c,d)]).定理4关系“≤”是有理数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。2021/6/2745定理5若a,b,c∈Q,则①当a≤b时，a+c≤b+c②当a≤b,[(0,1)]≤c时，a·c≤b·c所以，“≤”是有理数集上的大小关系。2021/6/2746有理数集是整数集的扩张定理6有理数Q是整数集Z的一个扩张，即存在一个Z到Q上的一个一一映射f，使得（1）对于任意a,b∈Z,都有

f(a+b)=f(a)+f(b)f(a·b)=f(a)·f(b)（2）对于任意a,b∈Z,若a≤b,则f(a)≤f(b).证明：构造f:Z→Q如下

f(a)=[(a,1)]

即可满足定理要求。2021/6/2747因此，以后我们可以对a与[(a,1)]不加区别地使用.因为[(a,b)]=,所以我们也用表示[(a,b)].2021/6/27481.2.4实数的构造有理数集的缺陷有理数域缺乏连续性有理数域虽是稠密的，但它未铺满数轴，中间还有空隙。它不能与直线等量齐观，因为直线是连续的。有理数域缺乏完备性尽管有理数集是一个域，在加减乘除运算下都封闭，但它在极限运算下并不是一个封闭的数域。因为尽管某些有理序列本身收敛（cauchy序列意义下），但在有理数范围内找不到一个极限值。正是对有理数域的缺陷两方面的思考，康托尔从完备性要求出发，戴德金从连续性要求（完备性的几何性质）出发，同时洞悉了无理数的本质，并得到了表示它们的两种形式，奠定了实数的构造理论。2021/6/2749Cantor构造定义1记所有有理数Cauchy序列的集合为®.实际上，®2N×Q定义2®上的关系“~”规定如下：对于任意(rn),(Sn)∈®,如果,则称(rn)~(Sn).定理1：关系“~”是®上的一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。2021/6/2750定义3：®按等价关系“~”划分的等价类（以[(rn)]表示(rn)所属的等价类）叫做实数，一切实数组成的集合叫做实数集，记为R.2021/6/2751实数集上的运算定义4（实数加法）实数集R上的二元运算加法“+”规定如下：对于任意[(rn)],[(sn)]∈R,[(rn)]+[(sn)]=[(rn+sn)]上述定义是合理的，这需要证明若(rn),(sn)是有理数Cauchy序列,则(rn+sn)也是有理数Cauchy序列.R中的加法运算与等价类代表的选取无关。即若(rn)~(xn),(sn)~(yn),则(rn+sn)~(xn+yn).2021/6/2752定义5（实数乘法）实数集R上的二元运算乘法“•”规定如下：对于任意[(rn)],[(sn)]∈R,[(rn)]•[(sn)]=[(rn•sn)]上述定义是合理的，这需要证明若(rn),(sn)是有理数Cauchy序列,则(rn•sn)也是有理数Cauchy序列.R中的乘法运算与等价类代表的选取无关。即若(rn)~(xn),(sn)~(yn),则(rn•sn)~(xn•yn).2021/6/2753定理2对任何a,b,c∈R有①加法交换律a+b=b+a②加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,则b=c.

若b+a=c+a,则b=c.④乘法交换律a·b=b·a⑤乘法结合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠[(0)],a·b=a·c,则b=c.

若a≠[(0)],b·a=c·a,则b=c.⑦乘法对加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c2021/6/2754定理3实数集是一个域，[(0)]是其零元，[(1)]是其单位元。[(rn)]的负元是[(-rn)],[(rn)](rn≠0)的逆元是[(1/rn)].2021/6/2755实数集上的序关系定义6对于任意[(rn)],[(sn)]∈R,如果存在有理数ε>0和自然数N，使得当n>N时，恒有rn+ε<

sn成立，则称[(rn)]

[(sn)].

定义7对于任意[(rn)],[(sn)]∈R,如果[(rn)]

[(sn)]或[(rn)]=[(sn)],则称[(rn)]≤[(sn)].

