课堂留白：发展学生数学学科核心素养的有效方式

摘要：高中数学教学留白包括叙述性留白、发掘性留白、推理式留白、方法式留白、提问式留白和超越式留白等六种方式，其核心是教师为学生提供充足的时间与空间，引导学生深度思考数学问题，从而达到发展学生数学学科核心素养的目的。关键词：留白式教学；高中数学；核心素养数学教学在培养学生的抽象思维、逻辑思维、直观想象等方面发挥了独特的功能。因此，打造适合学情的数学学习环境，为学生提供自主学习的机会，培养学生的创新意识与自主发展能力，探索个性化、多样化的新型课堂教学模式，成为教师必须面对的挑战。笔者所在团队根据教学实际探索出了适合高中数学教学的留白式教学。一、留白的内涵“留白”是国画和戏剧的一种表现手法，它蕴含着东方智慧与中国传统文化之美［1］。“留白”在艺术创作中赋予人们想象的空间，构建出独特的氛围；而在舞台剧中，它给予观众深度理解角色或剧情的机会，营造出神秘感。在教学中，“留白”是指以学生的需求为主导，基于人才培养目标，为学生提供充足的思考时间和探索空间，促使他们在已有知识的基础上，积极思考、解决难题、创新发现，进而提升思维品质。在数学教学过程中，教师需要提供充足的时间让学生去思考与实践，这就要求教师在教学中留白。然而，这并不意味着教师什么也不做，而应在设定教学目标的前提下，根据学生的实际情况，精确策划一系列具有深度的数学任务，如疑问、活动、实验等，打造适合学生的学习环境，进而实现教学目标。学生在完成这些任务的过程中，有序地感悟知识发生、发展的过程，甚至对已学的内容进行再创造。在不断地留白与补白过程中，学生亲历了问题解决的过程，同时通过师生交流、生生交流进一步将数学经验升华为数学思维，最终发展数学学科核心素养。二、高中数学教学留白的方式高中数学教学留白方式有叙述性留白、发掘性留白、推理式留白、方法式留白、提问式留白和超越式留白等。叙述性留白指教师在授课过程中，创造机会让学生阐述他们对数学概念、命题和公式的理解。比如在学习集合概念之前，教师可以让学生谈谈对“集合”这个词的理解。不少学生会认为“集合就是把一堆东西聚集在一起”，如一名学生举例说道：“比如体育老师上课时会喊‘集合啦’，大家就会从四面八方跑来，聚集到一起。”学生的补白表明，他们对集合有了初步的感知，认为“集合就是把东西汇聚在一起”。发掘性留白指为学生提供寻找并揭示新知识的机会。普通的教育者往往向学生灌输数学知识，但卓越的教师则是引导学生积极地去探寻知识的本质。在实施发掘性留白的过程中，教师需要营造环境或设定课题来激发学生思考的热情，为学生提供有利于找到新知的便利条件。如在教学两角差的余弦公式时，教师可以先带领学生复习诱导公式[cosπ2+α]=[-sinα]，紧接着抛出一个问题：假如把[π2]改成[π3]，该式子如何化简呢？这里，教师提出的“如何化简[cosπ3+α]”这一问题便是发掘性留白。学生将利用单位圆，结合三角函数的定义，通过观察图形进行补白。又如在教学等差数列时，教师给出几个数列，留白让学生寻找这几个数列的规律，学生通过观察、归纳、猜想，完成补白。推理式留白指论证数学命题、公式和结论。数学家通过观察、猜想，发现一个新的命题后，需要对其进行严格的推理证明。类似地，学生学习数学定理、公式或者其他数学结论后，教师还需继续留白，让学生对公式、命题、结论等加以证明。比如教学余弦定理时，有了正弦定理的铺垫，教师可以设置小组活动，放手让学生推导余弦定理。学生采用不同的推导方法：有些学生运用向量的三角形法则去推导公式，有些学生运用坐标法证明公式，还有有些学生则运用面积法推导公式。补白过程可谓百花齐放，令人耳目一新。方法式留白与一题多解类似。