专题 圆的证明与计算(含答案) 2024-2025学年人教版数学九年级上册

专题圆的证明与计算1．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，BC平分∠ABD，E是弧AB的中点，连接DE交BC(1)求证：CD=CF；(2)若BF=2，EF=52，求CF2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AC，过A作AF⊥AC，交⊙O于点F，连接DF，过B作BG(1)求证：BG是⊙O(2)若∠DFA=30°，3．如图，在△ABC中AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若点E是DF的中点，求OEAB4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．(1)判断直线CD与⊙O(2)若BE=4，∠A=45°，求AC的长．5．已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交于AC点D，过圆心O作AC的平行经OE，交BC于点E，连接DE并延长交AB的延长线于点F．(1)求证：DF是⊙O(2)若BF=4,DF=6，求DE．6．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为斜边BC的中点，以AD为直径作⊙O，分别与边AB、AC交于点E、F，过点E作EG⊥(1)求证：EG是⊙O(2)已知⊙O的半径为6，若AF=8，求BE的长．7．如图，已知AB为⊙O的直径，CA，CE分别与⊙O相切于点A，E，点D是CE(1)证明：BD是⊙O(2)若AB=6，AC=x，BD=y，求y关于x的函数解析式．8．如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF,CF．(1)求证：AC=AF；(2)若⊙O的半径为3，∠CAF=30°，求AC的长（结果保留π）．9．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，OA⊥BC于点(1)求证：∠AOB=2(2)若H为OA的中点，且DC+DB=23，求AD10．AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，BC∥OP交⊙O于C，PO交⊙O于D，（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半径．11.如图，是⊙O的直径，点是△ABC的内心，的延长线交⊙O于点，连接，．(1)求证：；(2)连接，若，求的值．12．如图，是半圆的直径，是半圆的切线（即圆的切线）．连接，交半圆于点，连接．过点作直线，且．(1)求证：直线是半圆的切线；(2)求证：点是线段的中点；(3)若，，求线段的长．参考答案：1．(1)见解析(2)6【详解】（1）解：连接CE，∵BC平分∠ABD∴∠ABC=∴CD=∵E是弧AB的中点，∴∠ABE=∴∠CBA+∵∠CDE与∠CBE所对均为AC，∴∠CDE=∠CBE∵∠CFD=∠FCE+∠FEC，AC+∴∠FCE+∴∠CFD=∴CD=CF；（2）连接AC，由（1）知∠CFD=∠EFB，∠CDF=∴∠EFB=∴EF=EB，∵EF=52，E是弧AB∴EF=BE=AE=52∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∠ACB=90∴AB=A由（1）得CD∴，∴CD=CF=AC，设CF=AC=x，则BC=x+2，∴AC2+B解得：x=6（负根舍去），∴CF=6．2．(1)见解析(2)6【详解】（1）证明：∵C，A，D，F在⊙O上，AF⊥∴∠D=∵AB⊥CD，BG⊥∴∠BED=∠G=90°，∴四边形BEDG中，∠ABG=90∴半径OB⊥∴BG是⊙O（2）解：连接CF，∵∠CAF=90∴CF是⊙O∴，∵直径AB⊥CD于∴CE=DE，∴OE是△CDF∴OE=1∵∠AFD=30∴∠ACD=∴∠CAE=90∵OA=OC，∴△AOC∵CE⊥∴E为AO的中点，∴OA=2OE=4，OB=4，AE=2，∴BE=OB+OE=6，DE=CE=23∵∠BED=∴四边形BEDG是矩形，∴S=6=633．(1)见解析；(2)OEAB【详解】（1）证明：连接CD，连接OD，∵BC为⊙O∴CD⊥∵AC=BC，∴AD=BD．∵AD=BD，OB=OC，∴OD是△BCA∴OD∥∵DE⊥∴．