定理4关系“≤”是实数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。2021/6/2756定理5若a,b,c∈R,则①当a≤b时，a+c≤b+c②当a≤b,[(0)]≤c时，a·c≤b·c所以，“≤”是实数集上的大小关系。2021/6/2757实数集是有理数集的扩张定理6实数集R是有理数集Q的一个扩张，即存在一个Q到R上的一个一一映射f，使得（1）对于任意a,b∈Q,都有

f(a+b)=f(a)+f(b)f(a·b)=f(a)·f(b)（2）对于任意a,b∈Q,若a≤b,则f(a)≤f(b).证明：构造f:Q→R如下

f(a)=[(a)]

即可满足定理要求。2021/6/2758定义8我们称[(a)],a∈Q为有理数，其它实数称为无理数。因此，以后我们对a与[(a)]可以不加区别地使用.2021/6/2759定义9实数的绝对值规定如下：对于任意a∈R,当a≥0时,|a|=a当a≤0时,|a|=-a.定义10设(rn)是实数序列，如果存在有理数r,使得对于任意给定的实数ε>0,都存在自然数N，当n>N时，恒有|rn-

r|<ε成立,那么就称实数r是(rn)的极限，记为.2021/6/2760定义11设(rn)是实数序列，如果对于任意给定的实数ε>0,都存在自然数N，使得当n,m>N时，恒有|rn-

rm|<ε成立，那么就称(rn)为一个实数Cauchy序列。定理7实数序列极限存在的充要条件是它是实数Cauchy序列。2021/6/2761Dedekind构造定义1设A,BQ,二元组(A,B)称为Dedekind分割,当且仅当满足：1)A∪B=Q2)A∩B=Ø3)对于任意a∈A,b∈B,有a<b.

并称集Ａ为分割的下类，集B为分割的上类。记所有Dedekind分割的集合为Θ.实际上，Θ2Q×2Q.2021/6/2762定理1Dedekind分割(A,B)只有下述三种情形：A无最大数，B有最小数。A无最大数，B无最小数。A有最大数，B无最小数。定义2下类没有最大数的Dedekind分割叫做实数，一切实数组成的集合叫做实数集，记为R.上类有最小数的实数称为有理数，上类没有最小数的实数称为无理数。2021/6/2763实数集上的序关系定义3对于任意[(A,B)],[(C,D)]∈R,如果AC,则称[(A,B)]≤[(C,D)].

定理2关系“≤”是实数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。2021/6/2764利用Dedekind分割定义实数集上的代数运算比较复杂，请同学们自己试一试。2021/6/2765复数的定义定义1（复数的序偶定义）将有序的实数对(a,b)称为复数，并定义它们的运算法则如下：定义2（复数的矩阵定义）将二阶实数矩阵称为复数．矩阵定义下复数的运算法则2021/6/2766定理1全体复数组成一个域.定理2复数集是完备的半序域．说明：(复数的半序结构)两个复数z=a+bi,w=c+di有半序关系z≤w，当且仅当a≤c,b≤d.

复数在这样的半序关系下，加法是保序的，乘法（乘数为正数）也是保序的．按照复数的模作为距离，复数系是完备的，即复数的康托尔序列都收敛于一个复数．

2021/6/2767复数系还能再扩充吗？事实上，复数系还可以扩充为四元数系、八元数系等．但是实数域上四元数系虽然是一个除环，但它的乘法并不满足交换律，八元数系甚至连乘法的结合律都不再满足，这些数系与传统的数系的概念相去太远，我们不作讨论．

2021/6/27682不等式

2021/6/2769重要不等式平均值不等式（正实数）变式2021/6/2770排序不等式

对于两列数，反序元乘积之和≤乱序元乘积之和≤同序元乘积之和对于两列正数，同序元和之乘积≤乱序元和之乘积≤反序元和之乘积注意：对于任何一个问题，如果不失一般性，把涉及到的数按照大小顺序排列，总可以满足排序不等式的条件，因此排序不等式有广泛的应用。2021/6/2771推广

