《机械制图（第2版）》第4课 熟悉点、直线与平面的投影一

课题第4课熟悉点、直线与平面的投影（1）

课时2课时(90min)

知识技能目标：

（1）能够累练地在三视图和立体图上分析相应的点和直线的投影

（2）能蟒蜥点与直线的空间位置

教学目标

素质目标：

（1）树立大国智造的坚定信念，激发强国建设的使命担当

（2）培养空间想象能力和抽象思维能力

教学重点：点的投影，直线的投影

教学重难点

教学难点：分析与绘制点与直线的投影

教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法

教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材

课蒯甥一考勤（2min）一任务引入（5min）一传授新知（48min）一任务实施（15min）一学以致

教学设计

用（15niin）一课堂小结（3min）一作业布置（2min）

教学过程主要教学内容及步骤设计意图

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂

通过课前任务,让

APP或其他学习软件,完成课前任务

学生了解本次课的主

课前任务请大家查阅机械制图的相关资料，思考如何绘制点和直线的三面投影。

要内容，增加学生的

【学生】完成课前任务学习兴趣

【教师】使用文旌课堂APP进行签到培养学生的组织纪

考勤

律性，掌握学生的出

(2min)【学生】班干部报请假人员及原因

勤情况

【教师】讲述“任务引入”中的相关内容，展示“正三棱推”图片（详见教材），

并提出以下问题通过问题导入的方

任务引入观察图片,尝试分析组成该正三棱锥的顶点与棱边直线的三面投影应该如法，引导学生主动思

（5min）何绘制？考，激发学生的学习

兴趣

【学生】观察、思考、回答

【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解点与直线投影的基础知识运用多媒体课件，

一、点的投影结合提问讨论的方式

帮助学生了解点与直

1.点的三面投影

线的投影知识，包括

【教师】展示图2-17（详见教材），播放“图2-17动画”的视频（详见教

其投影规律、与直角

材），引出点的三面投影知识点

传授新知坐标系的关系、在空

（48min）众所周知,点的投影仍是点，如图2-17（a）所示，求空间点S的三面投影，间中的位置等；通过

就是将点S置于三投影面体系中不动，由点S分别向三个投影面作垂线，则其垂分析图片与视频，加

足s、s'、s"即为点S的三面投影。如图2-17（b）所示，将投影面按箭头所指的强学生对投影基础知

方向，摊平在一个平面上，便得到点S的三面投影图.如图2-17（c）所示，其中识的掌握，提升学生

X、KZ分别为点的投影连线与投影轴X、Y、Z的交点.的学习积极性和主动

2.点的投影规律性

♦【教师】提问：“观察图2-17,分析图中有哪些规律？“安排学生分组讨

论并派代表回答问题

+【学生】聆听、分组、观察、思考、讨论、回答问题

中【教师】总结学生的回答，详细讲解点的投影规律

点的两面投影的连线，必定垂直于相应的投影轴。点的投影到投影轴的距离

等于空间点到相应投影面的距离，即"影轴距等于点面距"。

如图2-17所示，通过点的三面投影图的形成过程，可总结出点的投影规律如

下.

(।)点的两面投影的连线，必定垂直于相应的投影轴，即

OX,s's"J_OZ,ssYfl10YH,OYW

(2)点的投影到投影轴的距离等于空间点到相应投影面的距离，即"影轴距

等于点面距"，可知

S,Sx=s"Sy=点s到H面的距离Ss；

S”-s，，sz二点S到V面的距离Ss'；

=点s到w面的距离Sb。

引【资料卡】

空间点及其投影的标记：空间点用大写字母或罗马数字标记，如A、B、C......

或I、口、m……；点的水平投影(H面投影)用相应的小写字母或阿拉伯数字标

记，如a、b、c…或I、2、3......；点的正面投影(V面投影)用相应的小写字母

或阿拉伯数字并加一撇(’)标记，如"、〃、d……或1'、2'、3'……；点

的侧面投影(W面投影)用相应的/」肖字母或阿拉伯数字并加两撇(")标记，如

。“、b"、c"……或1"、2"、3"..…

3.点的投影与直角坐标的关系

点的空间位置可用直角坐标来表示.若将三投影面体系看作直角坐标系，则

可将投影面当作坐标面，投影轴当作坐标轴，点0当作坐标原点，于是

(1)点5的)＜生标，即点S到W面的距离。

(2)点S的y义标，即点S到V面的距离。

(3)点5的，坐标，即点S到H面的距离。

点S坐标的规定书写形式为：S(x,y,z)0

【例2-2］已知点A(30,10,20),求作它的三面投影图。

【作图步骤】

方法一

(1)如图2-18(a)所示(详磁材)，作投影轴OX、OYH、。几、OZ.

