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文档简介
第34讲空间向量在空间几何中的运用二1.(全国高二课时练习)如图,三棱柱中,平面平面,且,,求异面直线与所成角的余弦值.2.(浙江高二单元测试)在正三棱柱中,若,求与所成角的大小.3.(惠来县华侨中学高二月考)如图,在棱长为2的正方体中,为棱的中点,为棱的中点.(1)求直线与直线所成角的余弦值.(2)求证:平面;4.(全国高二单元测试)如图,正方体中,是的中点,求与平面所成角的正弦值.5.(浙江高三专题练习)如图,四棱锥中,是正三角形,四边形是菱形,点是的中点.(I)求证://平面;(II)若平面平面,,求直线与平面所成角的正弦值.6.(吉林白城一中)如图,四棱锥中,为正三角形,为正方形,平面平面,、分别为、中点.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.7.(莆田锦江中学高二期末)在直三棱柱中,,,,点是的中点;(I)求异面直线,所成角的余弦值;(II)求直线与平面所成角的正弦值.8.(黔西南州同源中学(理))如图所示,平面,四边形为矩形,,,.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.9.(浙江高三专题练习)如图,在四棱锥中,底面是矩形,是的中点,平面,且,.()求与平面所成角的正弦.()求二面角的余弦值.10.(江西九江一中高二月考(理))如图,四棱锥的底面是矩形,底面,,,为的中点.(1)求证:;(2)求平面与平面所成的角的余弦值.11.(西城·北京四中)如图,在四棱柱,底面,,,且,点在棱上,平面与棱相交于点.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)棱上是否存在点,使二面角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.(Ⅲ)求三棱锥的体积的最大值.12.(武汉市育才高级中学高二月考)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,侧棱底面,垂直于和,为棱上的点,,.(1)当时,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;(2)在第(1)问条件下,设点是线段上的动点,与平面所成的角为,求当取最大值时点的位置.13.(北京市陈经纶中学高二月考)在四棱锥中,底面ABCD为长方形,底面ABCD,,;的可能取值为:①;②;③;④;⑤.已知线段CD上存在点E,满足.(1)求t的所有可能取值,并说明理由;(2)当t为所有可能取值的最大值时,线段上满足的点有两个,分别记为,,求二面角的大小.14.(东城·北京二中高二月考)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,且,,侧面底面.若.(1)求证:平面;(2)求平面和平面夹角的余弦值;(3)点是侧棱上一点,且直线和平面所成角的大小为30°,求的值.15.(大埔县虎山中学)如图,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,,,.(1)求平面与平面夹角的余弦值;(2)点是线段上的动点,当直线与所成的角最小时,求线段的长.16.(天津市第七中学高三月考)如图,在四棱锥中,底面,,,,,点为棱的中点.(1)证明::(2)求直线与平面所成角的正弦值:(3)若为棱上一点,且满足,求二面角的余弦值.
第34讲空间向量在空间几何中的运用二1.(全国高二课时练习)如图,三棱柱中,平面平面,且,,求异面直线与所成角的余弦值.【答案】【详解】以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以.设所求的角为,则,即异面直线与所成角的余弦值为.2.(浙江高二单元测试)在正三棱柱中,若,求与所成角的大小.【答案】【详解】由题意可得,平面;设,则,又,,所以.故.即,即与所成角的大小为.3.(惠来县华侨中学高二月考)如图,在棱长为2的正方体中,为棱的中点,为棱的中点.(1)求直线与直线所成角的余弦值.(2)求证:平面;【答案】(1);(2)证明见解析.【详解】(1)以为原点,分别为轴,建立如图空间直角坐标系,则,,,,,,,因为E为棱BC的中点,F为棱CD的中点,所以,,所以,,∴,,即直线与所成角的余弦值为;(2)设平面的一个法向量为,又,,则,令,则,因为,所以,因为平面,所以平面;4.(全国高二单元测试)如图,正方体中,是的中点,求与平面所成角的正弦值.【答案】.【详解】如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则.设平面的法向量为,令,则,.故与平面所成角的正弦值为.5.(浙江高三专题练习)如图,四棱锥中,是正三角形,四边形是菱形,点是的中点.(I)求证://平面;(II)若平面平面,,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(I)证明见解析;(II).【详解】(I)证明:连接BD角AC于点F,再连接EF.因为四边形是菱形,所以点F是BD的中点,又因为点是的中点,所以EF是三角形DBS的中位线,所以DS平行EF,又因为EF平面ACE,SD平面ACE所以//平面(II)因为四边形是菱形,,所以又AB=AD,所以三角形ABD为正三角形.取AB的中点O,连接SO,则DOAB因为平面平面,平面平面=AB所以DO平面ABS,又因为三角形ABS为正三角形则以O为坐标原点建立坐标系设AB=2a,则设平面ADS的一个法向量为则取x=1,则所以设直线AC与平面ADS所成角为则6.(吉林白城一中)如图,四棱锥中,为正三角形,为正方形,平面平面,、分别为、中点.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2).详解:(1)连接,∵是正方形,是的中点,∴是的中点,∵是的中点,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)建立如图所示空间直角坐标系,设,则,,,,,,,设平面的法向量,则,取得,设与平面所成角为,则.7.(莆田锦江中学高二期末)在直三棱柱中,,,,点是的中点;(I)求异面直线,所成角的余弦值;(II)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(I)(II)解:(I)以,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz,则可得B(2,0,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),D(1,1,0),∴=(2,0,﹣4),=(0,2,4),∴cos<,>==∴异面直线A1B,AC1所成角的余弦值为:;(II)由(I)知,=(2,0,﹣4),=(1,1,0),设平面C1AD的法向量为=(x,y,z),则可得,即,取x=1可得=(1,﹣1,),设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ,则sinθ=|cos<,>|=∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为:8.(黔西南州同源中学(理))如图所示,平面,四边形为矩形,,,.