对于多列正数，乱序元乘积之和≤同序元乘积之和同序元和之乘积≤乱序元和之乘积2021/6/2772推论：切比雪夫不等式若则2021/6/2773Cauchy不等式向量表示：2021/6/2774三角不等式向量表示：绝对值不等式分式不等式2021/6/2775不等式的证明综合法与分析法利用重要不等式2021/6/2776利用Cauchy不等式证明不等式2021/6/2777证：得证问题扩展：在题设条件下，求的最小值2021/6/27782021/6/2779放缩法2021/6/27802021/6/2781放缩法常见的一些技巧：舍掉或加进一些项放大或缩小分子或分母．运用基本不等式利用函数单调性2021/6/2782构造函数构造的函数通常有一次函数、二次函数、分式函数、指数函数、对数函数等，证明过程中用函数的单调性，函数值的范围，二次函数的判别式等．2021/6/27832021/6/2784构造图形2021/6/2785求证：对任何a>0，b>0，c>0，都有，当时等号成立。

60obac60o2021/6/27862021/6/2787解不等式解不等式基本思路是，将超越不等式转化为代数不等式；将无理不等式转化为有理不等式，将高次不等式转化为低次不等式等．解不等式需要注意同解变形。若要解决的问题不能统一处理（如含有参数）时，要按各种情况进行分类讨论，然后解相应的不等式组。如果不等式的结构可以通过某种方式与图形建立起联系，则可设法构造图形，将不等式所表达的抽象的数量关系转化为图形加以解决．2021/6/27882021/6/27892021/6/27902021/6/27912021/6/27923方程2021/6/2793方程的价值数学有“好”数学和“不太好”数学之分。方程，是“好”的数学的代表。（陈省身）方程的思想无所不在，方程的概念不断发展。从经典的代数方程到微分方程、积分方程，方程无疑是数学中最重要的内容之一。许多数学的进步是随着方程研究发展而发展的。科学的基本任务是由已知的数量计算未知的数量，由已知的前提推证未知的结论．这种计算或推理的问题，也是方程的基本内容．2021/6/2794一个方程的例子化学方程式配平，相当于是解方程的过程。2021/6/2795方程的定义含有未知数的等式叫做方程．(目前中学数学教科书中通用的方程定义)这个定义用的是“种＋属差”的逻辑定义方式，即“它首先是等式”，再指出它是“含有未知数的”等式．由于它比较直观、形象、简洁明了，便于初学者理解和掌握，能为大家所认同和接受．外延很大，可包括一切形式的方程(组)甚至微分(积分)方程(只要把未知数、已知数扩展为未知函数、已知函数)缺憾：无法从中获得方程的思想实质——通过已知与未知的关系，认识和研究未知。2021/6/2796方程定义教学中的问题——分歧的焦点是：究竟是看重方程的逻辑定义，还是看重方程的思想方法．没有哪一个学生是因为“记不住这一定义”而不会解方程的。方程的逻辑定义，简单交代，不需深究．方程的思想需要特别关注．2021/6/2797一个真实的例子20世纪70年代，上海51中学的一位毕业生到和平饭店担任电工．工作中，他发现12楼客房的室温，和地下室设定的温度有差异．他怀疑是地下室到12楼空调器的三根导线不一样长，造成电阻不同所致。但距离如此远，如何测知它们的电阻？2021/6/2798于是这位电工想到了数学，想到了方程．尽管单根电线的电阻很难测知，但是12楼上两根电线连接起来，在地下室测量两根电线的电阻却是轻而易举的．xyz2021/6/2799于是，他列出了以下的方程：可贵之处：测量电阻时能想到运用方程思想求未知数．2021/6/27100形式化定义定义l形如f(xl,x2,…,xn)=g(xl,x2,…,xn)的等式叫做方程，变元xl,x2,…,xn称为未知数，解析式f与g的定义域的交集叫做方程的定义域．多个n元方程的集合，叫做n元方程组．方程组中所有方程的定义域的交集叫做该方程组的定义域．定义2如果用定义域中有序数组(al,a2,…,an)取代n元方程(组)中相应的未知数能使方程(组)中(每一个)等式都成立，则该有序数组称为方程(组)的一个解.方程(组)的所有解的集合叫做方程(组)的解集．上述定义的一个好处是确定了未知数的取值范围．一次方程可以有整数解和有理数解的区别．高次方程的解有实数解和复数解的区别．2021/6/271012021/6/27102方程的同解变形定义