∵OD为半径，∴DF是⊙O（2）解：由（1）知OD∥∵点E是DF的中点，∴DE=EF，∵OD∥∴DEEF∴OC=CF，即：点C为OF的中点，∴CD=12OF=OC∴△OCD∴∠DOF=60°，则∠F=30设⊙O的半径为a，则：OD=OB=OC=CF=a，∴∠B=12∠DOC=30°，BC=2a由勾股定理可得：BD=3a，∴DE=12∴OE=O∴OEAB即：OEAB4．(1)直线CD与⊙O(2)6【详解】（1）相切，理由如下，如图，连接OC，∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，∠ABC=90∴△OCB∴∠ODC=∴OD⊥∵OD是⊙O∴DC是⊙O（2）设⊙O的半径为r，∵在Rt△ABC中，有∴∠A=45∴BC=AB=2r，∴CD=BC=2r，∵∠EDC=∴tan∠∵BE=4，OB=r，∴r4即DE=8，在Rt△EDC中，有EC∴4+2r2∴r=3，AB=BC=2r=6，在Rt△ABC中，5．(1)见详解．(2)5【详解】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∵OE∥AC，OA=OB，∴BECE∴BE=CE，∴DE=BE=CE，∴∠DBE=∵OB=OD，∴∠OBD=∴∠ODE=∵点D在⊙O上，∴DF是⊙O的切线；（2）连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∵OE∥AC，OA=OB，∴BECE∴BE=CE，∴DE=BE=CE，设DE=BE=CE=x，则EF=DF-在△BEF中，∠EBF=90∴EF即6-解得x=5∴DE=56．(1)见解析；(2)BE=45【详解】（1）证明：如图，连接OE，∵Rt△ABC中，D为∴AD=BD，∴∠BAD=∵OE=OA，∴∠OAE=∴∠OEA=∴OE∥又∵EG⊥∴EG⊥∴EG是⊙O（2）解：如图，连接DE，∵AD是⊙O∴，又∵∠BAC=90∴四边形AEDF为矩形，∴DE=AF=8，又∵BD=AD=12，∴BE=B7．(1)证明见详解(2)y=【详解】（1）证明：连接OD，∵⊙O与CE相切于点E，∴∠OED=90∵OE，∴OE=OB，∵OD=OD，DB=DE∴△OBD∴∠OED=∵OB是⊙O∴BD是⊙O（2）解：如图所示：过点C作CF⊥BD于点F，则CF=AB=6．∵AC=x，∴DF=BD-由切线长定理可得：CE=CA，∴CD=CE+ED=AC+BD=x+y，在Rt△∵∴（y+x整理得：y=9则y关于x的函数关系式为：y=98．(1)证明见解析；(2)5π【详解】（1）证明：∵AD∥BC，DF∥∴四边形ABED为平行四边形，∴∠B=∵∠AFC=∴∠AFC=∴AC=AF．（2）解：连接AO,CO，如图，由（1）得∠AFC=∵∠AFC=∴∠AOC=2∴AC的长l=1509．(1)见详解(2)2【详解】（1）证明：∵OA⊥BC于点∴AC=∴∠ADC=∵∠AOB=2∴∠AOB=2（2）解：∵H为OA的中点，∴OH=1∵OA⊥BC于点∴∠OBH=30°，即：∠BOH=60∴∠ADB=∴∠CDB=60连接AC，AB，则∠BAC=180°-60°=120°，把△BAD绕点A顺时针旋转120°得到，延长DA，使AD=AE，连接EF，则∠ABD=∠ACF∵，∴∠ACF+∠ACD=180°，即C、∴∠ADF=∴∠EAF=30∴△AEF∴∠AFE=60∴∠DFE=30∵DC+DB=23∴DF=DC+CF=23∴DE=DF÷∴AD=4÷10．（1）见详解；（2）10．【详解】证明：（1）连OC，如图，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，而OB=OC，即∠OCB=∠OBC，∴∠AOP=∠POC，又∵OA=OC，OP公共，∴△POA≌△POC，∴∠PAO=∠PCO，而PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∴∠PCO=90°，∴PC为⊙O的切线；（2）连AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，而DE⊥AB，∴∠ADE=∠ABD，由（1）得∠AOP=∠COP，∴∠ABD=∠DAF，∴∠DAG=∠ADF，∴AF=DF=FG=5，∴AC=5+5+6=16．∴AH=12AC又∵OA=OD，∴Rt△AOH≌Rt△DOE，∴DE=AH=8．∴EF=DE-DF=8-5=3，在Rt△AEF中，AE=AF设⊙O半径为r，在Rt△DOE中，有r2=82+（r-4）2∴r=10．所以⊙O的半径为10．11.(1)见解析；(2)．【详解】（1）证明：点是的内心，，．，，，，；（2）解：连接．是的直径，，，，，，，，