苏州苏州外国语学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

苏州苏州外国语学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．如图1，一次函数(k,b为常数，k≠0)的图象与反比例函数（m为常数，m≠0）的图象相交于点M(1，4)和点N（4，n）．(1)填空：①反比例函数的解析式是；②根据图象写出时自变量x的取值范围是；(2)若将直线MN向下平移a(a>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求a的值；(3)如图2，函数的图象（x＞0）上有一个动点C，若先将直线MN平移使它过点C，再绕点C旋转得到直线PQ，PQ交轴于点A，交轴点B，若BC=2CA，求OA·OB的值.2．四边形ABCF中，AF∥BC，∠AFC=90°，△ABC的外接圆⊙O交CF于E，与AF相切于点A，过C作CD⊥AB于D，交BE于G．（1）求证：AB=AC；（2）①证明：GE=EC；②若BC=8，OG=1，求EF的长．3．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_________，位置关系是_________；（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．4．如图1，抛物线的顶点在轴上，交轴于，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，顶点为．（1）求点的坐标和平移后抛物线的解析式；（2）点在原抛物线上，平移后的对应点为，若，求点的坐标；（3）如图2，直线与平移后的抛物线交于．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（问题发现）（1）如图①，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是．（问题研究）（2）如图②，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，试求PM+PN的最小值．（问题解决）（3）如图③，该图是某机器零件钢构件的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB长为2米，边框BC长为3米，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，联动杆DE长为2米，联动杆DE的两端D、E允许在AD、CE所在直线上滑动，点G恰好是DE的中点，点F可在边框BC上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值并说明理由．6．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．7．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）求∠B的度数．（3）若⊙O半径是4，点E是弧AC上的一个动点，过点E作EM⊥OA于点M，作EN⊥OC于点N，连接MN，问：在点E从点A运动到点C的过程中，MN的大小是否发生变化？如果不变化，请求出MN的值；如果变化，请说明理由．8．如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ⊥BC，交折线段BA-AD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求的值和点坐标；（3）点是直线上方抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作轴的平行线，交于点，当是线段的三等分点时，求点坐标；（4）如图2，是轴上一点，其坐标为，动点从出发，沿轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设的运动时间为（），连接，过作于点，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，点在运动过程中，线段的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段与抛物线有公共点时的取值范围．10．对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（-1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标________；（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足，求点B的纵坐标t的取值范围；（3）直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是_____________________________．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边BC，AB上，AF＝BE＝2，连结DE，DF，动点M在EF上从点E向终点F匀速运动，同时，动点N在射线CD上从点C沿CD方向匀速运动，当点M运动到EF的中点时，点N恰好与点D重合，点M到达终点时，M，N同时停止运动．（1）求EF的长．（2）设CN＝x，EM＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．（3）连结MN，当MN与△DEF的一边平行时，求CN的长．