拔尖2023年中考数学压轴题突破专题33圆与新定义综合问题

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题33圆与新定义综合问题

典例剖析“

【例1】（2022•石景山区一模）在平面直角坐标系xQy中，点P不在坐标轴上，点。关于x

轴的对称点为点户关于），轴的对称点为。2,称△PPP2为点。的“关联三角形”.

（1）已知点A（1,2）,求点A的“关联三角形”的面积；

（2）如图，已知点8（〃?，加），。丁的圆心为7（2,2）,半径为2.若点B的“关联三

角形”与。丁有公共点，直接写出机的取值范围；

（3）已知00的半径为八OP=2r,若点P的“关联三角形”与。。有四个公共点，直

接写出NPPIP2的取值范围.

【分析】（1）根据x轴，y轴对称，求出相应的对称点坐标，根据三角形面积公式求出面

积即可；

（2）四边形OAQC是07.的外接四边形，Q求出点。的坐标，即可判断；

（3）分两种情形：当PP2与。。相切于点E时，如图2中，当PP1与00相切于点产

时，如图3中，分别求解即可.

【解答】解：（I）•・•点4（1,2）关于x轴对称的对称点（1,-2）,点A关于yz轴对称

的点42（-1,2）,

=X2X4=4：

•^AAA：A2f

（2）•••07'的圆心为丁（2,2）,半径为2,

・•・四边形OAOC是07的外接四边形（如图1中），

・•・£>（4,4）,

・・•点5的“关联三角形”与or有公共点，且B（/»,〃）,

二2-&V〃W4；

(3)当PP2与OO相切于点£时，如图2中，

VOE=r,OP=2r,

：.ZOPE=30°,

・・・NOPPI=/OPIP=60°,

・••当60°VNOP]PV90"时，点尸的“关联三角形”与。。有四个公共点.

：,ZOPF=ZOP\P=3^,

.••当()°VNOP/V300时，点。的“关联三角形”与。。有四个公共点，

综上所述，点P的“关联三角形”与OO有四个公共点，/尸PP2的取值范围为：0°<

图2

图1

【例2】（2022•朝阳区二模）在平面直角坐标系宜万中，。。的半径为1,48=1,且A,B

两点中至少有一点在。。外.给出如下定义：平移线段A8,得到线段A'B'（A',B'

分别为点A,8的对应点），若线段A'B,上所有的点都在。。的内部或上，则线段

A4'长度的最小值称为线段AB到0。的“平移距离”.

（1）如图1,点4,B\的坐标分别为（-3,0）,（-2,0）,线段4出到。。的“平移

距离”为2,点M色的坐标分别为（-£,林，线段上班到OO

乙乙

的“平移距离”为_除_:

（2）若点A,B都在直线y=«x+2正上，记线段AB到。。的“平移距离”为d,求

d的最小值：

（3）如图2,若点4/标为（1,V3）＞线段4B到00的“平移距离”为1,画图并说

明所有满足条件的点6形成的图形（不需证明）.

【分析】（1）根据平移的性质，以及线段A8到。。的“平移距离”的定义判断即可.

（2）如图1中，作等边△OEE,点E在入•轴上，OE=EF=OF=\,设直线尸相"2盯

交x轴于也，交y轴于M则M（-2,0）,N（0,2行），过点石作于从解

直角三角形求出E”即可判断.

（3）如图3,连接04,交。。于点A',则04=2,AA'=1,运用“平移距离”的定

义和平移的性质即可得出答案.

【解答】解：（1）根据“平移距离”的定义可得：线段4用到。。的“平移距离”为2,

如图1,设A282与），轴交于£线段上仍向下平移得到的弦A'2〃2,线段A'2B'

2与），轴交于点F,

则A'2尸=2,OA'2=1,OE=^J'3,

2

・・.。尸=返，

2

JAM'2=£尸=。£■。/=«一返=返，

22

・•・线段上班到。。的“平移距离”为与.

故答案为：2,毕,

2

（2）如图2中，作等边△0EE点E在x轴上，0E=EF=0F=l,

设直线交x轴于M,交），轴于M则M（-2,0）,N（0,245），

过点E作EH_LMN于从

'：0M=2,0N=2«,

・・・lanNMW0=V§,

・・・NNMO=60°,

，石”=£M・sin60。二①，

2

观察图象可知，线段延到。。的“平移距离”为力的最小值为返.

