2017年-7考研数学二真题与解析

2017年考研数学二真题

一、选择题1—8小题.每小题4分，共32分.

1-COSVx

1.若函数/5)={-G-在工=0处连续，则

b,A<0

(A)ab—<D)ab=—(C)ab—0(D)ab-2

Ir~—x,

【详解】limf(x)=lim0SVA=lim-2-=—,limf(x)=b=要使函数在x=0处连续,

-so+*办ax2a

必须满足」-=/?=>〃/?='.所以应该选(A)

2a2

2.设二阶可导函数/*)满足/⑴=/(-1)=1,/(0)=-1,且广。)>0,则()

(A)f〃.心>0fJ(x)公<0

r0rl

⑹J(j\x)dx>£f(x)dx(I))J：/(x)公<£f(x)dx

【详解】注意到条件/〃(x)>0,则知道曲线/(幻在卜1,0],[0,1]上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然

当XE[—1,0]时，f(x)<-2x-\,当x«0,l]时，f(x)<2x-\,而且两个式子的等号不是处处成立，

否则不满足二阶可导.所以为:<二(一2工一1)公+£(21一1)公=0.所以选择(B).

当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数/。)=2/一1,此时

f{x}dx=--Xf(x)dx=--,可判断出选项(A),(C),(D)都是错误的，当然选择(B).希望同

j-i3J。3

学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧.

3.设数列{玉}收敛，则

(B)当lim(怎+曰)=0时,limx,=0

(A)当limsinxn=0时，limxn=0

〃一>3V'In>Q0

(C)当lim(x+片)=0时,limx=0

nn(D)当lim(x〃+sin)=0时，limxfl=0

【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有(D)是正确的.

其实此题注意，设limx“=4,则

1

忸sin怎=sinAlim(xrt+屈)=A+炳强(怎+七)=A+A,\m(xn+sinx„)=A+sinA

分别解方程5访4=(),4+加=0,4+42=0,4+4114=()时，发现只有第四个方程A+sinA=0有唯

一解

A—0»也就是得到limx”—0.

M—><X>

4,微分方程y〃-4y+89=/(+cos2幻的特解可设为)，*=()

(A)Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)(B)A^e2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)

(C)Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)(D)Ave2v+xe2x(Bcos2x+Csin2x)

【详解】微分方程的特征方程为产-4厂+8=0,有一对共扼的复数根r=2±2i.

所以％=2不是特征方程的根，所以对应方程)，〃一4y+89=*的特解应该设为x*=.

而4=2+2,是方程的单根，所以对应方程/-4y+89=e2rcos2x的特解应该设为

y^=xe2x(Bcos2x+Csin2x)：从而微分方程)，"一4)，'+89=+cos2x)的特解可设为

),*=)[*+必*=A/'+xe"(3cos2_r+Csin2x),应该选(C).

5.设f(x,y)具有一阶偏导数，且对任意的)，)都有西)')>0,")')<0，则()

oxoy

(A)/(0,0)>/(1,0)(B)/(0,0)</(1,1)

(C)/(0,1)>/(1,0)(D)/(0,1)</(1,0)

【详解】由条件对任意的a,y)都有.(：)')>0,*>')V0可知/(X,)，)对于X是单调增加的,

oxdy

对)，就单调减少的.所以</(1,0)>/(0,0),/(1,1)>/(0,1)</(0,0),/(0,1)</(0,0)</(1,0),

只有第三个不等式可得正确结论(D),应该选(D).

6.甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：米)处，如图中，实线表示甲的速度曲线y=w«)

(单位：米/秒)，虚线表示乙的速度曲线以=匕(。(单位：米/秒)，三块阴影部分的面枳分别为10,20,3,

计时开始后乙追上甲的时刻为则()

(A)%=10(B)15<%<20

(C)%=25(D)t{>>25

【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，5(。=，(辿表示时刻[工,4]

内圻走的路程.本题中的阴影面积号,-S2,S,分别表示在时间段[0,10],[10,25],[25,30]内甲、乙两人所

走路程之差，显然应该在Z=25时乙追上甲，应该选(C).

