浙江省强基联盟2024-2025学年高三数学下学期2月统测试题含解析

Page15浙江省强基联盟2024-2025学年高三数学下学期2月统测试题考生须知：1．全卷分试卷和答题卷。考试结束后，将答题卷上交。2．试卷共6页，有4大题，22小题．满分150分，考试时间120分钟。3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效。选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．若（i是虚数单位），则（）A．B．1C．D．3．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：时间/分钟10~2020~3030~4040~50甲的频率0.10.40.20.3乙的频率00.30.60.1某日工作单位接到一项任务，须要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的数学期望和方差分别是（）A．B．C．D．5．已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，过P点作椭圆的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵中，，整臑的外接球的体积为，则阳马体积的最大值为（）A．B．C．D．47．已知在三角形ABC中，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，，其中，点P，Q分别为MN，BC的中点，则的最小值为（）A．B．C．D．8．已知，且，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．用分层随机抽样法从某校高一年级学生的数学竞赛成果（满分150分）中抽取一个容量为120的样本，其中男生成果的数据有80个，女生成果的数据有40个，将这80个男生的成果分为6组，绘制得到如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（）A．男生成果的样本数据在内的频率为0.015B．男生成果的样本数据的平均数为97C．男生成果的样本数据的第75百分位数为118D．女生成果的样本数据的平均数为91，则总样本的平均数为9510．如图，正方体，若点M在线段上运动，则下列结论正确的为（）A．三棱锥的体积为定值B．直线DM与平面所成角的最大值为C．D．点M到平面与到平面ACD的距离之和为定值11．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过A，B点作准线的垂线，垂足分别为．设直线l的倾斜角为，当时，．则下列说法正确的是（）A．有可能为直角B．C．Q为抛物线C上一个动点，为定点，的最小值为D．过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点（点P在第一象限），则存在，使12．已知连续函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则（）A．B．C．在上至少有2个零点D．非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。13．在的绽开式中，的系数为____________．14．已知直线与曲线有两个交点，则m的取值范围为____________．15．已知函数，，，在上单调，则正整数的最大值为____________．16．，则b的最大值是____________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知是公比为2的等比数列，为正项数列，，当时，．（1）求数列的通项公式；（2）记．求数列的前n项和．18．（12分）已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．（1）证明：；（2）若CD为的角平分线，交AB于D点，且．求a的值．19．（12分）如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧上一动点（点P与点A，D不重合），．（1）证明：；（2）若点P在平面ABCD的射影为点H，设的中点为E点，当点P运动到某个位置时，平面PBD与平面CDE的夹角为，求此时DH的长度．20．（12分）2024年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参与，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，竞赛必须要分出输赢．淘汰赛规则如下：在竞赛常规时间90分钟内分出输赢，竞赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛．在加时赛分出输赢，竞赛结束，若加时赛比分依旧相同，就要通过点球大战来分出最终的输赢．点球大战分为2个阶段．第一阶段：前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准（非必要无需踢满5轮），前5轮合计踢进点球数更多的球队获得竞赛的成功．其次阶段：假如前5轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双方依次轮番踢点球，假如在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则接着下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，竞赛结束，罚进点球的一方获得最终的成功．下表是2024年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的竞赛结果：淘汰赛竞赛结果淘汰赛竞赛结果1/8决赛荷兰美国1/4决赛克罗地亚巴西阿根廷澳大利亚荷兰阿根廷法国波兰摩洛哥葡萄牙英格兰塞内加尔英格兰法国日本克罗地亚半决赛阿根廷克罗地亚巴西韩国法国摩洛哥摩洛哥西班牙季军赛克罗地亚摩洛哥葡萄牙瑞士决赛阿根廷法国注：“阿根廷法国”表示阿根廷与法国在常规竞赛及加时赛的比分为，在点球大战中阿根廷战胜法国．（1）请依据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出输赢的概率．