2

（3）如图3,连接04,交。0于点X,

则0A={F+（而）2=2,

・・・。4到OO任意一点距离的最小值为0V-OA-1-1,

・•・点“（A,近），

22

设平移后圆上另一点为8',由题意得：A'B'=1,

有三种情况：

①点8,与点0重合，则点8的坐标为（』，返）；

22

②点4'与点（1,0）重合，则点8的坐标为（2,Y2）；

22

③点夕与点（-£,g）重合，则点8的坐标为（0,V3）；

乙乙

[例3]（2022•开福区校级一模）我们不妨定义：有两边之比为1：近的三角形叫敬“勤

业三角形”.

（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是③④；（填序号）

①等边三角形；②等腰直角二.角形；③含30。角的直角三角形；④含120°角的等腰一：

角形.

（2）如图1,△A8C是。0的内接三角形，AC为直径，D为AB上一点、,且8。=24。，

作OEJ_OA,交线段OA于点尺交于点E,连接B石交AC于点G.试判断AAE力

和△48E是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出工旦的值；如果不是，请

BE

说明理由；

（3）如图2,在（2）的条件下，当ABFG=2：3时，求/出强的余弦值.

E

C

G

O

A

D

图1图2

【分析】(1)根据“勒业三角形”的定义进行计算，即可一一判定：

(2)如图，连结设可证得NA3E=a,AADE^AAEB,可得

AE^=AB*AD,结合可得A8=«AE,即可判定△AE。和△A3E都是“勤

3

业三角形”，再根据柞似三角形的性质即可求得胆的值；

BE

(3)如图，过点G作G/〃AB交。E于点/,可得△FG/s/\"。，AE/G^AEDB,可

设EG=3m则BE=4a,利用股巫，可求得E。=生旦EF=^Z1从而可得

BE335

答案.

【解答】解：①等边三角形各边的比值为1,故等边三角形不是“勤业三角形”：

②等腰直角三角形两直角边的比值为1,直角边与斜边的比为1：血，故等腰直角三角

形不是“勤业三角形”；

③设含30角的直角三角形的最短边长为〃，则斜边长为2a,另一条直角边长为fa,a：

V3«=l：4E，故含30°角的直角三角形是“勤业三角形"；

④如图：ZkABC中，AB=AC,Za=120°,过点A作AQ_LBC于点。，

设AO=a,PPJAB=AC=2a,BD=DC=J^a,

・・・8C=2“Z’

/.AB：BC=AC：BC=1：V3»

・；含120c角的等腰三角形是“勤业三角形”,

故答案为：③④;

(2)解：/XAEO和△A3E都是“勤业三角形”,

证明如下：

如图：连接。£,设

・•・ZAOE=2ZABE=2a,

•：OA=OE，

：,ZOAE=—(180°-ZAOE)=—(180°-2a)=90°

22

XVDEIAC,

AZAED+ZOAE=9()°,即NAEQ+90，-a=90°,

・•・^AED=ZABE=a,

叉,：4EAD=4BAE,

・•・^ADE^AAEB,

,AE_AD_DE

AB"AB"EB'

AEr=AD*AB,

<BD=2AD,

：.AD=—AB

3t

・・・AE24AB2,AE2=3AD2,

J

.AE1AD1

••-~♦--------~~T=",

ABAEV3

和△ARE都是“勒业二角形

.DE_AE_1_V3

一前加诟工

(3)解：如图：过点G作G/〃4B交OE于点/,

c

AAFG/^AMD,AE/G^AED^,

,GI_IF__GF_3EG__GI__EI

“AD-DF-AF-2'EB-BD.ED'

q

：,GI=­AD

2f

\'BD=2AD,

•・•'GI'=3'

BD4

・EG二£1二fl二3

••前而而N

设七G=3mEB=4a,

由(2)知，理工1,

BE3

・・.曰=曰£。=«小DI=ED・El=^-a$a乌a，

433

・•”整DlWa，

DD

:.EF=£/+/F=V3a+—a=a，

55

在RlZ\E『G中，

673

cosN在叵

EG3a5

即COS/BED=3&.