如果方程(1)的任何一个解都是方程(2)的解，并且方程(2)的任何一个解也是方程(1)的解，则方程(1)与(2)称为同解方程．如果方程(1)的每一个解都是方程(2)的解，那么方程(2)称为方程(1)的结果．约定:对于整式方程，仅当它们相同的根还具有相同的次数时，才认为它们是同解方程．如方程x-1=0与方程(x-1)2=0不被认为是同解方程．为了求出方程或方程组的解，需要将方程不断地变形，在保持它的解不变前提下的变形，称为同解变形．2021/6/27103判断：是否为同解变形？增根还是失根？2021/6/271042021/6/271052021/6/271062021/6/271072021/6/271082021/6/271092021/6/271102021/6/27111总结：一般来说，当在方程两端施行某一运算，而这种运算的逆运算的运算结果不是唯一确定的时候，便将得到与原方程不同解的方程。由于方程变形后，改变了（扩大或缩小）原方程的定义域，变形后的方程往往是不同解的。一个变形有可能既产生增根又产生失根（如：合分比变形虽可互逆，但对定义域既可能扩大又可能缩小）。应根据变形对方程不同的影响判断是否有增根和失根．2021/6/27112剔除增根在方程变形过程中，把由原方程的结果得到的解代入原方程检验满足与否，以判断是不是增解．在方程变形过程中，把原方程的定义域的扩大部分中的数代入原方程检验满足与否，以判断是不是增解．2021/6/27113找回失根在方程变形过程中，把原方程的定义域的缩小部分中的数代入原方程检验满足与否，以判断是不是原方程的解．注：合分比变形虽可互逆，但对定义域既可能扩大又可能缩小。2021/6/27114解决思路是化为缺项的三次方程，再作变换转换为二次方程来求解。三次方程的解法2021/6/271152021/6/271162021/6/27117三次方程的判别式

