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文档简介
几何体体积常见求法2021/6/271二、等体积转化法:从不同的角度看待原几何体,通过改变顶点和底面,利用体积不变的原理,求原几何体的体积。三、割补法不但是立体几何中求角、距离的常用方法,而且也是求几何体体积的常用方法.它包括把规则的几何体割补成易求体积的几何体,也包括把不规则的几何体割补成规则的几何体,以便求体积.一、直接法2021/6/272CPAB解法一:易知AO是PA的射影,且AO是∠BAC的平分线。故VP-ABC=O例1由三余弦定理而,2021/6/273解法二(换底法)PABCD2021/6/274
(割体法)取AB、AC的中点M、N,解法三:连接PM、PN、MN,则P-AMN是一个棱长为1的正四面体。明显地,VP-ABC=4VP-AMN故VP-ABC=MNPABC2021/6/275PABCOQ解法四:
明显地,P-ABC是棱长为2的正四面体,所以,VP-ABC=1/2VQ-ABC
(补体法)延长AP至点Q,连接BQ、CQ,2021/6/276ABCDE练习1:
正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,将它沿EC、ED折起,使A、B重合为点P,求三棱锥P-ECD的体积。PECD2021/6/277例2.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,求三棱锥B1—AD1C的体积。ABCDA1B1C1D12021/6/278变式,四面体S-ABC的三组对棱分别相等,且依次为,求该四体的体积。分析:由三条对棱相等,易联想到长方体的三组相对的面上的对角线相等,因此可将四面体补成一个长方体来解。2021/6/279SBDC2021/6/2710例3.如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF//AB,EF垂直AE,EF=3/2,EF与面AC的距离为2,求该多面体的体积()。ABCDEF2021/6/2711法一:分别取AB、CD的中点G、H连EG,GH,EH,把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱,可求得四棱锥的体积为3,三棱柱的体积,整个多面体的体积为.故选D.ABCDEFGH2021/6/2712法三.由已知条件可知,EF∥平面ABCD,则F到平面ABCD的距离为2,将几何体变形如图,使得EG=AB,三棱锥F-BCG的体积为:
原几何体的体积为:
ABCDEFG2021/6/2713解:法三:如下图所示,连接BE、CE则四棱锥E-ABCD的体积VE-ABCD=3×3×3×2=6,又∵整个几何体大于四棱锥E-ABCD的体积,∴所求几何体的体积V求>VE-ABCD,ABCDEF2021/6/2714例4.三棱锥P--ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=a,ED⊥PA,ED⊥BC,ED=h,求三棱锥的体积。PABCED2021/6/2715求体积的常用方法所给的是非规范(或条件比较分散的规范的)几何体时,通过对图象的割补或体积变换,化为与已知条件直接联系的规范几何体,并作体积的加、减法。小结当按所给图象的方位不便计算时,可选择条件较集中的面作底面,
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