00、

7.设A为三阶矩阵，2二(«,%,4)为可逆矩阵，使得尸-A尸010，则A(%+q+4)=()

<002,

(A)at+%(B)%+2%(C)%+%(D)6+2a3

【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目.可知

000ro00、

4%%,%)=AP=P010=(%4，%)010=((),%,2%)

(0021°0V

所以A(a]+a2+a3)=Aa1+Aa2+Aa3=a2+2a3，所以可知选择(B).

’200、r210、」00、

8.已知矩阵A二021,B=020,C=020,则

1°。b1°。b〔002；

(A)AC相似，民C相似(B)AC相似，氏C不相似

(C)AC不相似，民C相似(D)AC不相似，不相似

【详解】矩阵A8的特征值都是4=4=2,4=1.是否可对解化，只需要关心2=2的情况.

‘000、

对于矩阵A,2E-A=00-1,秩等于1,也就是矩阵A属于特征值九=2存在两个线性无关的特

征句量，也就是可以对角化，也就是A〜C.

‘0-10、

对于矩阵5,2E-B=000,秩等于2,也就是矩阵A属于特征值2=2只有一个线性无关的特

、。0"

征句量，也就是不可以对角化，当然RC不相似故选择(B).

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

2

9.曲线y=x(1+arcsin—)的斜渐近线为.

x

八•2、

,x(l+arcsin-)2

解：lim—=lim----------------=1,lim(y-x)=limxarcsin—=2,所以斜渐近线为y=x+2.

RXXfpXX-><X)X—XCX

x=t+p1/72

10,设函数y=y(x)由参数方程彳确定，则=九=0=_____________.

y=sintdx~

cos/

d

i+7

【详解】电=明白~dT(l+e')sin/+dcosr

dx\+edx~dx(l+d)3'所以需金T

~dt

I详解】广卷祟-Q…d1

T+7

12.设函数/*,），）具有一阶连续的偏导数，且已知"x,y）=），eZx+x（l+），）e",/（0,0）=0,则

[详解]df(x,y)=yeydx+x(l+y)eydy=d(xye'),所以f(x,y)=xyey+C,由/(0,0)=0,得C=0,

所以/"，）'）=冷

«lanx.

W—dx=-------------

【详解】交换二重积分的积分次序得:

小[飞尸dy=£tan.xzZr=-In|cos=-lncosl.

xJoJox

S1-2

14.设矩阵4=I2的•个特征向量为1，则4=

、3I2,

【详解】根据特征向量的定义，有

41-2T1、

Aa=121=213+2。,解得。=一1.

01Tg22，

三、解答题

15.（本题满分10分）

fyjx-te'dt

求极限lim^―=—

*G

［详解】令x-t=",则，=x-〃，力=-du,I：Ge"J：疯

xl,l,

fyjx-te'dtef\[ue~duf\[ue~du\]~xe~x2

lim~j=—=lim'=——=lim—=lim

.v-»o'3G3

2

16.（本题满分10分）

I启|

设函数/（〃/）具有二阶连续偏导数，,求

y=f（e\cosx）Lv=o，心2v=0•

【详解】学=[(e\cosx)e*+力'(/,8sx)(-sinx),半k"'。」)；

ax~ax

2

xxxxxv

—7-=efx(e,cosx)+e(e,cosx)e-sincosx))-cosxf^(e,cosx)

cLc"

x

-sinxef2^(e\cosx)+sinL%；(e\cosx)

塞心。"'（1』）+工：（1，1）一£（1，1）・

17.（本题满分10分）

3k(k

求lim£rln1+—

—°言，厂kn

【详解】由定积分的定义

1jk

limY—ln[1+-=lim-y-ln14=fx)n(l+x)dr

…七nkninMnnJo

=l£ln(l+x)dr=l

18.（本题满分10分）

已知函数y（x）是由方程V+-31+3），-2二0.

