广西“邕衡教育·名校联盟”2025届高三上学期12月联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广西“邕衡教育·名校联盟”2025届高三上学期12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U=0,1,2,3,4,5，A=x∈N3x∈NA.0,1,3,5 B.1,3,5 C.0,2,4,5 D.2,4,52.若f(x)=ℎ(x),x>0x3+1,x<0是奇函数，则A.−7 B.7 C.−9 D.93.已知双曲线C：x2m+1+y2m−1=1的离心率A.m=0 B.m=−2 C.m=12 4.将函数y=cosx的图象向右平移φ(0<φ<2π)个单位，得到函数y=g(x)的图象，“则y=g(x)是奇函数”是“φ=π2”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知a为单位向量，向量b在向量a上的投影向量是12a，且(a+λb)⊥A.2 B.0 C.−2 D.−16.设函数f(x)=x3+lnx，满足f(a)ff(c)>0(0<a<b<c).若函数f(x)存在零点x0，则A.x0<a B.x0>a C.7.计算sin215°+cosA.34 B.45 C.568.∃t∈R，∀x∈[a，+∞)，使得xex−tx2A.0 B.1 C.2 D.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(x,2)在C上，|AF|=52，则pA.1 B.2 C.4 D.810.如图正方体ABCD−A1B1C1D1，M，A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCD

B.直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCD

C.直线BC1与D11.已知函数f(x)=−x3−xA.若f(x)max=f(1)，则a=5

B.若a=−3，则f(x)在(1,3)上单调递增

C.若a=1，则f(x)在0,13上单调递减

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.二项式1x−x10的展开式中x2的系数为__________13.已知复数z满足①z2+i∈R；②z⋅z>25.写出一个同时满足①②14.已知数列{cn}满足cn+1−cn=1或3，其中c1=2，设{cn}的前n项和为Tn，则c3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数f(x)=ln(1)当a=2时，求f(x)在区间1e(2)若∀x∈(0,+∞)，有f(x)<0，求a的取值范围．16.(本小题15分)2024年10月，“2024环广西世巡赛”成功举行，志愿者的服务工作是世巡赛成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了200名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)求a、b的值；(2)若面试成绩前68名为优秀，请估计优秀成绩的最低分；(3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差．(注：若将总体划分为若干层，随机抽取两层，通过分层随机抽样，每层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x，s12；n，y，s22.记这两层总的样本平均数为ω17.(本小题15分)已知三棱锥A−BCD的四个顶点均在球O的球面上，BC=BD=CD=2，E、F分别为BC、AD中点．(1)现有如下两个条件：条件①AB=AC；条件②∠BDF=∠CDF请从上述二个条件中选择一个条件，能使BC⊥EF成立，并写出证明过程．(2)若∠BAC=90°，求三棱锥A—BCD体积最大时，二角面B−AD−E的正弦值．18.(本小题17分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1)若△ABC为锐角三角形，对任意内角A，B，若f(x)=sinx，f′(x)(2)若△ABC为锐角三角形，且角A，B，C满足tanAtanBtanC≤[tanA]+[tanB]+[(3)在△ABC中，当c=2，1tanA+119.(本小题17分)已知椭圆ω：x2a2+y(1)求椭圆ω的方程；(2)点P1为椭圆ω外的一点，过P1作两条直线与椭圆ω相切，且这两条直线互相垂直，求点P1(3)过平面上一点P2作(2)中的轨迹ω1的两条切线且这两条切线互相垂直，设点P2的轨迹方程为ω2.依此类推，过平面上一点Pn作轨迹ωn−1的两条切线且这两条切线互相垂直，设点Pn的轨迹方程为ωn.在每条轨迹方程ωn上任取三个点An、Bn、C参考答案1.C

2.B

3.A

4.B

5.C

6.C

7.A

8.B

9.AC

10.ACD

11.AD

12.45

13.答案不唯一，满足b>5或b<−514.4，6，8；29

15.解：(1)当a=2时，f(x)=lnx−2x+1，(x>0)