不同的学生对同一个问题往往会有不同的解法，给学生充足的时间和空间去展示这些不同的解法，有利于激发学生的探索精神和创新精神。或者对于某一问题，教师先讲解一种解法，然后放手让学生去探究更多的解法，这是另一种形式的留白。比如在教学三角恒等变换时，求解“[α]，[β]是钝角，[sinα=55]，[sinα-β]=[1010]，则[α+β]等于多少？”，有些学生会先求[α+β]的余弦值，进而确定[α]+[β]；有些学生会先求[α+β]的正弦值或者正切值，再进一步求出[α]+[β]。提问式留白指教师从数学内容、思想、方法等角度出发，让学生自己提出新的数学问题。爱因斯坦认为，提出问题往往比解决问题更重要。通过运用数学计算和实验技巧来解答某个问题或许是必要的，然而，若想发现全新的疑惑并从中探索出新的可能性，则必须具备创新能力。这种能力能使人们从全新角度审视已知问题，从而推动科学发展。然而在传统课堂中，教师更乐于提出各种问题启发学生思考，很少或者几乎没有给学生提出问题的机会，这不利于学生创新能力的发展。因此在教学过程中，教师有必要在提出问题方面留白。比如在教学函数单调性时，教师可以提问：“你可以构造出一些新的复合函数，并求出其单调区间吗？”或者在教学对数时，给学生提供一份关于对数发展史的阅读材料，然后布置学习任务：阅读时尝试从不同角度思考，提出自己的问题，并将其写下来，与同学们交流。超越式留白指超越知识本身，指向思想与精神目标的留白方式。在数学课堂上引导学生补好超越之白并非易事，这需要教师对所授课的知识有深刻的理解，对数学课程的育人价值有深刻的认知，同时，对学生也要进行长期的熏陶。比如，在教学余弦定理公式的推导后，教师可以让学生进一步思考：在推导公式的过程中运用了哪些数学思想？在学生运用不同的方法求解数学题目后，教师引导学生思考：从不同的方法中你得到了什么启示或者收获？这六种留白方式各有特色，而且呈现出一定的层次性。叙述性留白、发掘性留白诠释“是什么”，推理式留白、方法式留白指向“为什么”，提问式留白、超越式留白解释“还有什么”。一节课中，以上留白方式不一定全部要出现，教师应结合具体的教学内容选择恰当的留白方式。教师可以按照以下四个步骤开展留白活动：首先，教师设计现实情境或数学情境引出探究任务；其次，教师鼓励学生猜想、分析、推理与试验，并经过讨论获得初步结果；再次，教师协助学生进行讨论，借由辨析、论证等过程获得结果，在此过程中，学生表达自己的看法，回应他人的意见，教师适时引导或者帮助学生总结出结论；最后，教师评价学生的发现，在旧问题基础上提出新问题，或者对主题加以升华。在以上四个步骤中，设置情境是关键，也是基础。教师选择的情境要能够激发学生对学习内容产生兴趣，激发学生内在的学习动机。在留白活动的探究环节，则需要注意循序渐进，在符合学生认知基础的条件下，构建知识创设平台，让学生体会从不同视角找到问题解决的方案，在不同情境中提出新的数学问题，进而发展学生的数学素养，提升综合能力。三、高中数学留白教学实例现以一节探究课“牛顿法——用导数方法求方程的近似解”为例，具体论述留白教学在高中数学教学中的应用。牛顿法的中心思想就是以切线的零点近似代替曲线的零点。运用图形来表现这个中心思想，可以更好地帮助学生理解其内涵。探究的另外一个要点是，了解牛顿法的计算方法，熟悉牛顿法的操作过程，从中提取出它的算法。这节探究课，主要通过观察、联想、类比、对比、化归等方式进行分析，能有效发展学生直观想象、数学运算和逻辑推理等三个方面的数学学科核心素养。（一）留白任务激发兴趣，体现发掘性留白问题1：人类很早以前就开始探索高次方程的数值问题。在罗马帝国时期，人们常在公共场所举办解方程比赛，万人空巷。现在请同学们挑战一下解方程比赛中出现的问题（改编），“计算方程x3+2x2+10x-20=0在区间（1，2）的近似解，保留小数点后两位”。