5

【例4】（2022•清苑区二模）【问题提出】

如图1,。0与直线。相离，过圆心。作直线。的垂线，垂足为“，且交。。于P、Q两

点（Q在P、〃之间）.我们把点夕称为OO关于直线。的“远点”，把PQ・P〃的值称为

OO关于直线。的“远望数”.

（1）如图2,在平面直角坐标系X。,•中，点E的坐标为（0,4）,过点E画垂直于y轴

的直线〃?，则半径为1的OO关于直线m的“远点”坐标是（直7）,直线m

向下平移3或5个单位长度后与GO相切.

（2）在（1）的条件下求OO关于直线机的“远望数”.

【拓展应用】

（3）如图3,在平面直角坐标系工0），中，直线/经过点（）），与y轴交于点N,

点尸坐标为（I,2）,以R为圆心，。尸为半径作。立若。尸与直线/相离，O是0尸关

于直线/的“远点”.且关于直线/的“远望数”是12遍，求直线/的函数表达式.

【分析】（1）根据远点，远望数的定义判断即可.

（2）根据远望数的定义，求出4645的长即可解决问题.

（3）如图，设直线/的解析式为），=匕+4连接。尸并延长，交OF于H,交直线/于点

G,设直线/交y轴于N（0,〃），由勾股定理及解直角三角形求出点N（0,3后,再

运用待定系数法即可求得答案.

【解答】解：（1）根据“远点”定义,可得点A是0。关于直线机的“远点”，

•••。。的半径为1,

AA（0,-1）；

・・•点E的坐标为（0,4）,

；・OA=4,

・•・当直线m向下平移3个单位或5个单位后。。相切，

故答案为：（0，-1）,3或5.

（2）•・,£的坐标为（0,4）,OB=OA=\,

：,AE=OE+OA=5,AB=2,

关于直线用的“远望数”=A8・AE=2X5=10.

（3）设直线/的解析式为y=匕+/?JW0）,

连接。尸并延长，交OF于H,交直线/于点G,设直线/交），轴于N（0,〃）,

•・•点/坐标为（I,2）;

；・OF=yj12+22=V5»

•・・。尸为OF的半径，

：.OH=2®

•・・O是。/关于直线/的“远点”.且0/关于直线/的“远望数”是12遥,

・・・OG_LMN于点G,0H、0G=\2标,

即2^506=12^5.

・•・OG=G,

二点M（6心0）,

：・OM=6正,

=22

：•MGVOM-OG=V（6V5）2-62=12,

ONOG

••FanNNM0==

OMMG

.n_6

yF

/.n=3yf5,

:.N（0,3巫）,

把M（6正,0）,N（0,3V5）分别代入）=依+力awo）,

得］6V5k+b=0

lb=3V5'

2

解得；，2,

b=3V5

・•・直线/的函数表达式为_y=+3遥

满分训练.

一.解答题（共20题）

1.（2022•长沙县校级三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中

有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”.例如：

如图1,在△A8C中，AO为边3c上的中线，△A3。与△43C相似，那么称△A4C为关

于边的“优美三角形”.

（1）如图2,在AA4c中，BC=4^AB,求证：△A5C为关于边6C的“优美三角形”；

（2）如图3,已知△ABC为关于边8c的“优美三角形”，点。是△ABC边8C的中点，

以BD为直径的。0恰好经过点A.

①求证：直线C4与G。相切：

②若。。的直径为2加，求线段A8的长；

（3）已知三角形ABC为关于边4c的“优美三角形"，4C=4,N4=30°,求△4BC的

面积.

【分析】（1）利用两达成比例，夹角相等证明即可求解；

（2）①连接0A,证明NCAO+/OAQ=90°,可得。4_LAC,再由OA是。0的半径,

即可证明直线AC与。。相切；

②由△C4OS/\CBA,求出4。=4«,再由&=或=返，设AO=&x,则48=2x,

ADDC2

在Rt^ABD中，利用勾股定理求出x的值，即可求AB=4；

（3）过点A作A£_L8C交于£点，分两种情况讨论：①若△BADSABCA,可求.48=

2V2.在RtZiABE中，AE=-AB=yj2^则S”3C=工办£：・8。=2近；②若△CAZ）s

22

△C8A,可求AC=2血，在RlZXABE中，设则/迈=«x,CE=4-V3v»在

RhMEC中，利用勾股定理可求x=J5±l,再求S"6C=,・4石・8。=245±2.