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB经过点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，且OA＝2OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）点C在直线AB上，且BC＝AB，点E是y轴上的动点，直线EC交x轴于点D，设点E的坐标为（0，m）（m＞2），求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若CE：CD＝1：2，点F是直线AB上的动点，在直线AC上方的平面内是否存在一点G，使以C，G，F，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．13．在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点的坐标为，直线轴（如图所示）．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点，联结．（1）求的值和点的坐标；（2）设点在轴的正半轴上，若是等腰三角形，求点的坐标；14．如图1，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C．（1）求抛物线M2的解析式；（2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值；（3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则的值是否为定值，证明你的结论．15．如图，已知矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E是边CD上一个动点，连接AE，将△AED沿直线AE翻折得△AEF.(1)当点C落在射线AF上时，求DE的长;(2)以F为圆心，FB长为半径作圆F，当AD与圆F相切时，求cos∠FAB的值;(3)若P为AB边上一点，当边CD上有且仅有一点Q满∠BQP=45°，直接写出线段BP长的取值范围.16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若P为线段BC上一点，过点P作轴的平行线，交抛物线于点D，当△BCD面积最大时，求点P的坐标；（3）若M（m，0）是轴上一个动点，请求出CM+MB的最小值以及此时点M的坐标.17．如图1，已知中，，，，它在平面直角坐标系中位置如图所示，点在轴的负半轴上（点在点的右侧），顶点在第二象限，将沿所在的直线翻折，点落在点位置（1）若点坐标为时，求点的坐标；（2）若点和点在同一个反比例函数的图象上，求点坐标；（3）如图2，将四边形向左平移，平移后的四边形记作四边形，过点的反比例函数的图象与的延长线交于点，则在平移过程中，是否存在这样的，使得以点为顶点的三角形是直角三角形且点在同一条直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由18．如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=2，E为AB的中点，设点P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点A重合）．（1）证明：PD=PE．（2）连接PC，求PC的最小值．（3）设点O是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P，使∠DPO=90°？若存在，请直接写出AP的长．19．新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB的周长与面积相等，则点P是“和谐点”．（1）点M（1，2）_____“和谐点”（填“是”或“不是”）；若点P（a，3）是第一象限内的一个“和谐点”，是关于x，y的二元一次方程的解，求a，b的值．（2）如图②，点E是线段PB上一点，连接OE并延长交AP的延长线于点Q，若点P（2，3），，求点Q的坐标；（3）如图③，连接OP，将线段OP向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段．若M是直线上的一动点，连接PM、OM，请画出图形并写出与，的数量关系．20．如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1)①y＝.②；(2)a＝1或a＝9.；(3)18或2..【解析】整体分析：(1)由点A的坐标求反比例函数的解析式，得到点B的坐标；，即是一次函数的图象在反比例函数图象的下方时自变量的范围；(2)由点M，N的坐标求直线MN的解析式，直线MN向下平移a(a>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，即是方程kx+b-a=的判别式等于0；(3)设点C(a,b)，根据BC=2CA，分三种情况讨论，利用△ACH∽△ABO，结合ab=4求解.解：(1)k=1×4=4，所以y=.②当y=4时，x=，则B(4，1).根据图象得：.(2)点M(1，4)和点N(4，1)分别代入得直线AB向下平移a个单位长度后的解析式为y＝－x＋5－a，把y＝代入消去y，整理，得x2－(5－a)x＋4＝0.∵平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个公共点，∴Δ＝(5－a)2－16＝0.解得a＝1或a＝9.(3)设点C(a,b)，则ab=4如图1，过C点作CH⊥OA于点H.