师生活动：教师在课前安排学生解答问题1。有一小部分学生尝试运用配方、拆项等方法去求解方程，发现不好处理后，改会用必修1学习过的二分法去求方程的近似解。此时，教师请学生演示如何运用二分法求解x3+2x2+10x-20=0在区间（1，2）的近似解，并让学生说一说用二分法求解该方程的步骤。这个过程学生可以借助计算工具（如表1所示）辅助计算。【设计意图】选取人类探索高次方程解历史进程中的一道题向学生发出挑战，一方面激发学生学习的积极性和解题的胜负欲，另一方面借助该题让学生重温二分法，为后面用牛顿法求方程的近似解做铺垫，建立新旧知识之间的联系。该环节运用了发掘性留白。过渡语：“除用二分法求方程的近似解外，我们能不能运用上节课所学的导数的几何意义以及函数图象的相关知识去解决该问题？”这就是本节课要研究的内容——用导数方法求方程的近似解。（二）问题导引驱动思维，体现方法式留白问题2：画出函数y=2x-3的图象，观察图象并回答，当x为何值时2x-3=0。师生活动：学生通过观察发现，方程的解是相应函数图象与x轴交点的横坐标。函数图象是一条直线，能够很容易计算出它与x轴的交点的横坐标。教师引出新问题“如果函数图象是一条曲线，我们如何确定它与x轴交点的横坐标呢？”，下面以x3+2x2+10x-20为例，请同学们借助GeoGebra软件画出函数的图象（如图1所示），观察图象，回答以下问题。问题3：在区间（1.359，1.401）的图象呈现怎样的形态？师生活动：通过观察，学生发现这个区间内的曲线几乎是一条直线。问题4：这条接近直线的曲线可用曲线的什么近似情况代替［2］？师生活动：一些学生回答可以用该曲线在某点处的切线近似代替这条接近的直线。问题5：该函数图象在区间（1.359，1.401）与x轴交点的横坐标可以近似看成其在某点处的切线与x轴交点的横坐标吗？师生活动：学生回答可以。问题6：你能计算出y=x3+2x2+10x-20在点A（x0，y0）处的切线与x轴交点的横坐标x1吗？［结果用f（x0）、f′（x0）表示］师生活动：学生运用导数的几何意义以及直线方程的知识去解决问题6。待学生计算出横坐标x1后（解答过程如下页图2所示），教师借助GeoGebra软件向学生演示过函数y=x3+2x2+10x-20上的点A（x0，y0）作切线的过程（如下页图3所示）。问题7：是否可以把x1作为函数y=x3+2x2+10x-20的零点r的近似解？师生活动：经过观察，学生发现x1与零点距离尚远，所以不能把x1看成该函数零点的近似解。【设计意图】教师设计问题串引发学生思考，运用了方法式留白。比如问题2帮助学生复习方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标，求方程的解的问题可从数与形两个角度去探究，一旦函数图象为一条直线的形式，我们可以很快地推算出它与x轴交点的横坐标，这有助于后续导入以直代曲思想。紧接着，通过问题3引导学生识图，师生共同操作图象放大和缩小，感受在很小的区间范围内，曲线形状接近于直线，再次直观感知以直代曲思想，为引出切线铺垫。问题4、5、6、7都是围绕切线和函数零点展开，引导学生运用已学知识解决新问题，渗透转化思想，为新知再创造做好准备。（三）GeoGebra软件助力探究知识本质，体现推理式留白与提问式留白小组活动：各小组成员利用GeoGebra软件调整点A（x0，y0）在曲线y=x3+2x2+10x-20上的位置，探究何时可以找到函数的零点r的近似解（精确度0.01）？在探究过程中完成表2；各小组梳理探究结果，撰写探究报告。