【解答】（1）证明：:4。是中线，

.・.8Q=28C=亚A8,

22

,BD_AB_V2

ABCB~2'

；・△4BOS/\CBA,

•••△A8C是关于边8C的“优美三角形”;

(2)①证明：连接0A,

•・•XRBC为关于边BC的“优美三角形”，

:.XCQsXCBN,

：,ZCAD=ZCBA,

♦：OA=OB,

：,ZOAB=ZCBA,

：.^CAD=ZOAB,

•••8。是。。的直径，

.•・N/MO=9()°,

：.^OAB+ZOAD=W,

・・・NC4Z)+NOAD=90°,

：.OA±AC.

•・・Q1是00的半径，

・,・直线AC与OO相切；

②解：VACAD^ACSA,

：.A(^=CD*BC,

・"C=4V§,

..AD_AC_V2

,ABBC2'

设则4B=2x,

在RtAABD中，AB2+AD2=BD2,即4』+2^=24,

；・x=2,

・・・43=4；

(3)解：过点A作AEJ_8C交于E点，

①若△ZMOS^BCA,

:,AB2=BD*BC,

:.AB=2版,

在中，ZB=30°,

:.AE=~AB=42^

2

/.SAABC=—・AE・8C=2&：

2

②若△CAQSACBA,

.,•AC2=CQ・BC,

：.AC=2yJ~2,

在RtZMBE中，ZB=30°,

设AE=x,则BE=/§x,

・•・CE=4-V3r>

在RtZ\AEC中，AC1=AE1+CE1,

，7+(4-V3v)2=8,

解得1,

••・S,M8C=2・4E・BC=26±2;

2

综上所述：△ABC的面积为2近或2y±2.

图1

2.(2022•西城区校级模拟)点P(xi,)"),QCx2,¥2)是平面直角坐标系中不同的两个点，

且xiRr.若存在一个正数A,使点P,Q的坐标满足|)“-泗=%1-文2|,则称P,Q为

一对“限斜点”，女叫做点P,Q的“限斜系数”，记作左(P,Q).由定义可知，k(P,

Q)=k(Q,P).

例：若P(l,0),Q(3,-1),有-3|,所以点P,Q为一对“限斜点”，且

224

“限斜系数”为士.

4

已知点4(1,0),B(2,0),C(2,-2),D(2,—).

2

(1)在点A,B,C,D中，找出一对“限斜点”：A、C或4、D,它们的“限斜系

数”为2或1；

(2)若存在点E,使得点E,A是一对“限斜点”，点E,B也是一对“限斜点”，且它

们的“限斜系数”均为I.求点E的坐标；

(3)。0半径为3,点M为。0上一点，满足M7=l的所有点7；都与点C是一定“限

斜点”，且都满足女(7,C)21,直接写*点M的横坐标用w的取值范围.

【分析】(1)根据定义通过计算求解即可；

(2)设)，)，由题意可得II，bi=|x-2],求解方程即可求点E的坐标;

(3)由题意可知C点在直线)，=-x上，T点在以M为圆心1为半径的圆上，/点在以

0为圆心3为半径的圆上，则丁点在以O为圆心2为半径的圆上或以O为圆心4为半径

的圆上，当7点在直线了=-X上时，k=\,再由大(7,C)21,可知7点在直线)，=-

x的上方，丁点在直线y=-x的上方，直线y=x-4的上方，半径为2的圆和半径为4

的圆构成的圆环内部.

【解答】解：(1)A(1,0),C(2,-2),<|0+2|=2|1-2|,

・・・4、C为一对“限斜点”，且“限斜系数”为2；

A(1,0),D(2,—),有|0-3=2|1-2|,

222

・•洛、。为一对“限斜点”，且“限斜系数”为」；

2

故答案为：A、。或A、。，2或工：

2

(2)设石(x,y),

・・・M=b",M=lx-2|,

A|x-l|=k-2|,

解得x=W，

2

(3)VC(2,-2),

:・C点在直线)，=-x上,

VA/T=1,

・・・7点在以M为圆心1为半径的圆上,

・・・M点在以O为圆心3为半径的圆上，

・•・7的轨迹是半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环，

当丁点在直线y=-x上时，设7(〃?，-W,

/.|-nj+2\=k\m-2\,

k=\

Vk(T,C)21,

工7点在直线y=-x的上方，直线y=x-4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成

的圆环内部,如图所示，

:.-旦加WXMW4.