①当点B在y轴的负半轴时，如图1∵BC=2CA，∴AB=CA.∵∠AOB=∠AHC=90°，∠1=∠2，∴△ACH∽△ABO.∴OB=CH=b,OA=AH=0.5a∴.②当点B在y轴的正半轴时，如图2，当点A在x轴的正半轴时，∵BC=2CA，∴.∵CH∥OB，∴△ACH∽△ABO.∴∴.OB=3b,OA=1.5a∴.如图3，当点A在x轴的负半轴时，BC=2CA不可能.综上所述，OA·OB的值为18或2.2．（1）见详解；（2）①见详解；②EF=2．【解析】【分析】（1）连接OC，则OA=OB=OC，先证明OA∥FC，则有∠ACE=∠CAO，由∠ABE=∠ACE，然后得到∠AOB=∠AOC，即可得到结论成立；（2）①先证明BE是直径，则先证明∠ACD=∠EBC，由∠ABC=∠ACB，则∠BCD=∠ABG=∠ACE，则得到∠EGC=∠ECG，即可得到GE=EC；②由①可知，GE=EC=r+1，在直角三角形BCE中，由勾股定理得，得到半径，然后得到EC的长度；作OM⊥CE于点M，则EM=3，即可求出EF的长度．【详解】解：（1）连接OC，则OA=OB=OC，∴∠ABO=∠BAO，∠ACO=∠CAO，∵AF是切线，∴∠FAO=90°=∠AFC，∴OA∥FC，∴∠CAO=∠ACE=∠ABO，∴∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠CAO，∴∠AOB=∠AOC，∴AB=AC；（2）①∵AF∥BC，∠AFC=90°，∴∠BCE=90°，∴BE是直径，∵CD⊥AB，∴∠DAC+∠ACD=∠BEC+∠EBC，∵∠DAC=∠BEC，∴∠ACD=∠EBC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABO+∠EBC=∠ACD+∠BCD，∴∠ABO=∠BCD=∠ACE，∴∠EBC+∠BCD=∠ACD+∠ACE，∴∠EGC=∠ECG，∴EG=EC；②作OM⊥CE于点M，如图：则四边形AOMF是矩形，∴AO=FM，∵OG=1，设GE=EC=r+1，在Rt△BCE中，由勾股定理得，∴，解得：（负值已舍去），∴AO=FM=5，EC=6，∵OM⊥EC，OM是半径，EC是弦，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的综合问题，切线的性质定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，以及矩形的性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，注意正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行分析．3．（1），；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN与PM等于DE或CE的一半，又△ABC为等腰直角三角形，AD=AE，所以得PN=PM，且互相垂直；（2）由旋转可推出，再利用PM与PN皆为中位线，得到PM=PN，再利用角度间关系推导出垂直即可；（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM，且PM⊥PN，利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1），；已知点，，分别为，，的中点，根据三角形的中位线定理可得，，，根据平行线性质可得，在中，，，可得，即得，故答案为：；．（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得，又，∴∴，，∵点，分别为，的中点∴是的中位线∴，且，同理可证，且∴，，，∴，，∴，即为等腰直角三角形．（3）把绕点旋转的如图的位置，此时，且、的值最长，由（2）可知，所以面积最大值为．【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．4．（1）B点坐标(0，-1)，平移后的抛物线为；（2）点M的坐标为或；（3）存在，，，，，详解见解析．【解析】【分析】（1）将x=0代入抛物线公式求出y值，即可得到抛物线与y轴交点B的坐标，平移后的抛物线的顶点为E(1,4)，可根据顶点式求出平移后抛物线的解析式；（2）因为抛物线向上平移4个单位，所以MN=4，又因为OM=ON，可知点M的纵坐标为-2，将y=-2代入原抛物线，即可求出x值，点M的坐标就可以表示出来．（3）要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，可以画一个以C、F为直径的圆（直径对应圆周角为直角），交抛物线对称轴x=-1可得点、的坐标解，另外可以使∠PCF=90°或∠CFP=90°，可分别得出点、的坐标解．【详解】解：（1）抛物线与y轴相交于点B，将x=0代入，求得y=-1，∴B点坐标(0，-1)．∵设平移后的抛物线为，顶点为E(1,4)，即h=1，k=4，∴，即平移后的抛物线为．（2）如上图所示，∵原坐标顶点A(1，0)，平移后抛物线顶点为E(1,4)，∴抛物线向上平移了4个单位，即MNy轴，MNx轴，又∵OM=ON，MN=4，∴点O在垂直平分线上，点M、N关于x轴对称，∴M点的纵坐标为–2，将代入，得：解得：，∴点M的坐标为或．（3）存在，且，，，．