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【详解】(1)∵四边形ABEF为矩形又平面ADE,AE平面ADE平面ADE又,同理可得:平面ADE又,BF,BC平面BCF∴平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE(2)如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,则,,,,设是平面CDF的一个法向量,则即令,解得又是平面AEFB的一个法向量,∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为.9.(浙江高三专题练习)如图,在四棱锥中,底面是矩形,是的中点,平面,且,.()求与平面所成角的正弦.()求二面角的余弦值.【答案】(1).(2).详解:()∵是矩形,∴,又∵平面,∴,,即,,两两垂直,∴以为原点,,,分别为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系,由,,得,,,,,,则,,,设平面的一个法向量为,则,即,令,得,,∴,∴,故与平面所成角的正弦值为.()由()可得,设平面的一个法向量为,则,即,令,得,,∴,∴,故二面角的余弦值为.10.(江西九江一中高二月考(理))如图,四棱锥的底面是矩形,底面,,,为的中点.(1)求证:;(2)求平面与平面所成的角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【详解】解:(1)依题意,棱DA,DC,DP两两互相垂直.以点D为原点,依次以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴,如图,建立空间直角坐标系.则,,,.可得,.所以,所以(2)由(1)得到,,因此可得,.设平面的一个法向量为,则由得令,解得.同理,可求平面PDC的一个法向量.所以,平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足:.即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.11.(西城·北京四中)如图,在四棱柱,底面,,,且,点在棱上,平面与棱相交于点.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)棱上是否存在点,使二面角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.(Ⅲ)求三棱锥的体积的最大值.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)存在,;(Ⅲ)当F与重合时,体积最大值为.【详解】(Ⅰ)因为平面与棱相交于点,所以平面,在四棱柱中,因为平面平面,平面平面,平面平面,所以,又因为平面,平面,所以平面;(Ⅱ)因为底面,,所以以为原点,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,所以,设面的法向量为,则,即,取,则,所以,取面的一个法向量,因为二面角的余弦值为,所以,解得或,因为,所以,即为棱的中点时,二面角的余弦值为,所以.(Ⅲ)过作于点,因为面面,面面,面面,,所以面,所以,因为与重合时,取得最大值,所以与重合时,三棱锥的体积最大,最大为.12.(武汉市育才高级中学高二月考)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,侧棱底面,垂直于和,为棱上的点,,.(1)当时,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;(2)在第(1)问条件下,设点是线段上的动点,与平面所成的角为,求当取最大值时点的位置.【答案】(1);(2)【详解】由题设,面,又面,则,,又,又,则面,由面,面面,则面面,∴可构建以为原点,为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系,如下图示:由,,,且,∴,(1),若是面的一个法向量,则,令,即,又是面的一个法向量,∴,故面与平面所成的锐二面角的余弦值为.(2)若,则,故,由(1)知:令,则,∴,若,∴,则时取最大,此时,,可得,即,∴,则.13.(北京市陈经纶中学高二月考)在四棱锥中,底面ABCD为长方形,底面ABCD,,;的可能取值为:①;②;③;④;⑤.已知线段CD上存在点E,满足.(1)求t的所有可能取值,并说明理由;(2)当t为所有可能取值的最大值时,线段上满足的点有两个,分别记为,,求二面角的大小.【答案】(1)t可以取①②③;理由见解析;(2)30°.【详解】(1)如图所示,以BC,BA,BP的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系.则各点坐标分别为,,,.设,所,,.∴,∴,∴在所给的数据中,t可以取①②③.(2)由(1)知,此时或.根据题意得,其坐标为和,∵底面ABCD,∴,,∴是二面角的平面角,由,由题意得,二面角为锐角,所以二面角的大小为30°.14.(东城·北京二中高二月考)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,且,,侧面底面.若.(1)求证:平面;(2)求平面和平面夹角的余弦值;(3)点是侧棱上一点,且直线和平面所成角的大小为30°,求的值.【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【分析】【详解】(1)因,即,而平面平面,平面平面,平面,则平面,而平面,即有,在直角梯形中,且,又,令,则,,中,由余弦定理得,于是有,即,而,平面PAC,所以平面;(2)由(1)知,AB,AD,AP两两垂直,以点A为原点,向量的方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,如图,令,则,,设平面的法向量,则,令,得,而平面的法向量,于是得,显然平面和平面夹角为锐角,所以平面和平面夹角的余弦值是;(3)由(2)知,,因点是侧棱上一点,则,,因直线和平面所成角的大小为30°,则,解得,所以的值为.15.(大埔县虎山中学)如图,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,,,.(1)求平面与平面夹角的余弦值;(2)点是线段上的动点,当直线与所成的角最小时,求线段的长.【答案】(1);(2).【详解】解:(1)以为坐标原点,以,,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,1,,,2,0),,0,2),因为平面,所以是平面的一个法向量,,.,设平面的法向量为,,,则,取,得.故.又由图示得平面PAB与平面PCD的夹角是锐角,所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值是;,,,设,则,当且仅当,即时,取等号,所以的最大值是,又因为在上单调递减,与所成的角最小,,所以线段BQ的长为.16.(天津市第七中学高三月考)如图,在四棱锥中,底面,,,,,点为棱的中点.(1)证明::(2)求直线与平面所成角的正弦值
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