数学一轮复习基础讲义下册（适合艺术生、基础生一轮复习）第26讲平面向量基本定理及坐标表示坐标运算含答案及解析

第26讲平面向量基本定理及坐标表示坐标运算1.平面向量的基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量，叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算(2)向量的坐标求法已知，，则

3.平面向量共线的坐标表示设，，其中，则【题型一：用基底表示向量】1．（全国高三专题练习）如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（）．A． B． C．1 D．2．（三亚华侨学校高三月考）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（）A． B． C． D．3．（汕头市潮南区陈店实验学校）已知△ABC的边BC上有一点D满足，则可表示为（）A． B．C． D．4．（巍山彝族回族自治县第二中学高一月考）已知为所在平面内一点，，则（）A． B． C． D．5．（福建厦门一中高二开学考试）如图，在平行四边形中，，，，则（）（用，表示）A． B． C． D．6．（广东普宁·高一期中）如图，在平行四边形中，E是的中点，若，，则等于（）A． B．C． D．7．（陕西富平·高一期末）如图，在平行四边形中，E是的中点．若，，则（）A． B． C． D．8．（福建省福州第八中学高一期中）在中，点为对角线上靠近点的三等分点，连结并延长交于，则（）A． B．C． D．9．（江西省万载中学高一期末（理））如图，已知，用，表示，则等于（）A． B．C． D．10．（正阳县高级中学高三模拟预测（理））在中，点是线段上靠近的五等分点，，则（）A． B． C． D．【题型二：用坐标表示向量】1．（浑源县第七中学校高一月考（文））已知A(3，1)，B(2，－1)，则的坐标是（）A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2)2．（重庆实验外国语学校高一期中）设、是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，，则的坐标是（）A． B． C． D．3．（江苏海陵·泰州中学高一期中）已知两点，，则与向量同向的单位向量是（）A． B． C． D．4．（北京景山学校远洋分校高一期中）已知平面直角坐标系内一点，向量，向量，那么中点坐标为（）A． B． C． D．5．（博野县实验中学）设，是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，，则的坐标是（）A． B． C． D．6．（浙江）已知，，则与向量共线的单位向量为（）A．或 B．或C．或 D．或7．（云南昆明八中高一期中）已知四边形是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值为（）.A． B． C． D．【题型三：平面向量线性运算的坐标表示】1．（全国高一单元测试）如果点按向量平移后得到点，则点按向量平移后得到点N的坐标为（）A． B． C． D．2．（全国高一单元测试）设，向量，.若，则m，n的值分别是（）A．1，-1 B．1，-3 C．1，-2 D．1，23．（全国高一单元测试）在中，，的中点为，的重心，则B，C的坐标分别为（）A．， B．， C．， D．，4．（湖南高二学业考试）已知向量，，若，则（）A．-2 B． C． D．25．（全国高三专题练习）已知向量，则（）A． B．2C． D．506．（山东枣庄·高一期中）已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（）.A． B． C．1 D．27．（四川巴中·高一期末（理））若三点、、共线，则实数（）A． B． C． D．8．（沧源佤族自治县民族中学高二期末）向量，，，若与共线，则（）A．-3 B．-2 C．-1 D．19．（贵州贵阳一中高三月考（文））已知向量，若与共线，则实数（）A．0 B．1 C． D．210．（全国高三专题练习（文））已知向量，向量，若，则（）A． B．5 C． D．

第26讲平面向量基本定理及坐标表示坐标运算1.平面向量的基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量，叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算(2)向量的坐标求法已知，，则

3.平面向量共线的坐标表示设，，其中，则题型一：用基底表示向量1．（全国高三专题练习）如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（）．A． B． C．1 D．【答案】A【详解】由平面向量基本定理，化简，所以，即，故选：A．2．（三亚华侨学校高三月考）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【详解】连结，则为的中位线，，故选：A3．（汕头市潮南区陈店实验学校）已知△ABC的边BC上有一点D满足，则可表示为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，可得，整理可得，所以，故选：A4．（巍山彝族回族自治县第二中学高一月考）已知为所在平面内一点，，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为为所在平面内一点，，所以.故选：A．5．（福建厦门一中高二开学考试）如图，在平行四边形中，，，，则（）（用，表示）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，在平行四边形中，，，，根据平面向量的线性运算法则，可得.故选：D.6．（广东普宁·高一期中）如图，在平行四边形中，E是的中点，若，，则等于（）A． B．C． D．【答案】D【详解】∵，∴.故选：D.7．（陕西富平·高一期末）如图，在平行四边形中，E是的中点．若，，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】.故选：A8．（福建省福州第八中学高一期中）在中，点为对角线上靠近点的三等分点，连结并延长交于，则（）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：因为点为对角线上靠近点的三等分点，所以，因为四边形是平行四边形，所以∥，所以，所以，所以，,故选：B9．（江西省万载中学高一期末（理））如图，已知，用，表示，则等于（）A． B．C． D．【答案】A【详解】，故选：A.10．（正阳县高级中学高三模拟预测（理））在中，点是线段上靠近的五等分点，，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】，故选：A．题型二：用坐标表示向量1．（浑源县第七中学校高一月考（文））已知A(3，1)，B(2，－1)，则的坐标是（）A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2)【答案】C【详解】因为A(3，1)，B(2，－1)，所以＝(3，1)－(2，－1)＝(3－2，1＋1)＝(1，2)．故选：C2．（重庆实验外国语学校高一期中）设、是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，，则的坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由已知条件可得，，因此，.故选：B.3．（江苏海陵·泰州中学高一期中）已知两点，，则与向量同向的单位向量是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，所以与同向的单位向量为.故选：A4．（北京景山学校远洋分校高一期中）已知平面直角坐标系内一点，向量，向量，那么中点坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意点坐标为，点坐标为，所以中点坐标为．故选：A．5．（博野县实验中学）设，是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，，则的坐标是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，所以．故选：D.6．（浙江）已知，，则与向量共线的单位向量为（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【详解】因为，，所以向量，所以与向量共线的单位向量为或.故选：B7．（云南昆明八中高一期中）已知四边形是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值为（）.A． B． C． D．【答案】C【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，，.设，则，，，，所以.所以当，时，取得最小值.故选：C题型三：平面向量线性运算的坐标表示1．（全国高一单元测试）如果点按向量平移后得到点，则点按向量平移后得到点N的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以点N的坐标为．故选：C．2．（全国高一单元测试）设，向量，.若，则m，n的值分别是（）A．1，-1 B．1，-3 C．1，-2 D．1，2【答案】A【详解】因为，所以，解得．故选：A．3．（全国高一单元测试）在中，，的中点为，的重心，则B，C的坐标分别为（）A．， B．， C．， D．，【答案】B【详解】设，所以，解得，，解得，所以B，C的坐标分别为，．故选：B．4．（湖南高二学业考试）已知向量，，若，则（）A．-2 B． C． D．2【答案】C【详解】因为向量，，，所以，所以所以．故选：C5．（全国高三专题练习）已知向量，则（）A． B．2C． D．50【答案】A【详解】由已知，，所以，故选：A.6．（山东枣庄·高一期中）已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（）.A． B． C．1 D．2【答案】B【详解】因为向量，，所以，因为()∥，，所以，解得，故选：B7．（四川巴中·高一期末（理））若三点、、共线，则实数（）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，由题意可得，则，解得.故选：A.8．（沧源佤族自治县民族中学高二期末）向量，，，若与共线