如图所示，点P一共有四种结果，∵C点为平移后的解析式与x轴的左交点，将y=0代入，得，∴C(-1，0)，且点B(0，-1)，将点B(0，-1)、C(-1，0)代入直线BC解析式为：，∴，解得：，即直线BC解析式：，根据题意可知，直线BC与平移后的解析式相交于点F，∴，解得：x=-1（舍）或4，y=-5，即F(4，-5)，∵要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，可以画一个以C、F为直径的圆，该圆与抛物线对称轴x=-1交点即为点P（因为圆的直径对应的圆周角为90°，即∠CPF=90°）∴以C、F为直径的圆，圆心为线段CF的中点(，)，直径为线段CF的长，∴圆的方程为：，将x=1代入圆的方程，得：y=1或-6，即，，∵直线CF解析式：，即斜率k=-1，即直线CF与x轴夹角为45°，要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，则使∠PCF=90°，直线CP与x轴夹角也为45°，即直线CP斜率为1，直线CP的解析式为：，此时该直线与抛物线对称轴x=1的交点为，又∵直线CF解析式：，即斜率k=-1，即直线CF与x轴夹角为45°，要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，则使∠CFP=90°，直线FP与x轴夹角也为45°，即直线FP斜率为1，直线FP的解析式为：，此时该直线与抛物线对称轴x=1的交点为．【点睛】本题考查了一元二次函数与坐标轴、直线的交点，一元二次函数的平移及应用，圆的直径所对应的圆周角为直角等知识点，该题有一定的难度，所以一定要结合图形进行分析，这样才不会把解遗漏．5．（1）；（2）；（3）4，理由见解析【解析】【分析】（1）作点C关于AB的对称点C'，连接DE，与AB交于点E，连接CE．此时EC+ED＝EC'+ED＝C'D最短，易证DBC'＝90°，C'B＝CB＝2，DB＝1，所以在Rt△DBC'中，C'D2＝12+22＝5，故CD＝，即EC+ED的最小值是；（2）作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B'于M'、N，交x轴于P，连接PA，交⊙A于M，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值；（3）如图③，延长AD、CE，交于点H，连接GH．易知GE＝DE＝1，所以点G在以H为圆心，1为半径的圆周上运动，作点A关于BC的对称点A'，连接A'H，与BC交于点F，与⊙H交于点G，此时AF+FG＝A'F+FG＝A'G为最短，AB＝2，AH＝BC＝3，A'B＝2，A'A＝4，所以A'H＝=5，因此A'G＝A'H﹣GH＝5﹣1＝4，即该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值为4．【详解】解：（1）如图①，作点C关于AB的对称点C'，连接DE，与AB交于点E，连接CE．∴CE＝C'E，此时EC+ED＝EC'+ED＝C'D最短，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°∴∠CBA＝∠CAB＝45°，C'B＝CB＝2∴∠C'BA＝45°，∴∠DBC'＝90°∵D是BC边的中点，∴DB＝1，在Rt△DBC'中，C'D2＝12+22＝5，∴CD＝，∴EC+ED的最小值是，故答案为；（2）如图②，作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B'于M'、N，交x轴于P，连接PA，交⊙A于M．则此时PM+PN＝PM'+PN＝M'N最小，∵点A坐标（﹣2，3），∴点A′坐标（﹣2，﹣3），∵点B（3，4），∴A'B＝＝，∴M'N＝A′B﹣BN﹣A′M'＝﹣1﹣3＝﹣4∴PM+PN的最小值为＝﹣4；（3）如图③，延长AD、CE，交于点H，连接GH．∵∠DAB＝∠B＝∠C＝90°∴∠DHE＝90°，∵G是DE的中点，DE＝2，∴GE＝DE＝1，∵联动杆DE的两端D、E允许在AD、CE所在直线上滑动，∴点G在以H为圆心，1为半径的圆周上运动，作点A关于BC的对称点A'，连接A'H，与BC交于点F，与⊙H交于点G，此时AF+FG＝A'F+FG＝A'G为最短，∵AB＝2，AH＝BC＝3，A'B＝2，A'A＝4，∴A'H＝=5，∴A'G＝A'H﹣GH＝5﹣1＝4，所以该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值为4．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到勾股定理、轴对称性质求最短值，综合性比较强，结合题意添加合适的辅助线是解题的关键．6．（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝．【解析】【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论；（3）方法1：先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．【详解】解：（1）点，是，的中点，，，点，是，的中点，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：，；（2）是等腰直角三角形．由旋转知，，，，，，，利用三角形的中位线得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大时，的面积最大，且在顶点上面，最大，连接，，在中，，，，在中，，，，．方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，最大时，面积最大，点在的延长线上，，，．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大．7．