因此f′(x)=1x−2=1−2xx，

因此当0<x<12时，f′(x)>0，函数单调递增，

当x>12时，f′(x)<0，函数单调递减，

因此，在区间1e,1，f(x)在[1e,12]上递增，在(12,1]上递减，

由于f1e=−2e，f(1)=−1，f12=ln12=−ln2，

因此f(x)的值域是[−1,−ln2]．

(2)由题意知lnx−ax+1<0，即a>lnx+116.解：(1)由题意可知，10a+10b=0.3,10×(0.045+0.020+a)=0.7,

解得a=0.005b=0.025;

(2)由(1)可知每组的频率依次为0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，

因为68200=0.34，故优秀成绩的最低分x∈[65,75)，

所以0.2+0.05+(75−x)×0.045=0.34，

可得x=73，所以优秀成绩的最低分为73分;

(3)设第二组、第四组的平均数分别为x1，x2，方差分别为s12，s22，

且各组频率之比为：(0.005×10):(0.025×10):(0.045×10):(0.02×10):(0.005×10)=1:5:9:4:1，

所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者51+5+9+4+1×20=5人，第四组面试者17.解：(1)选择条件 ①AB=AC，

连接AE，DE，

∵AB=AC，E是BC中点，∴AE⊥BC，

又∵BD=CD，∴DE⊥BC，

∵AE∩DE=E，AE、DE⊂面ADE，

∴BC⊥面ADE，

又∵EF⊂面ADE，

∴EF⊥BC．

选择条件 ②∠BDF=∠CDF，

连接BF，CF，

∵∠BDF=∠CDF，BD=CD，DF=DF，

∴ΔBDF≌ΔCDF，

∴BF=CF，

∵E是BC中点，

∴EF⊥BC．

(2)在三角形ABC中，∠BAC=90∘，E是BC中点，所以AE=1．

所以，当AE⊥面BCD时，点A到面BCD距离的最大，

连接ED、EA，

∵AE⊥面BCD，AE⊂面ABC，

∴面ABC⊥面BCD，

∵DE⊥BC，面ABC∩面BCD=BC，DE⊂面BCD，

∴DE⊥面ABC，

建立以E为坐标原点，EC、ED、EA分别x、y、z轴的空间直角坐标系E−xyz，

在等腰直角三角形ABC中，AE=1，

故相关点坐标如下：E(0,0,0)，A(0,0,1)，B(−1,0,0)，C(1,0,0)，D(0,3,0)，

AB=−1,0,−1,BD=1,3,0,

设面ABD的法向量n1=(x,y,z)，

则n1⋅AB=0n1⋅BD=0，即−x−z=0x+3y=0，

令z=1，则x=−1，18.解：(1)由题意可知，A，B∈(0,π2)，A+B>π2，π2>A>π2−B>0，所以sinA>cosB，f,x=cosx，所以f(A)>f′(B)

(2)由tanC=tan(π−(A+B))=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB，得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

记x=tanC，y=tanB，z=tanA，由条件得x+y+z≤[x]+[y]+[z]，

因为[t]≤t，所以[x]+[y]+[z]≤x+y+z≤[x]+[y]+[z]所以x+y+z=[x]+[y]+[z]，所以x，y，z必为整数

由A≤B≤C，得0<A≤π3，所以tanA≤3，又tanA∈Z，所以tanA=1，A=π4，19.解：(1)由于椭圆C:x2a2+y2b2=1的短轴长为23，所以有b=3

又由于椭圆过点A(2,62)，所以有2a2+32b2=1，所以有a=2，

所以有椭圆C的方程为x24+y23=1;

(2)当过P1作两条直线与椭圆C相切的直线中有一条直线的斜率不存在时，点P1的坐标为(±2,±3)

当过P1作两条直线与椭圆C相切的直线中两条直线的斜率均存在时，可设这两条直线的斜率为k1，k2．

设