2

3.(2022•常州一模)对于平面直角坐标系xOy中的图形M、M给出如下定义：P为图形

M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果尸、。两点间的距离有最小值，那么称这

个最小值为图形M、N间的“图距离“，记作d(M,N).已知点4(-2,6),8(-2,

-2),C(6,-2).

(1)d(点O,AABC\

(2)线段L是直线y=x(-2WxW2)上的一部分，若d(3AABC)=1,且L的长

度最长时，求线段L两个端点的横坐标；

(3)。7的圆心为7",0),半径为1.若d(O7,△ABC)=1,直接写出，的取值范

【分析】(1)圆出图形，结合定义即可求解;

(2)线段L上点R(-L7)到△ABC的边48的距离是1,到边8c的距离是1；过

点S作SH//X轴交AC于点”,直线)，=x交线段AC于点G,过G点作GWLGH交于W,

V?

求出直线AC与直线y=x的交点G(2,2),在等腰直角三角形aSG”中，求出GW=牛,

贝I」可求5(2-亚，2-亚)，即可求解；

22

(3)分三种情况讨论：①当07在△ABC的左侧时，7(-4,0)；②当在△ABC内

部时，当T点与。点重合时，满足题意；过7点作7M_LAC交十M,设直线AC与x轴

交点为M则是等腰直角三角形，求出7X4-2加,0),可得0W/W4-2a时，

若d(3,△48C)=1；③当在右侧时，过7点作7K_L4c交于K,同②可

求7(4+2近，0),则/=-4或0W/W4-2&或f=4+2⑦时，4(07,△ABC)=1.

【解答】解：(1)如图1,点。到△ABC的最短距离为2,

(点O,△A4C)=2：

(2)如图2,VA5=8,BC=8,

・・・NA=NC=45°,

•・'=/是第一、三象限的角平分线，

，直线y=x垂直线段AC,

线段L上点R(-1,-1)至的边AB的距离是1,到边BC的距离是1,

设线段L上点S到线段AC的距离为1,

过点S作S”〃x轴交AC于点从直线y=x交线段4c于点G,过G点作GWJ_GH交

于W,

设直线AC的解析式为y=h+A,

,f-2k+b=6

l6k+b=-2,

解得(k=T，

Ib=4

二尸-x+4,

联立方程组(y=x,

(y=-x+4

解得卜=2

ly=2

:.G(2,2),

••・△SGH是等腰直角三角形，

VSG=1,

.・.GW=—,

2

2号

.••线段SR的长是线段L长的最大值，

此时线段L的两个端点横坐标为-1，2-亚;

2

（3）①当。丁在△A6C的左侧时,

'：d（OT,△ABC）=1,OT的半径为1，

・•・7(-4,0),

.*./=-4：

②当Or在内部时，

如图3,当7点与。点重合时，d9T,△4BC）=1,

此时r=0,

如图4,过r点作7M_LAC交于M,设直线4c与工轴交点为M

•••48=8,BC=8,

/.ZA=ZC=45°,

：・NMNP=45°,

是等腰直角三角形，

,:TM=2,

・•・77V=2近，

.•・丁（4-2近，0）,

・・・/=4・a，

.•・0./W4・2班时,若d（OT,△ABC）=1；

③如图5,当。丁在△/IBC右侧时，过了点作7K_LAC交于K,

由②可知△K77V是等腰直角三角形，

,:TK=2,

,77V=2加,

.•・7（4+2近，0）,

.*./=4+2^2：

综上所述：/=-4或0WfW4-2*\/^或

图3

图2

r-r-r-=

4.（2022•秦淮区二模）【概念认识】

与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第I类圆；与

矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第H类圆.

【初步理解】

（1）如图①〜③，四边形A8CO是矩形，OOi和。02都与边AQ相切，03与边A8

相切，OOi和003都经过点8,。3经过点。，3个圆都经过点C.在这3个圆中，是

矩形/WCO的第I类圆的是①，是矩形/WCO口勺第II类圆的是②.

【计算求解】

（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6,直接写出它的第I类圆和第H类圆的

半径长.

【深入研究】

（3）如图④，已知矩形ABCD,用直尺和圆规作图.（保留作图痕迹，并写出必要的文

字说明）

①作它的1个第I类圆;

②作它的1个第n类版.