（1）见解析；（2）60°；（3）不变，MN=【解析】【分析】（1）连接AO、CO、BO、BD，根据菱形的性质得到AB=CB，然后根据SSS即可证明两三角形全等；（2）首先根据全等的性质得到O、B、D共线，然后根据三角形外角的性质得到∠BOC＝2∠ODC＝2∠OBC，最终根据余角的性质即可求解；（3）延长EM、EN交⊙O于F、G，连接FG、OF、OG，过点O作OH垂直于FG于点H，根据垂径定理和三角形中位线的性质得到MN=FG，根据（2）问结论结合圆周角定理求得∠FOH＝60°，最后根据含30°的直角三角形的边角关系即可求解．【详解】（1）如图，连接AO、CO、BO、BD．∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB∴∠BAO＝90°．∵四边形ABCD是菱形∴AB＝CB又∵AO＝CO，BO＝BO∴△BAO≌△BCO（SSS）∴∠BCO＝∠BAO＝90°，即OC⊥BC∴BC为⊙O的切线（2）∵△ABO≌△CBO∴∠ABO＝∠CBO∵四边形ABCD是菱形∴BD平分∠ABC，CB＝CD∴点O在BD上∵∠BOC＝∠ODC＋∠OCD，OD＝OC∴∠ODC＝∠OCD∴∠BOC＝2∠ODC∵CB＝CD∴∠OBC＝∠ODC∴∠BOC＝2∠OBC∵∠BOC＋∠OBC＝90°∴∠OBC＝30°∴∠ABC＝2∠OBC＝60°即∠B=60°；（3）不变延长EM、EN交⊙O于F、G，连接FG、OF、OG．过点O作OH垂直于FG于点H．∵EM⊥OA、EN⊥OC．∴M、N是EF、EG的中点．∴MN是△EFG的中位线∴MN=FG．由（2）知∠ABC＝60°∴∠AOC＝120°∴∠FOG＝∠AOC＝120°∴∠MEN＝∠FOG＝60°，∴∠FOH＝60°，∴OH=2，FH=．∴FG=．∴MN=FG=．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的引出辅助线，熟练利用三角形和圆的知识点求解是本题的关键．8．（1）t=4；（2）S=；（3）存在，当t=4、或时，△PEF是等腰三角形．【解析】试题分析：（1）作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，可以得出四边形AGHD为矩形，根据矩形的性质及相关条件可以得出△ABG≌△DCH，可以求出BG=CH的值，再由勾股定理就可以求出AG=DH的值，就可以求出BP的值，即可以求出结论t的值；（2）运用求分段函数的方法，分四种情况，当0＜t≤3，当3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8时，运用梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以求出S的值；（3）先由条件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-t，分为三种情况：EF=EP时可以求出t值，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，可以求出t值，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，可以求出t值，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，可以求出t值．试题解析：（1）如图2，作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，∴四边形AGHD为矩形．∵梯形ABCD，AB=AD=DC=5，∴△ABG≌△DCH，∴BG=（BC-AD）=3，AG=4，∴当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，点M与点D重合，此时MQ=4，∴GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4，∴t=4，即4秒时，正方形PQMN的边MN恰好经过点D；（2）如图1，当0＜t≤3时，BP=t，∵tan∠DBC=，tan∠C=tan∠ABC=，∴GP=t，PQ=t，BN=t+t=t，∴NR=t，∴S=；如图3，当3＜t≤4时，BP=t，∴GP=t，PQ=4，BN=t+4，∴NR=t+2，∴S==2t+4；如图4，当4＜t≤7时，BP=t，∴GP=t，PQ=4，PH=8-t，BN=t+4，HN=t+4-8=t-4，∴CN=3-（t-4）=7-t，∴NR=，∴S=；如图5，当7＜t≤8时，BP=t，∴GP=t，PQ=4，PH=8-t，∴S=∴S=；（3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF，∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC，∴cos∠ABC=cos∠PEF=，由（1）可知EP=BP=t，则EF=EQ=PQ-EP=4-t，①如图6，当EF=EP时，4-t=t，∴t=4；②如图7，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，∴ER=EP=EF，∴t=（4-t)，∴t=；③如图8，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，∵ES=EF=PE，∴（4-t)=×t，∴t=．∴当t=4、或时，△PEF是等腰三角形．考点：相似形综合题．9．（1）；（2）m=2，D(﹣1，)；（3）P（，）或P(1，)；（4）0＜t≤．【解析】【分析】(1)根据A，C两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解．(2)通过(1)中的二次函数解析式求出B点坐标，代入一次函数,即可求出m的值，联立二次函数与一次函数可求出D点坐标．