【详解】在方程两边同时对x求导，得

3x2+3/y-3+3/=0(1)

在（1）两边同时对x求导，得

2x+2y(y)2+//+/=()

也就是力一汽*

令）/=0，得不=±1.当％=1时，））=1；当工2=-1时，见=0

当内=1时，/=（）,/=-1＜（）,函数），=），。）取极大值y=1；

当看二一1时，y'=。，）严=1＞0函数y=y（x）取极小值为=0.

19.（本题满分10分）

设函数/*）在区间［0,1］上具有二阶导数，且/⑴＞（）,证明:

（1）方程/（x）=0在区间（0,1）至少存在一个实根；

（2）方程/（幻/〃。）+（/。））2=0在区间（0,1）内至少存在两个不同实根.

证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件知，存在0<5<1,及王£（0»）,使得

X-»0-X

/（X.X0,由于/"）在［%［］上连续，且/（&）•/⑴<0,由零点定理，存在j£（%,l）u（0,l）,使得

八G=0,也就是方程f（x）=0在区间（0,1）至少存在一个实根；

（2）由条件可知f（0）=0,由（1）可知/（9=0,由洛尔定理，存在〃£（0,自），使得

2-x

八〃）=0；

设b（x）=/（x）/'（x）,由条件可知/（x）在区间［0,1］上可导，且/（0）=0,/0=0,/。7）=0,分别在区

间［°用，历©上对函数尸（幻使用尔定理，贝I存在白w（0,〃）u（0,1）4£（〃/）u（0,l）,使得

。工刍，尸©）=/（$）二°，也就是方程/（幻/〃（x）+（r（x）『=0在区间（0,1）内至少存在两个不同实

根.

20.（本题满分11分）

已知平面区域D={a,y）\x2+y2<2y},计算二重积分|J（X4-1）2J<T

D

【详解】由于积分区域关于y轴左右对称，所以由二重积分对称性可知“2.5。=0.所以

D

JJ(x+1评。=Jj(x2+])t/o-=「de^m\rC0S26»+1)rJr

<241

一sin4^cos2^+2sin20d0

14J

T462

=Jo(4sin<9-4sin6>+2sin

5

=一冗

4

其中利用瓦列斯公式，知

I•2八/八I万1・4八]八3x13万1.6八/八5x3x157

sm~OdO=—^7tsinOdO-------x〃=——,sin0d0=-----------乂兀=—

Jo22J。4x28J。6x4x216

21.(本题满分11分)

（31

设y（x）是区间0,-上的可导函数，且y（l）=0.点P是曲线L:y=y（x）上的任意一点，L在点。处的

乙）

切线与），轴相交于点（0,4）,法线与X轴相交于点（Xp,0）.若Xp=}；,求L上的点的坐标",），）满足

的方程.

【洋解】曲线过点P(x,y)的切线方程为y—y(x)=y(x)(X-x),令X=0,得y；=y(x)-w(x)；

曲线过点尸(x,y)的法线方程为y—y(x)二一一二(X—x),令丫=0,得X〃=x+)，y'(x).

y(x)

由条件Xp=Z，,可得微分方程y-孙'=x+y/

标淮形为了二包=士)=^^,是个一阶齐次型微分方程.

dxx+yy4.1

x

y，duu-1即八网du1+tr

设一=u»方程化为〃+x—=--->整理，得X——------

xclxM+1dx1+//

分离变量,两边积分，得arctanm+—ln〃=一Inx+lnC

2

由初始条件武1)=0,得x=l,y=0,〃=0,确定常数C=1

所以曲线的方程为arctan^+'ln上=—lnx.

x2x

22.(本题满分11分)

设三阶矩阵A=(%,4,4)有三个不同的特征值，且=a\+2%

(1)证明:r(A)=2；

(2)若£=%十%，%，求方程组Ar=£的通解.

【详解】(1)证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A是非零矩阵，也就是"A)N1.

假若r(A)=l时，则厂=0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有r(A)N2,又因为

仪3-《+2a2=0，也就是%%，%线性相关，r(A)<3,也就只有2A)=2.

(2)因为“4)=2,所以Ar=0的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于%-%+2%=0,所

(1、

以基础解系为x=2；

又由尸=%+4,%，得非齐次方程组Ax=p的特解可取为1；

方程组=〃的通