【分析】(1)由定义直接判断即可；

(2)第I类圆分两种情况求：当AO=6,AB=4时和AO=4,BC=6时：第I类圆和第

II类圆都利用勾股定理和垂径定理求解即可；

(3)第一步：作/B4Z)的平分线；第二步：在角平分线上任取点E,过点E作E凡LA。，

垂足为点F;第三步：以点E为圆心，E/为半径作圆E,交AC于点G,连接/G；第四

步过点C作C，〃尸G,CH交AD于点H；第五步过点〃作AO的垂线，交NBA。的平

分线于点O;第六步：以点。为圆心，O”为半径的圆，OO即为所求第II类圆.

【解答】解：(1)由定义可得，①的矩形有一条边4D与OOi相切，点仄C在圆上，

・•・①是第I类圆；

②的矩形有两条边人。、与03相切，点C在圆上，

，②是第n类圆；

故答案为：①，②；

(2)如图1,设A0=6,AB=4,切点为E,过点。作EFLBC交BC于F,交AO于上，

连接BO,

设BO=r,则OE=r,0F=4-r,

由垂径定理可得，BF=CF=3,

在RtZ\B。尸中，於=(4-r)2+32,

解得「=空：

8

如图2,设入。=4,8c=6,切点为E,过点。作EILAC交于凡交AD于E,连

接B0，

设BO=r,则OE=r,。尸=6-r,

由垂径定理可得，BF=CF=2,

在尸中，r=(6-r)2+22,

解得「=卫；

3

综上所述：第I类圆的半径是丝或凶；

83

如图3,40=6,A8=4,过点。作MN_LAO交于点M,交8c于点N,连接OC,

设A8边与。0的切点为G,连接OG,

：.GO1AB,

设。M=r,贝l」OC=r,则0N=4-r,

•：OG=r,

:.BN=r,

:,NC=6-r,

在Rt^OCN中，/=(4-r)2+(6-r)2,

解得r=10-

・••第II类圆的半径是10-473；

(3)①如图4,

第一步，作线段4。的垂直平分线交于点£

第二步，连接EC,

笫三步，作EC的垂直平分线交石尸于点O,

第四步，以。为圆心，£0为半径作圆，

・・・。。即为所求第I类圆；

②如图5,

第一步：作N84O的平分线；

第二步：在角平分线上任取点E,过点£作垂足为点F;

第三步：以点E为圆心，七尸为半径作圆日交AC于点G,连接/G；

第四步：过点。作C”〃尸G,CH交AD于点H；

第五步：过点〃作A。的垂线，交N84。的平分线于点0：

第六步：以点。为圆心，0H为半径的圆，00即为所求第H类圆.

图2

ED

5.（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系宜万中，。。的半径为1,A为任意一点，8为。0

上任意一点.给出如下定义：记A,8两点间的距离的最小值为〃（规定：点A在。。上

时，〃=0）,最大值为外那么把号的值称为点4与O。的“关联距离”，记作d（A,

O。）.

（1）如图，点。，E,尸的横、纵坐标都是整数.

①d（。，。0）=2；

②若点M在线段石尸上，求“（M,00）的取值范围；

（2）若点N在直线y=«x+K巧上，直接写出，/（MOO）的取值范围；

（3）正方形的边长为那，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P,OO）的最小值

为I，最大值为'而，直接写出，〃的最小值和最大值.

【分析】（1）①运用新定义“关联距离”，即可求得答案；

②根据新定义“关联距离”，分别求出OO）=2,d（F,OO）=3,即可得出答

案；

（2）设ON=d,可得p=d-1,q=d+l,运用新定义“关联距离”，可得d（M0。）

=d,再利用S"03=』04・08=2A8・ON,即可求得答案；

22

(3)如图2,找出特殊位置，分别画出图形，即可得出答案.