2021/6/271182021/6/27119四次方程的解法方法一：用待定系数的方法设法将其化为二个二次因式的形式，再解二次方程．方法二：转换为缺项的四次方程，再将缺项的四次方程转换为三次方程，解出三次方程后，再求出四次方程的根．2021/6/271202021/6/271212021/6/271224.1函数2021/6/27123函数的价值18世纪以来，分析学一直占据着数学的核心地位，是数学的核心学科，从而把函数概念和方法置于整个数学的中心地位．许多现实问题都可以归因于研究数量的变化过程，几乎所有领域都有函数应用的实例。日常生活的语言也引入了函数的许多词汇。20世纪以来，世界各国的中学数学内容从以解方程为中心转到以研究函数为中心．函数的观念已经成为对公民素质的基本要求，成为人们在现代社会交往中必备的能力．2021/6/27124初等函数的重要性初等函数的研究是与微积学的研究结合在一起的。初等函数的使用面相当广泛，在建立描摹大自然的数学模型时，初等函数能够基本上满足需要．2021/6/27125旧函数，新意义对数的发明在于简化计算．20世纪中叶以后，计算机和计算器的普遍使用使得对数的这种计算功能几乎完全废弃．对数函数的现代意义是：作为一种数学模型，对数函数提供了缓增的类型．2021/6/27126最初引入三角函数是几何学的需要，是为了处理三角形，其基本思想是使用比例手段定量地表示三角形边角之间的关系．三角函数的重要，在于它的周期性．三角函数提供了周期现象的一种数学模型。三角函数的重要，还在于傅里叶发现：相当广阔的一类函数(许多实用的周期函数)都可以展开为三角级数。2021/6/27127函数的定义变量说：如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一些变量的函数。(欧拉，1755)对应(或映射)说：我们假定Z是一个变量．如果对它的每一个值，都有未知量W的一个值与之对应，则称W是Z的函数。(黎曼，1851)关系说：若X,Y是两个集合，X×Y的任何子集S称为它们之间的一种关系．如果关系F满足：对于每一个x∈X，都存在唯一的一个y，使得(x,y)∈F，则称关系F是一个函数．(布尔巴基学派，1939)2021/6/27128谁更重要？“变量说”建立在变量的基础上，描述和强调了函数最重要的特性——变化，其优点是形象、直观、自然，通俗易懂。任何人理解函数，建立函数关系，都是从观察两个变量之间的依赖关系入手的．因此“变量说”是最朴素、最根本的，对于初学者也最容易接受。这种描述性的定义没有突出函数的本质——对应关系。2021/6/27129“对应说”突出地反映了变量之间的对应关系，它能够微观地、明确地指出因变量是如何随着自变量的变化而变化的。“对应说”抓住了函数的本质。函数的本质是变量之间的关系，而描述这种关系的正是“对应”。“对应说”建立在集合论的基础上，更接近现代数学的语言，普适性强。但它没能对“对应”进行严格刻画，对对应关系的界定也不够清楚。2021/6/27130“关系说”没有使用其他未经定义的日常语言，完全用集合论的语言叙述。它通过外延定义彻底解决了对应关系的界定问题，是完全数学形式化的表述，便于更深入地理解函数本质，也便于计算机接受，广泛用于计算机科学中。但正是由于它过于形式化，抽去了函数关系的生动直观——变量变化及相互依赖关系的特征，看不见对应关系的形式和规律（解析式），对初学者来说不易理解和掌握。“关系说”虽不适合放在中学教材中，但中学教师应该掌握。2021/6/27131函数的发展古埃及、古巴比伦、古希腊、古印度、古代中国的数学中都研究过方程，但是都没有形成函数的思想。函数概念的产生是16－17世纪由于人们对物体运动的研究，特别是对天体运动的研究而开始的。Galileo（1564－1642）自由落体运动S=0.5gt2、斜抛运动轨迹是抛物线Descartes（1596－1650）最先提出了“变量”的概念Newton认识到曲线是记录了点的连续运动Leibniz最早使用“函数”这个词，他用它表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量李善兰在《代微积拾级》中译为“函数”2021/6/27132函数的三种表示形式函数的表达方法很多，列表法，图像法和解析式法，都可以表示函数．数学所要研究的函数，一般是需要解析式的．建立函数模型，主要是找到解析式表示，才能通过论证和计算解决问题．离散的数字表格，可以插值形成连续函数，图像则可以用解析式逼近或数字近似．但并非所有的函数都能够用算式表示．也存在一些变量之间的变化关系我们可能能够感觉得到，却无法用简单的数学方法描摹出来．如统计报表，股票走势图等要寻求算式，但又不限于算式，是掌握函数概念的一部分．2021/6/271332021/6/27134函数与曲线、方程函数的图象是曲线，曲线又可以看作是坐标适合二元方程的点的轨迹，在上述意义下函数、曲线、方程没有区别。这种统一性是中学数学的核心思想，这样几何中的形与代数中的数就统一起来了，初中数学知识与高中数学知识也统一起来了。中学阶段不必过分强调函数的图象与方程的曲线之间的差异，而更应该强调统一性。2021/6/27135复合函数中的定义域问题门德荣.关于复合函数的教学.数学通报,1995,(9):12.本题目的实质是“已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域.2021/6/27136问题1谁对谁错？2021/6/27137类似的病题2021/6/27138函数单调性与单调区间单调区间要求极大吗？排他？例已知函数f(x)=x2-2ax+1的增区间为[1,+∞)，求a的取值范围解f(x)=x2-2ax+1=(x-a)2+1-a2其增区间为[a,+∞)

