2024-2025学年广东省深圳市盐田高级中学高二（上）第二次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省深圳市盐田高级中学高二（上）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系中，点(−2,1,4)关于y轴对称的点坐标是(

)A.(2,1,−4) B.(−2,1,−4) C.(−2,−1,−4) D.(2,−1,4)2.已知正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，且AB=a，AD=b，AA′=A.1 B.2 C.3 D.−13.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，O为A1C1与A.BO=a−b+12c 4.若平面α，β的法向量分别为a=(2,−1,0)，b=(−1,−2,0)，则α与β的位置关系是(

)A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定5.已知n1=(−1,9,1)，n2=(m,−3,2)，n3=(0,2,1)，若A.3 B.1 C.5 D.76.已知a=(1−t,1,0)，b=(2,t,t)，则|b−A.1 B.2 C.3 7.四棱锥P−ABCD，底面是平行四边形，AB=(2,−1,3)，AD=(−2,1,0)，AP=(3,−1,4)，则这个四棱锥的底面积为A.352 B.35 8.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“cosA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),cA.向量a与向量b的夹角为π6

B.c⊥(a−b)

C.向量a在向量b上的投影向量为(0,110.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2A.k1<k3<k2

B.11.以下命题正确的是(

)A.若p是平面α的一个法向量，直线b上有不同的两点A，B，则b//α的充要条件是p⋅AB=0

B.已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若OP=25OA+15OB+25OC，则P，A，B，C四点共面

C.已知a=(−1,1,2)，b=(0,2,3)，若ka+b三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间中的单位向量a,b,c，其两两夹角均为60°，则|13.如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，当二面角B−AC−D的大小是60°时，则B、D的两点间距离为______．14.下列说法正确的是______．

①直线y=ax−2a+4(a∈R)恒过定点(2,−4)；

②若直线l：3x+my+5=0的倾斜角为π3，则实数m的值为−1；

③已知直线l过点P(2,4)，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y−6=0或y=2x；

④设过原点的直线l的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1的倾斜角是α+45°或四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．

(1)求证：DA1⊥ED16.(本小题15分)

在平面直角坐标系中有A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)．

(1)求直线AC的一般方程；

(2)在三角形ABC中，求AB边的高线方程；

(3)若直线x=m将△ABC面积两等分，求m的值．17.(本小题15分)

已知三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为2，∠A1AC=60°，且平面A1ACC1⊥平面ABC，点P，Q又分别是AB，A1C18.(本小题17分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=1，E，F，G分别是棱AB，BC，BB1上的动点，且AE=BF=B1G.

(1)19.(本小题17分)

如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，底面ABCD为正方形，∠D1DA=∠D1DC=π3，点E为BB1的中点，点F为CC1的中点，动点P在平面ABCD内．

参考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.B

6.B

7.B

8.B

9.BCD

10.ABC

11.BCD

12.513.214.②③④

15.解：(1)证明：如图所示，连接AD1，

因为AB⊥平面ADD1A1，DA1⊂平面ADD1A1，所以AB⊥DA1，即AE⊥DA1，

又因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥DA1，

因为AE∩AD1=A，AD1，AE⊂平面AED1，

所以DA1⊥平面AED1，

因为ED1⊂平面AED1，所以DA1⊥ED1．

(2)以D为原点，建立如图空间直角坐标系如图所示：

因为AEAB=12，则E(1,12,0)，16.解：(1)因为A(0,3)，C(2,0)．

可知直线AC在x轴和y轴的截距分别为2和3，

所以直线的截距式方程x2+y3=1，

化简得3x+2y−6=0；

(2)因为A(0,3)，B(3,3)，由它们的纵坐标相同，可得直线AB的斜率k=0，

根据垂直关系可得，边AB上的高线，斜率不存在，

由于高线过点C(2,0)，

所以边AB上的高线方程为x=2；

(3)设直线x=m与边AB，AC分别交于点D，E，

点C(2,0)在x轴上，AB/​/x轴，所以C到AB的距离为ℎ=3，

所以S△ABC=12×|AB|×ℎ=12×3×3=92，

因为直线x=m将△ABC面积两等分，

所以S△AED=12S△ABC=94，

又直线17.解：(1)证明：设A1B1的中点为M，连接MQ，MP，

又P，Q又分别是AB，A1C1的中点，

∴易得MQ//B1C1，MP//B1B，且MP∩MQ=M，

∴平面MQP//平面BCC1B1，又PQ⊆面MQP，

∴PQ/​/平面BCC1B1；

(2)取AC中点O，连接A1O，BO，

△ABC为等腰三角形，∴BO⊥AC，

∵面ACC1A1⊥面ABC，面ACC1A1∩面ABC=AC，

∴BO⊥面ACC1A1，∴BO⊥A1O，

在△A1OA，∠A1AO=60°，A1A=2，OA=1，易得AC⊥A1O18.解：(1)证明：因为B1B⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，

所以B1B⊥AB，B1B⊥BC，又∠ABC=90°，

故B 1B，AB，BC两两垂直，

以B为坐标原点，BA，BB1，BC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

因为AB=BC=BB1=1，AE=BF=B1G，

设AE=BF=B1G=m，0≤m≤1，

所以A1(1,1,0)，F(0,0,m)，C1(0,1,1)，G(0,1−m,0)，

则A1F=(0,0,m)−(1,1,0)=(−1,−1,m)，

C1G=(0,1−m,0)−(0,1,1)=(0,−m,−1)，

则A1F⋅C1G=(−1,−1,m)⋅(0,−m,−1)=m−m=0，

故A 1F⊥C1G；

(2)因为E(1−m,0,0)，则EG=(0,1−m,0)−(1−m,0,0)=(m−1,1−m,0)，

则A1F⋅EG=(−1,−1,m)⋅(m−1,1−m,0)=1−m+m−1=0，

则A1F⊥EG，又C1G∩EG=G，C19.解：(1)证明：连接OD，OD1，D1C，

因为D1D=DA=2,∠D1DA=π3，

D1A=2，同理D1C=2，

因为O是正方形对角线AC中点，

所以OD1⊥AC，且AC=22，

所以OD=OA=2，

所以D1C2+D1A2=AC2，故△ACD1为等腰直角三角形，

所以OD1=2，

所以OD2+OD12=D