【解答】解：(1)①(0,2)到。0的距离的最小值〃=1,最大值q=3,

1+3

：.d(D,OO)=-^=2,

2

故答案为：2；

②当M在点E处，d(E,。。)=2,

当M在点尸处，d(F,。。)=21=3,

2

・・・2W4(M,OO)C3；

(2)设ON=d,

:.p=d-r=d-1,q=d+r=d+l,

(MOO)=21a=d-l+d+l=d,

22

•・•点N在直线y=V3K+W§上，

设直线交工轴于点从交)，轴于点A,如图1,

贝i]x=0时，y=2«,y=0时，x=・2,

・"(0,2V3)，B(-2,0),

：.OA=2^j3,08=2,

/MB=V0A2-H3B2=4>

当。N_LA8时，d(MO。)最小，

S^AOB=—OA・Oli=—AR*ON,即』X2yX?.=—X40M

2222

：・0N=g,

•••ON无最大值，

：.d(N,O。)^V3；

(3)如图2,・・・d(P,0O)的最小值为I,最大值为J15，

，两个同心圆中，小圆的半径为1，大圆的半径为03，

VKL=V10-1，

・•・〃?的最小值是华工=《后-零"，

V22

在RlZkOMH中，OM=V15，0H=m-1,MH=^rn,

2

:.(m-1)2+(Xn)2=(V10)2,

解得：〃?=-2(舍去)或"?=¥；

6.（2022•大兴区一模）在平面直角坐标系xQv中，。。的半径为1,己知点A,过点A作

直线MM对于点A和直线MN,给出如下定义：若将直线绕点4顺时针旋转，直线

MN与。。有两个交点时，则称MN是。O的“双关联直线”，与。。有一个交点P时，

则称MN是的“单关联直线”，4P是。。的“单关联线段”.

（1）如图1,A（0,4）,当MN与），轴重合时，设MN与。0交于C,。两点.则MN

是OO的“双关联直线”（填“双”或“单”）；区的值为§交立；

AD-5-3-

（2）如图2,点A为直线y=-3/4上一动点，4P是。。的“单关联线段”.

①求OA的最小值；

②直接写出△APO面积的最小值.

（2）①利用垂线段最短，过点0作。4垂直于直线），=-3x+4于点A,则此时0A最小，

利用三角形的面积公式解答即可；

②利用。。的“单关联线段”的定义可得AP与。。相切，判断0A最小时，尸。的面

积最小，利用勾股定理和直角三角形的面积公式解答即可.

【解答】解：（1）当MN与），轴重合时，

•••MN与。。交于C,D两点,

.••根据。。的“双关联直线”的定义可知：是。。的“双关联直线”：

当点C在y轴的正半轴时，人。=3,人。=5,

.AC.3

••;

AD5

当点。在），轴的正半粕时，AD=3,AC=5,

・

••・AC'=5,

AD3

综上，空的值为：或与

AD53

故答案为：双：3或主：

53

（2）①过点。作。A垂直于直线），=-3x+4于点4如图，

设直线y=-3x+4与)，轴交于点M,与x轴交于点M

令x=0,则y=4,

:,M(0,4),

・・・OM=4,

令y=0,贝lj-3x+4=0,

.r_4

3

4、

:.N(z—,0),

3

4

：.ON=土,

3

•••^=VOM2X)N2=•

o

7

SA0W4XOM.ON吾XOA・MN,

乙乙

・・.4X3=±ZI^XO4

33

.如=班

5

②△APO的面积最小值为堡•.理由：

10

・・・AP是。。的“单关联线段”，

•••AP与OO相切于点P,则OP_LOA,即△APO为直角三角形，

由于•△人PO的一个直角边为1,当。1最小时，△人PO的面积最小,

・•・当。4垂直于直线.y=-3x+4于点A时，△APO的面积最小.

连接OP,如图，

由题意：AP为OO的切线，

：.AP10P,

A/'P=VOA2-OP2=,

・•・尸。的面积最小值为gx隼X1=率.

2510

7.(2022•宁波模拟)定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相

切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边.

(1)如图1,△A3C中，AB=CB,N4=3()°,点。在AC边上，以OC为半径的O。

恰好经过点8,求证：。。是AABC的切圆.

(2)如图2,△AbC中，A6=AC=5,fiC=6,0O是△AbC的切圆，且另外两条边都

是。。的切边，求。。的半径.

(3)如图3,△人中，以A8为直径的恰好是△48C的切圆，AC是OO的切边,

O。与8c交于点F,取弧8尸的中点。，连接AD交BC于点E,过点E作于

点、H,若CF=8,8尸=10,求AC和的长.