所以，a=1对吗？为什么要引入单调区间的概念？不过是为了比较函数值的方便而已。与极大无关，当然单调区间越大越有利。2021/6/27139函数单调性的几个结论约定：两个函数在所讨论的区间里都是递增的（或递减的），就称这两个函数依同向变化；若其中一增一减，就称这两个函数依反向变化．则单调函数f(x)与函数f(x)＋c(c是常数)依同向变化．单调函数f(x)与函数c·f(x)(c是常数)，当c>0时，依同向变化；当c<0时，依反向变化．若两个单调函数f1(x)与f2(x)依同向变化，则两函数的和也和它们依同向变化．若两个正值(或负值)单调函数f1(x)与f2(x)依同向变化，那么这两函数的乘积与它们依同向(或反向)变化．单调函数f(x)与函数1/f(x)在f(x)不等于零的同号区间里依反向变化．单调函数f(x)和它的反函数f-1(x)依同向变化．如果单调函数f(x)和单调函数g(x)依同向(或反向)变化，那么复合函数f(g(x))是单调递增(或递减)的．2021/6/27140函数奇偶性与定义域的对称性2021/6/27141函数奇偶性当前的定义y=f(x)(x∈D)是奇函数

如果对于任意x∈D,都有f(x)=-f(-x)y=f(x)(x∈D)是偶函数

如果对于任意x∈D,都有f(x)=f(-x)定义隐含：关于原点对称2021/6/271422021/6/27143函数奇偶性的几个结论两个奇(或偶)函数的代数和仍是奇(或偶)函数．两个奇(或偶)函数的积是偶函数；一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数．如果奇函数的反函数存在，且定义在对称于原点的数集上，那么这个反函数也是奇函数．奇(或偶)函数的倒数函数(分母不为零)仍为奇(或偶)函数．设函数y=f(g(x))定义在对称于原点的数集上①若g(x)是奇函数，则当f(x)是奇(或偶)函数时，复合函数y=f(g(x))也是奇(或偶)函数；②若g(x)是偶函数，则不论f(x)是奇函数还是偶函数，复合函数y=f(g(x))都是偶函数．2021/6/27144函数周期性的几个结论如果T是函数f(x)的周期，那么-T也是f(x)的周期，而且对于任意的非零整数k,kT也是函数f(x)的周期．如果函数f(x)具有最小正周期T0,那么f(x)的任一正周期T一定是T0的正整数倍．周期函数的定义域一定是一个上下无界的无穷集．但并不一定就是R，例如函数tanx.并非所有周期函数都有最小正周期，f(x)=c．2021/6/271454.2函数方程2021/6/27146函数方程含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。如f(x+1)=x是函数方程，其解为函数f(x)=x-1f(x)=f(-x)是函数方程，其解为偶函数f(x)=-f(-x)是函数方程，其解为奇函数f(x)=f(x+2)是函数方程，其解为周期为2的周期函数微分方程也是函数方程2021/6/27147求解函数方程目前求解函数方程还没有完备的理论和方法，其技巧性较强。在中学阶段，解决这类问题的一般方法是代入法（或代换法）。代入法（或代换法）包括换元法特值法（注意：很多时候的特值不失一般性）任何解方程都需要保证同解，既不能出现增根，也不能出现失根。采用代入法对函数方程的变形通常是不同解的，一般只是必要而非充分条件，因此函数方程一般在获得解后需要代入原方程进行检验。2021/6/271482021/6/27149例已知f(x)的定义域为，且求f(x)2021/6/27150例已知f(x)的定义域为，且求f(x)2021/6/271512021/6/271522021/6/27153已知f·g及g求f的消参观点——代入法的一个新观点例已知f(x)的定义域为，且，求f(x)解：由题意知，函数f(x)的图象即下述参数方程决定的曲线消去参数x得，所以2021/6/27154