师生活动：学生在填写表格时，可能会填写具体的数字，但是随着迭代次数的增多，计算量增大，而且都是重复相同的步骤，因此教师可以引导学生用数学符号去表示求解过程，比如x2可以用f（x1）、f′（x1）表示，x3可以用f（x2）、f′（x2）表示，不需要写出具体的数值。其次，在探究过程中，不同小组的学生取的初始值不一样，那么经历的迭代次数就会不一样，最好取离零点r附近的点作为初始值。至于什么时候可以找到零点r的近似解，不少学生都可以总结出当[xn-r]很小很小时，即近似值与准确值之差的绝对值小于0.01时，[xn]可以看成是函数零点r的近似解。此时，教师可以提问，有时我们并没有办法求出方程的准确值，无法知道近似值与准确值相差多少，所以不能算出[xn-r]的值。问题8：何时终止计算？[xn]满足哪些条件才可以作为函数零点的近似解？师生活动：教师引导学生用[xn-xn-1xn-1]去判断何时终止计算。随着[xn-xn-1xn-1]的减小，xn就越逼近r。我们把[z=xn-xn-1xn-1]称为精确度，当[z≤z0]时，我们就把xn作为方程的近似解。问题9：初始值不同是否会影响方程的近似解？师生活动：教师可以建议学生用9、2、1、-3或者其他数值来试一试。在此过程中，学生借助GeoGebra软件探究函数图象，多次选取不同的初始值，总结出一些相关结论。【设计意图】探究导数法求方程的近似解是本节课的重点。通过小组活动的方式，在课堂上给学生留出适当的空间和时间，给他们自由想象、自由探索的机会，旨在发展学生的数学思维。但是单纯抛出一个问题就让学生自主探究，学生的思维会天马行空，得出各种各样的结论，或者得不出结果。因此，教师在设计小组活动时，一方面借助GeoGebra软件减轻学生画图的负担，另一方面设计了表格和问题链作为脚手架，帮助学生“跳一跳摘到果子”，在这个过程中，学生需要自己组织语言把小组探究的结果表述出来，这一环节的设计运用了叙述性留白。学生在探究过程中，解决数学问题的同时也会提出新的问题，这一过程实现了提问式留白。（四）抽象凝练，体现叙述性留白与方法式留白问题10：你能类比二分法求方程近似解的步骤总结出牛顿法求方程近似解的步骤吗？师生活动：学生自主总结牛顿法求方程近似解的步骤。1.给定初始值x0和精确度z0。2.计算x1=x0-[fx0f′x0]（[f′x0≠0]）。3.若满足精确度[z=x1-x0x0≤z0]，则x1为所求，否则令x0=x1，回到第2步。用程序框图梳理牛顿法求方程近似解的步骤。（如图4所示）问题11：对比牛顿法和二分法求方程x3+2x2+10x-20=0的近似解（精确度0.01），完成表3。师生活动：学生分组讨论，总结牛顿法的优点是迭代的次数少，能找出“不变号零点”，缺点是对初始值要求较高，运算烦琐；二分法的优点是运算简洁，缺点是需要多次迭代，且仅能找到变量零点。此外，总结牛顿法和二分法中蕴含的算法思想、逼近思想、以直代曲思想等。【设计意图】以表格为依托，引导学生梳理归纳二分法和牛顿法求方程近似解的异同与优缺点，揭示其背后的数学思想，运用了叙述性留白与方法式留白。（五）应用巩固，体现方法式留白与推理式留白例1：用牛顿法求方程[115x3-35x2+2x-125=0]在x=4附近的近似解，精确度为0.01。（计算过程中数字保留小数点后3位）师生活动：学生上台展示、互评，最后教师小结。【设计意图】这道练习题的目的是强化学生对牛顿法的理解，帮助学生完成对新知识的构建，运用了方法式留白与推理式留白。（六）课堂小结，关注方法和思想，体现超越式留白教师小结：1.通过这节课的学习，你有哪些收获？2.假如你的同学还不太会用牛顿法求方程的近似解，你能教一教他（她）解题步骤吗？【设计意图】利用两个问题引导学生回顾这堂课的探究过程，总结其中涉及的思想