（2）依据题意填写下面的列联表，并通过计算推断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“32支决赛圈球队闯人8强”与是否为欧洲球队有关．欧洲球队其他球队合计闯入8强未闯入8强合计（3）若甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟竞赛未分出输赢，双方进入点球大战．已知甲队球员每轮踢进点球的概率为p，乙队球员每轮踢进点球的概率为，求在点球大战中，两队前2轮比分为的条件下，甲队在第一阶段获得竞赛成功的概率（用p表示）．参考公式：a0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821．（12分）已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．（1）求双曲线E的标准方程．（2）直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．22．（12分）已知函数．（1）探讨的单调性，（2）若有两个极值点，且．恒成立．①求a的取值范围；②证明：2024学年其次学期浙江强基联盟高三2月统测数学试题参考答案题号12345678答案BCADCBBA1．B，选B．2．C，即．选C．3．A由可知，所以，当时，不成立．所以选A．4．D设事务A表示甲在规定的时间内到达，B表示乙在规定的时间内到达，，A，B相互独立，，，，，．∴选D．5．C，令，得，．选C．6．B设的外接球半径为r，则．．又，体积的最大值为，选B．7．B，则，当时，，选B．8．A，构造函数，则，在上单调递减，，所以在上单调递减，所以，从而，选A．题号9101112答案BCDACDABDAC9．BCD男生成果在内的频率为0.3，A错误；男生成果的平均数为，B正确；男生成果的样本数据的第75百分位数为，C正确；总样本的平均数为，D正确．10．ACD对于选项A，M在平面内，平面与平面间的距离为体对角线的，∴三棱锥的体积为定值，A正确．对于选项B，当M为的中点时，直线DM与平面，所成的角最大，此时，B错误．平面，又平面，，C正确．到平面的距离为，M到平面ACD的距离为，∴M到两个平面的距离之和为，是定值．D正确．11．ABD．．当AB垂直于x轴时，为直角，A正确．由等面积法可知成立，∴B正确．，最大值为，C不正确．，令，则，令，在上单调递减，∴存在，D正确．12．AC由题意得，两边求导得，即，的图象关于点对称．为奇函数，则，的图象关于点对称，的图象关于直线对称．为和的一个周期，，∴A正确．，∴B错误．由，得在上至少有2个零点．∴C正确．，周期为3，的图象关于对称，，，，，，，，D错误．13．240，故，即，所以，即的系数为240．14．由已知得直线l过定点，曲线C表示的下半圆，由图形得斜率m的取值范围是．15．7，∴直线为图象的对称轴．，的对称点为，，．又在上单调，．，．当时，在上单调，则正整数的最大值为7．16．，变形得．问题等价于直线在与之间，如图所示．当且仅当l为两函数的公切线时b获得最值．设l与的切点为，l与的切点为，由公切线得，得得，发觉为的一个解．令，令，得，在上单调递减，在上单调递增，，而的两根居于两侧．已得一根为，所以另一根大于，由图形分析知，当时，b的最大值为．17．解：（1）由题可得，3分由，推得，累积得，得，又．6分（2）由题可得，令的前n项和为．，，相减得，．令的前n项和为，则．综上，．10分18．（1）证明：由题意得，2分．5分（2）解：法一．为的平分线，且，．7分为锐角三角形，，9分．，化简得，代入，得．12分法二．在中，．12分19．（1）证明：连接AP，在半圆柱中，因为平面PAD，所以，又因为AD是直径，所以，则平面PAB．所以．5分（2）解：依题意可知，以线段AD的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，所以，，设平面CDE的法向量为，所以则令，则．7分设平面PBD的法向量为，所以则令，则，所以．8分因为平面PBD与平面CDE所成的锐二面角为，所以，令，则，平方得，即，又由可解得或（舍去），所以，点P在平面ABCD的射影为点，因此DH的长度为．12分20．解：（1）由题意知卡塔尔世界杯淘汰赛共有16场竞赛，其中有5场竞赛通过点球大战决出输赢，所以估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出输赢的概率为．3分（2）下面为列联表：欧洲球队其他球队合计进入8强538未进入8强81624合计131932零假设支决赛圈球队闯入8强与是否为欧洲球队无关．．依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即不能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．7分（3）方法一．不妨假定踢满第一阶段的5轮．因为前两轮两队比分为，若甲队在第一阶段获得竞赛成功，则后3轮有6种比分，，所以甲在第一阶段获得竞赛成功的概率．12分方法二．假定竞赛进行到随意轮，两队均完成该轮踢点球（实际竞赛过程中，只要能确定某队获胜，无需两队均完成某轮踢点球）两队前2轮比分为的条件下，甲在第一阶段获得竞赛成功，则后3轮有5种可能的比分，．当后3轮比分为时，，，当后3轮比分为时，有两种状况，，当后3轮比分为时，，当后3轮比分为时，，当后3轮比分为时，．综上，甲在第一阶段获得竞赛成功的概率方法三．依据实际竞赛进程，假定点球大战中由甲队先踢．两队前2轮比分为的条件下，甲在第一阶段获得竞赛成功，则后3轮有5种可能的比分，．当后3轮比分为时，甲乙两队均需踢满5轮，．当后3轮比分为时，有如下3种状况：345345345甲√√甲√×甲×√√乙××乙××乙××则．当后3轮比分为时，有如下6种状况：345345345甲√√×甲√√×甲√×√乙√××乙×√×乙√××345345345甲√×√甲×√√甲×√√乙×√×乙√××乙×√×则．当后3轮比分为时，有如下2种状况：345345甲√√√甲√√√乙√×乙×√则当后3轮比分为时，有如下1种状况：345甲√√√乙√√×则．综上，在点球大战中两队前2轮比分为的条件下，甲在第一阶段获得竞赛成功的概率．21．解：（1）法一．由解得．4分法二．左右焦点为，，，∴双曲线E的标准方程为．4分（2）设CD的方程为，联立消去x得，，，，5分AC的方程为，令，得，BD的方程为，令，得，7分，10分解得或，即或（舍去）或（舍去），∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为．12分方法二．设CD的方程为，