2021/6/27155所以解之，得2021/6/27156同理，得2021/6/271572021/6/271582021/6/27159经检验，原方程的解为2021/6/271602021/6/27161代入法基础上的更深入的技巧递归法递归法多用于解决自然数集上的函数，即数列。递归法即将函数方程转化为递归方程。爬山法——Cauchy法历史上，Cauchy在解函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)时，首先引进了该方法。f(x+y)=f(x)+f(y)也称为Cauchy函数方程，有许多函数方程都可化为该方程而获解。爬山法解函数方程的基本步骤是：依次求自变量在自然数集、整数集、有理数集和实数集范围内时的函数值。运用爬山法通常还要求所求函数是连续或者单调的。2021/6/271622021/6/27163解从而f(x-1)=f(x)-1解上述两个递归方程，得当x为正整数时，f(x)=2+(x-1)·1=x+1当x=0时，f(x)=2-1=1当x为负整数时，f(x)=2+(-x+1)·(-1)=x+12021/6/271642021/6/271652021/6/271662021/6/27167一些错误分析问题1：门德荣,李艳芳.求f(x)的若干方法.数学通报,1999,(1):16.2021/6/27168分析一个简单问题2021/6/271692021/6/27170问题2：曾小鸿.浅析解函数方程的几个误区.数学通讯,2001,(5):15.2021/6/27171例：已知f(x2)=x,求f(x)(x≥0)题意：已知f(x2)=x(对于任意x∈R),求f(x)解1（换元法）：解2（代入法）：2021/6/27172用参数法求解由题意知，函数f(x)的图象即下述参数方程决定的曲线消去参数x得，它不是函数，所以原方程无解。2021/6/27173确定未知函数的性质一般而言，如果并不总能对函数方程进行求解，此时我们可能更为关心根据函数方程研究未知函数的性质。在初等数学中,函数性质主要包括奇偶性、单调性、周期性以及有界性等。确定未知函数性质的基本方法也主要是代入法。2021/6/271741.(第32届美国中学生数学竞赛题)函数f(x)在x=0处没有定义,但对所有非零实数x,有f(x)+2f(1/x)=3x.满足方程f(x)=f(-x)的实数_____(A)恰有一个(B)恰有两个(C)有无穷多个(D)不存在答案：B2.(1998年希望杯数学竞赛高一第2试)函数f(x)对于任意实数x,y,都满足f(x+y2)=f(x)+2f2(y),且f(1)≠0,则f(1998)=_____答案：9992021/6/27175函数方程与函数性质对于f(x)(x∈R)，下列命题都是显然的，你能够看出来吗？f(a+x)=f(a-x)

f(x+a)是偶函数

f(x)关于x=a对称

f(2a-x)=f(x)f(a+x)=-f(a-x)

f(x+a)是奇函数

f(x)关于点(a,0)中心对称

f(2a-x)=-f(x)f(a+x)=f(b-x)

f(x)关于直线x=(a+b)/2对称f(a+x)=-f(b-x)

f(x)关于点((a+b)/2,0)中心对称f(a+x)=f(b+x)

a-b为f(x)的周期f(a+x)=-f(b+x)2(a-b)为f(x)的周期2021/6/27176奇偶性合成周期性f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)2(a-b)为f(x)的周期f(a+x)=-f(a-x),f(b+x)=-f(b-x)2(a-b)为f(x)的周期f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=-f(b-x)4(a-b)为f(x)的周期f(x)f(x+a)=k(k≠0)2a为f(x)的周期2021/6/27177f(f(x))=x

f(x)可逆，且f(x)=f-1(x)

f(x)关于y=x对称；2021/6/27178方程与不等式习题课2021/6/27179解下列方程（不要求得出结果）1.2.3.4.2021/6/271802021/6/271812021/6/271822021/6/27183一题多解2021/6/271842021/6/271852021/6/271862021/6/271872021/6/27188已知猜测x+y+z的结果是什么形式。求x+y+z2021/6/27189解法一2021/6/27190解法二2021/6/27191解法三猜测x+y+z可以写作3x+7y+z与4x+10y+z的线性组合x+y+z=3(3x+7y+z)-2(4x+10y+z)2021/6/27192解法四矩阵解法．令将方程①②③联立得一个三元非齐线性方程组，k存在即该方程组有解若系数矩阵秩为1，要使方程组有解，则相应的增广矩阵与系数矩阵秩相同，此时k或无解或有唯一值或取任意值。若系数矩阵秩为2，要使方程组有解，则相应的增广矩阵与系数矩阵秩相同，此时k或无解或有唯一值或取任意值。若系数矩阵秩为3，则方程组总有解，此时k可取任意值。2021/6/27193将方程①②③联立得2021/6/27194解法五几何解法①②表示两个相交平面，而求解则是确定一个过交点上的点的平面（求k）若交线与上述平面平行（即相应向量的混合积为0，亦即①②③联立方程组的系数行