(3)设出P点坐标，通过P点坐标表示出N，F坐标，再分类讨论PN=2NF，NF=2PN，即可求出P点(4)由A，D两点坐标求出AD的函数关系式，因为以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，所以∥AD，即可求出的函数关系式，设直线与抛物线交于第一象限P点，所以当与P重合时，t有最大值，利用中点坐标公式求出PQ中点H点坐标,进而求出MH的函数关系式，令y=0求出函数与x轴交点坐标，从而可求出t的值,求出t的取值范围．【详解】解：(1)∵A，把A,C代入抛物线，得：解得∴．（2）令y=0即，解得，∴B（4,0）把B（4,0）代入得m=2，∴得或∴B(4,0),D(﹣1，)∴,m=2，D(﹣1，)．（3）设P（a，），则F（a，），∵DN⊥PH，∴N点纵坐标等于D点的纵坐标∴N(a，)FN=－（）=，PN=－=，∵是线段的三等分点，∴①当FN=2PN时，=2（），解得：a=或a=﹣1（舍去），∴P（，）．②当2FN=PN时，2（）=（），得a=1或a=﹣1（舍去），∴P(1,)，综上P点坐标为P（，）或P(1,)，(4)由（2）问得D(﹣1，)，又A，设AD：y=kx+b，，∴，∴AD：y=x+5，又GM⊥AD，∴可设GM：y=x+p，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，∴∥AD，可设：y=x+q，又Q，代入，得：×+q=0，q=2，∴：y=x+2，设直线与抛物线交于第一象限N点,,所以当与N点重合时,t有最大值，∴，解得：或，∴N(1,)又Q，设H为N,Q中点，则H（，），又∵H在直线GM上，∴把H代入GMy=x+p，得：，P=，∴y=x+，令y=0得：0=x+，∴x=，即QM=+=，∵M的速度为5，∴t=÷5=，∴0＜t≤．【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的综合，属于压轴题，涉及到的知识点有，一次函数图像与性质，二次函数图像与性质，二次函数解析式的求法，二次函数与一次函数结合的坐标求法，翻折问题等，解题关键在于正确理解题意，仔细分析题目，通过相关条件得出等量关系求出结论．10．（1）（2，0）（答案不唯一）；（2）或；（3）或．【解析】试题分析：（1）由题意可知，在x轴上找点P是比较简单的，这样的P点不是唯一的，如点（2，0）、（1，0）等；（2）如图1，在x轴上方作射线AM交⊙O于点M，使tan∠MAO=，并在射线AM是取点N，使MN=AM，则由题意可知，线段MN上的点都是符合条件的B点，过点M作MH⊥x轴于点H，连接MC，结合已知条件求出点M和点N的纵坐标即可得到所求B点的纵坐标t的取值范围；根据对称性，在x轴的下方得到线段M′N′，同理可求得满足条件的B点的纵坐标t的另一取值范围；（3）如图2，3，由与x轴交于点M，与y轴交于点N，可得点M的坐标为，点N的坐标为，由此结合∠OMN的正切函数可求得∠OMN=60°；以点D（1，0）为圆心，2为半径作圆⊙D，则⊙D和⊙O相切于点A，由题意可知，点A关于⊙O的“生长点”都在⊙O到⊙D之间的平面内，包括两个圆（但点A除外）.然后结合题意和∠OMN=60°分b>0和b<0两种情况在图2和图3中求出ON1和ON2的长即可得到b的取值范围了.试题解析：（1）由题意可知，在x轴上找点P是比较简单的，这样的P点不是唯一的，如点（2，0）、（1，0）等；（2）如图1，在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，且使得，并在AM上取点N，使AM=MN，并由对称性，将MN关于x轴对称，得，则由题意，线段MN和上的点是满足条件的点B.作MH⊥x轴于H，连接MC，∴∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°.∵AC是⊙O的直径，∴∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°.∴∠OAM=∠HMC.∴.∴.设，则，，∴，解得，即点M的纵坐标为.又由，A为（-1，0），可得点N的纵坐标为，故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：.由对称性，在线段上，点B的纵坐标t满足：.∴点B的纵坐标t的取值范围是或.（3）如图2，以点D（1，0）为圆心，2为半径作圆⊙D，则⊙D和⊙O相切于点A，由题意可知，点A关于⊙O的“生长点”都在⊙O到⊙D之间的平面内，包括两个圆（但点A除外）.∵直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，∴点M的坐标为，点N的坐标为，∴tan∠OMN=，∴∠OMN=60°，要在线段MN上找点A关于⊙O的“生长点”，现分“b>0”和“b<0”两种情况讨论：I、①当直线过点N1（0，1）时，线段MN上有点A关于⊙O的唯一“生长点”N1，此时b=1；②当直线与⊙D相切于点B时，线段MN上有点A关于⊙O的唯一“生长点”B，此时直线与y轴相交于点N2，与x轴相交于点M2，连接DB，则DB=2，∴DM2=，∴OM2=，∴ON2=tan60°·OM2=，此时b=.综合①②可得，当b>0时，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，则b的取值范围为：；II、当b<0时，如图3，同理可得若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，则b的取值范围为：；综上所述，若在线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，则b的取值范围为：或.11．