图1图2图3

【分析】(1)连接。8,说明AB是圆的切线即可利用新定义得出结论;

(2)利用分类讨论的方法分两种情况解答：①当圆心。在8C边上，。。与AB,AC边

相切于点ALN时，连接OA,OM,ON,利用切线长定理和切线的性质定理，和相似三

角形的判定定理与性质求得线段DM,再利用勾股定理即可求出圆的半径：②当圆心O

在4c边上，。0与AB,边相切于点M,N时，连接OM,ON,BO,过点A作A”

_L8C于点”，利用切线的性质定理和三角形的面积公式，设OM=ON=r,列出方程即

可求解：

（3）连接AF,利用直径所对的圆周角为直角和切线的性质定理证明得到△AC/S/^AF,

利用相似三角形的性质求的4凡利用勾股定理求得AC；利用角平分线的性质求得巴月

BE,再利用平行线分线段成比例定理即可求得EH.

【解答】（1）证明：连接（阳，如图，

AZ4=ZC=30°.

・・・NC4B=1800-ZA-ZC=120°.

•：OB=OC,

AZO«C=ZC=30°.

：.ZOBA=ZC8A-ZOBC=90°.

即O8_LBA.

•.•0/3是圆的半径，

・・・48与OO相切.

•・•圆心O在AC边上，

・・・。。是△ABC的切圆；

(2)解：①当圆心。在BC边上，00与AB,AC边相切于点M,N时,

连接。4,OM,ON,如图，

：.OM1AB,ON±AC,AO平分NBAC.

：AB=AC,

：,AOLBC,OB=OC=—BC=3.

2

•・・A0_L8。，OMLAB,

••.△BOA/s/xw.

,OBBM

■•—

ABOB

,3BM

••

53

9

，8M=*.

5

AOM=^/OB2-BM2=V;

□

②当圆心。在AC边匕。。与A8,BC边相切于点M,N时,

连接OM,ON,BO,过点A作人H_LBC于点，，如图，

设OM=ON=r,

•・・A8,BC是00的切线,

：.OM±AB,ON±BC.

*：AB=AC,AHme,

；.BH=CH=2BC=3,

2

•••A"=、AB2-BH2=4.

・••S/kABC弓X8C・AH=£X6><4=12.

,**S；^\HC=S/\ABO^S^CHOr

...J.xA4・什』X6c•，=12.

22

•••yX5r-^X6r=12.

・l24

11

综上，。。的半径为孕或空；

511

(3)解：连接AF,如图,

E'B

D

•.•A4为。。的直径，

：,AFLBC.

•・・OO是△ABC的切圆，AC是OO的切边，

：.AB±AC.

，AACFsXBAF.

•,■AF—BF

CFAF

,AF10

8AF

.*./1F=4A/5.

.,MC=^/CF2+AF2=i2,

A/?=VAF2+BF2=6^^-

•••。是弧BF的中点，

：.ZFAD=ZBAD.

...FE二步_4«二2

「BE~AB6^5~3,

设FE=2k,则3E=3k,

,：BF=FE+BE=\(),

：.2k+3k=\O.

:•k=2.

：.EF=4fBE=6.

•・•£”„AC1AB,

J.EH//AC.

・BEEH

••"i一二.

BCAC

._6__EH

••8+10二12.

：.EH=4.

8.(2022•朝阳区一模)在平面直角坐标系xO.v中，对于直线/：)，=心:+儿给出如下定义:

若直线/与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线/关于该圆的“圆截距”.

(1)如图1,OO的半径为1,当&=1,0=1时，直接写出直线/关于OO的“圆截距”:

（2）点M的坐标为（1,0）,

①如图2,若。M的半径为1,当b=l时，直线/关于。”的“圆截距”小于求

%的取值范围;

②如图3,若OM的半径为2,当女的取值在实数范围内变化时，直线/关于0M的“圆

截距”的最小值2,直接写出〃的值.

【分析】（1）根据A和〃的值直接写出直线的解析式，设直线与工轴交于点A，与），轴交

于点8,根据勾股定理求出“圆截距”即可；

（2）①根据圆的垂径定理，确定弦长为当后时，弦的位置，注意分类，确定直线的解

5

析式，根据直线的增减性确定出的取值范围即可：

②当最短弦长为2时，分弦在x轴上方和x轴下方两种情况讨论求解.

【解答】解：（1）:4=1,b=\,

・•・直线/的解析式为），=x+l,

设直线与工轴交于点A,与