（1）EF=2；（2）y＝x（0≤x≤12）；（3）满足条件的CN的值为或12．【解析】【分析】（1）在Rt△BEF中，利用勾股定理即可解决问题．（2）根据速度比相等构建关系式解决问题即可．（3）分两种情形如图3﹣1中，当MN∥DF，延长FE交DC的延长线于H．如图3﹣2中，当MN∥DE，分别利用平行线分线段成比例定理构建方程解决问题即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵AF＝BE＝2，∴BF＝6﹣2＝4，∴EF＝＝＝2．（2）由题意：＝，∴＝，∴y＝x（0≤x≤12）．（3）如图3﹣1中，延长FE交DC的延长线于H．∵△EFB∽△EHC，∴＝＝，∴＝＝，∴EH＝6，CH＝12，当MN∥DF时，＝，∴＝，∵y＝x，解得x＝，如图3﹣2中，当MN∥DE时，＝，∴＝，∵y＝x，解得x＝12，综上所述，满足条件的CN的值为或12．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．12．（1）y＝x+1；（2）；（3）（2，4）或（﹣2，2）或【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）求出点C坐标，利用待定系数法求出直线DE的解析式即可解决问题；（3）求出点E坐标，分两种情形分别讨论求解即可；【详解】（1）∵A（﹣2，0），OA＝2OB，∴OA＝2，OB＝1，∴B（0，1），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有解得∴直线AB的解析式为y＝x+1．（2）∵BC＝AB，A（﹣2，0），B（0，1），∴C（2，2），设直线DE的解析式为y＝k′x+b′，则有解得∴直线DE的解析式为令y＝0，得到∴（3）如图1中，作CF⊥OD于F．∵CE：CD＝1：2，CF∥OE，∴∵CF＝2，∴OE＝3．∴m＝3．∴E（0，3），D（6，0），①当EC为菱形ECFG的边时，F（4，3），G（2，4）或F′（0，1），G′（﹣2，2）．②当EC为菱形EF″CG″的对角线时，F″G″垂直平分线段EC，易知直线DE的解析式为，直线G″F″的解析式为由，解得∴F″，设G″（a，b），则有∴∴G″【点睛】本题考查一次函数综合题、平行线分线段成比例定理、菱形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．13．（1），点D（3，4）；（2）P1（5，0），P2（6，0），P3（，0）.【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，由直线过点B，把点B的坐标代入解析式，可求得b的值；点D在直线CM上，其纵坐标为4，利用求得的解析式确定该点的横坐标即可；（2）△POD为等腰三角形，有三种情况：PO=OD，PO=PD，DO=DP，故需分情况讨论，要求点P的坐标，只要求出点P到原点O的距离即可【详解】解：（1）∵B与A（1，0）关于原点对称∴B（-1，0）∵过点B∴，∴一次函数解析式为当时，，∴D（3，4）；（2）作DE⊥x轴于点E，则OE=3，DE=4，∴；若为等腰三角形，则有以下三种情况：①以O为圆心，OD为半径作弧交x轴的正半轴于点P1，则，∴P1（5，0）．②以D为圆心，DO为半径作弧交x轴的正半轴于点P2，则，∵∴，∴，∴P2（6，0）．③取OD的中点N，过N作OD的垂线交x轴的正半轴于点P3，则，易知，∴,即：，∴，∴P3（，0）；综上所述，符合条件的点P有三个，分别是P1（5，0），P2（6，0），P3（，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式和综合分析能力，注意到分情况讨论是解决本题的关键．14．（1）y＝﹣x2+10x﹣18；（2）4，6；（3）定值1，见解析【解析】【分析】（1）先将抛物线M1：y=-x2+4x化为顶点式，由平移规律“上加下减，左加右减”可直接写出抛物线M2的解析式；（2）分别求出点A，点B，点C的坐标，求出m的取值范围，再用含m的代数式表示出△CPQ的面积，可用函数的思想求出其最大值；（3）设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，分别求出点E，F，G，H的横坐标，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，构造相似三角形△GEM与△HFN，可通过相似三角形的性质求出的值为1．【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴将其先向右平移3个单位，再向上平移3个单位的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+7＝﹣x2+10x﹣18；（2）∵抛物线M1与M2交于点B，∴﹣x2+4x＝﹣x2+10x﹣18，解得，x＝3，∴B（3，3），将点B（3，3）代入y＝kx，得，k＝1，∴yOB＝x，∵抛物线M2与直线OB交于点C，∴x＝﹣x2+10x﹣18，解得，x1＝3，x2＝6，∴C（6，6），∵点P的横坐标为m，∴点P（m，﹣m2+4m），则Q（m，﹣m2+10m﹣18），∴QP＝﹣m2+10m﹣18﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18，∴S△PQC＝（6m﹣18）（6﹣m）＝﹣3m2+27m﹣54，＝﹣3（m﹣）2+，在y＝﹣m2+4m中，当y＝0时，x1＝0，x2＝4，∴A（4，0），∵B（3，3），∴3≤m≤4，∴在S＝﹣3（m﹣）2+中，根据二次函数的图象及性质可知，当m＝4时，△PCQ有最大值，最大值为6；（3）的值是定值1，理由如下：设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，则yEH＝x﹣k，∴令x﹣k＝﹣x2+4x，解得，x1＝，x2＝，∴xF＝，xE＝，令x﹣k＝﹣x2+10x﹣18，解得，x1＝，x2＝，∴xH＝，xG＝，∴ME＝xG﹣xE＝﹣＝3，FN＝xH﹣xF＝＝3，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，交点分别为M，N，Q，则∠HFN＝∠GEM，∠HNF＝∠GME＝90°，∴△GEM∽△HFN，∴＝＝＝1，∴的值是定值1．【点睛】本题考查了二次函数的图象平移规律，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是掌握用函数的思想求极值等．15．（1）DE=3；（2）；（3）BP=12-12或6＜BP≤【解析】【分析】(1)当点C落在射线AF上时，设DE=x，则EF=DE=x，CE=8-x，根据勾股定理，列出方程，即可求解；(2)以F为圆心，FB长为半径作圆F，当AD与圆F相切时，设切点为M，连接FM，则FM⊥AD，过点F作FN⊥AB，设FM=x，则AN=FM=x，BF=FM=x，BN=8-x，根据勾股定理，列出方程，即可求解；(3)以PB为底边作等腰直角三角形∆PMB，以点M为圆心，MP为半径作圆M，分三类：①当圆M与CD相切时，求出BP的值；②当圆M过点C时，求出BP的值；③当圆M过点D时，求出BP的值，进而，可求出BP的范围.【详解】（1）当点C落在射线AF上时，如图1，∵在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴AF=AD=6，AC=，∴CF=AC-AF=10-6=4，设DE=x，则EF=DE=x，CE=8-x，∵在Rt∆CFE中，，∴，解得：x=3，∴DE=3；（2）以F为圆心，FB长为半径作圆F，当AD与圆F相切时，如图2，设切点为M，连接FM，则FM⊥AD，过点F作FN⊥AB，设FM=x，则AN=FM=x，BF=FM=x，BN=8-x，∵，∴，解得：x=，∴cos∠FAB==；（3）以PB为底边作等腰直角三角形∆PMB，以点M为圆心，MP为半径作圆M，①当圆M与CD相切时，如图3，切点为Q，此时，边CD上有且仅有一点Q满足∠BQP=45°，连接QM，延长QM交PB于点H，则HQ⊥CD，HQ⊥PB，∵∆PMB是等腰直角三角形，∴设PH=BH=MH=x，则PM=QM=,∵HQ=AD=6，∴x+=6，解得：x=，∴BP=2x=②当圆M过点C时，如图4，此时，边CD上有两个点Q满足∠BQP=45°，∵∠MPB=45°，∠PBC=90°，∴BP=BC=6，③当圆M过点D时，如图5，此时，边CD上有且仅有一点Q满足∠BQP=45°，连接MD，过点M作MN⊥AD，MH⊥BP，设PH=HM=HB=x，则MP=MD=，MN=AH=8-x，ND=6-x，∵在Rt∆MND中，，∴，解得：x=，∴BP=2×=，综上所述：线段BP长的取值范围是：BP=12-12或6＜BP≤.图1图2图3图4图5【点睛】本题主要考查圆和直线的位置关系和三角形的综合问题，根据题意，画出图形，利用数形结合和方程思想方法，是解题的关键.16．（1）；（2）P（，），面积最大为；（3）CM+MB最小值为，M（，0）【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，设P（a，a-3），得出PD的长，列出S△BDC的表达式，化简成顶点式，即可求解；（3）取G点坐标为（0，），过M点作MB′⊥BG，用B′M代替BM，即可得出最小值的情况，再将直线BG、直线B′C的解析式求出，求得M点坐标和∠CGB的度数，再根据∠CGB的度数利用三角函数得出最小值B′C的值.【详解】解：（1）∵抛物线经过点A、B、C，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），代入表达式，解得a=1，b=-2，c=-3，∴故该抛物线解析式为：.（2）令，∴x1=-1，x2=3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b′，将B、C代入得：k=,1，b′=-3，∴直线BC的解析式为y=x-3，设P（a，a-3），则D（a，a2-2a-3），∴PD=（a-3）-（a2-2a-3）=-a2+3aS△BDC=S△PDC+S△PDB=PD×3=，∴当a=时，△BDC的面积最大，且为为，此时P（，）；（3）如图，取G点坐标为（0，），连接BG，过M点作MB′⊥BG，∴B′M＝BM，当C、M、B′在同一条直线上时，CM+MB最小.可求得直线BG解析式为：，∵B′C⊥BG故直线B′C解析式为为，令y=0，则x=，∴B′C与x轴交点为（，0）∵OG=，OB=3，∴∠CGB=60°，∴B′C=CGsin∠CGB==，综上所述：CM+MB最小值为，此时M（，0）.【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．17．（1）；（2）；（3）存在，或【解析】【分析】（1）过点作轴于点，利用三角函数值可得出，再根据翻折的性质可得出，，再解，得出，，最后结合点C的坐标即可得出答案；（2）设点坐标为（），则点的坐标是，利用（1）得出的结果作为已知条件，可得出点D的坐标为，再结合反比例函数求解即可；（3）首先存在这样的k值，分和两种情况讨论分析即可．【详解】解：（1）如图，过点作轴于点∵，∴∴由题意可知，.∴.∴在中，，∴，.∵点坐标为，∴.∴点的坐标是（2）设