(2)在OX轴上由点O向左量取30mm,得到点Qx,在。匕/轴和。几轴

上由点O分别向下、向右量取10mm,得到点aYH和点/，；在OZ轴上由点O

向上取20mm,得到点a7。

(3)过点纵作OX轴的垂线,过点七〃和点分别作OY〃轴和。九轴

的垂线，过点七作oz轴的垂线。

(4)各条垂线的交点a、"、4〃即为点A的三面投影。

方法二

(1)如图2-18(b)所示(详见教材)，作投影轴OX、0YH、OYW、OZo

(2)在OX轴上由点O向左量取30mm,得到点犯。

(3)过点町作OX轴的垂线，并沿垂线向下量取axa=\0mn\,得到点a,

向上量取cixa'=20mm，得到点a'o

(4)根据点a和点"，求出第三投影点、

中【教师】播放“图2-18动画”的视频(详见教材)，帮助学生更直观的了

解作图步骤

4.两点的阚位置

1)两点在空间的相对位置比较

＞【教师】展示图2-19(详见教材)，提问："观察图片，判断图中两个点

在空间中的相对位置”，安排学生小组讨论并派代表回答问题

＞【学生】善听、分组、观察、思考、讨论、回答问题

*＞【教师】总结学生的回答，详细讲解两点在空间的相对位置比较

两点在空间的相对位置由两点的坐标差来确定，经过判断，点A在点B的左

后下方，反过来说，就是点B在点A的右前上方。

具体如下：

(I)两点的左右相对位置由x坐标差(xH-xA)确定，由于为＞4,因

此点A在点B的左方。

(2)两点的前后相对位置由y坐标差(%-以)确定，由于以v)%，因

此点A在点B的后方。

(3)两点的上下相对位置由z坐标差(Zs-Z.)确定，由于盯vZs,因此

点A在点B的下方。

故点A在点B的左后下方，反过来说，就是点B在点A的右前上方。

2)重影点及可见性判断

如图2-20所示(详见教材)，E、F两点的投影/、/'重合，这说明E、F

两点的X、1.坐标相同，xE=xF、zE=Zp,即E、F两点处在垂直于正面(V

面)的同一条投射线上。

可见，共处于同一条投射线上的两点，必在相应的投影面上具有重合的投影。

这两个点称为对该投影面的一对重影点。

♦【教师】提问：“如何判断重影点是否可见？“，安排学生小组讨论并派

代表回答问题

小【学生】蕤听、分组、思考、讨论、回答问题

»【教师】总结学生的回答，引出重影点的可见性

重影点的可见性需要根据这两点不重影的投影坐标的大小来判别

(।)当两点在V面的投影重合时，需要判别其H面或W面投影，点在前(y

坐标大)者可见.

(2)当两点在H面的投影重合时，需要判别其V面或W面投影,点在上(z

坐标大)者可见。

(3)当两点在W面的投影重合时，需要判别其H面或V面投影，点在左(x

坐标大)者可见。

如图2-20所示(详见教材)，/、/'重合，但H面投影不重合，且e在前、

f在后，即%>)>。所以对V面来说，E可见、F不可见.在投影图中，对不可

见的点，在重影处的投影需要加圆括号表示。如图2-20中，对不可见点F的V面

投影，加圆括号表示为(尸)。

【例2-3］如图2-21所示(详见教材)，在已知点A(20,20,10)的三面

投影图上，作点B(30,10,0)的三面投影，并判断两点在空间的相对位置。

【分析】点B的z坐标为0,说明点B属于H面，点B的V面投影b'一定

在OX轴上，W面投影b”一定在轴上。

【作图步骤】

(1)如图2-22所示(详见教材)，在OX轴上由点O向左量取30mm,得

到点b,,由点b，向下作垂线并取，得到点b.

(2)根据作出的点b和点b\即可求得第三投影点b".应注意，点b"一定

在0%,轴上，而不在。丫〃轴上。

(3)判别点A和点B在空间的相对位置，即

左、右相对位置：4.=10,故点A在点B右方10mm；

前、后相对位置：%-=1。，故点A在点B前方10mm；

上、下相对位置：-Zs=1。，故点A在点B上方10mm。

因此，点A在点B的右、前、上方各10mm处。

+【教师】提醒学生扫一扫，观看“图2-22动画”的视频(详见教材)，更

加直观的理解点A和点B的三面投影图

二、直线的投影

1.直线的三面投影

4【教师】展示图2-23(详见教材)，详细讲解直线的三面投影

直线的投影一般仍为直线，特殊情况可积聚为一点，如图2-23所示。在图2-

23中，直线AB在H面上的投影为直线ab；直线CD平行于投射线，其在H面

上的投影cd积聚为一点。

直线的投影可由直线上两点的同面投影来确定，如图2-24所示(详见教材)。

在三个投影面中Z铜面投影上的投影点用粗实线连接起来，即可得到直线的三

面投影，如图2-24(c)所示。

小【教师】提醒学生扫一扫，观看“图2-24动画”的视频(详见教材)，更

加直观的理解直线的三面投影

2.各种位置直线的投影

：在三投影面体系中，按直线与投影面的相对位置不同,直线可分为一股位置

直线和特殊位置直戋

I)一般位置的直线

对三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。妇图2-24所示，一般位置

直线的投影特性有以下几点。

(1)一般位置直线的各面投影都与投影轴倾斜。

(2)一般位置直线的各面投影长度均小于实长。

（3）-股位置直线的各面投影与投影轴的夹角不反映空间直线与投影面的夹

角。

直线和投影面的夹角称为直线对投影面的倾角。直线对H面、V面、W面的

倾角分别以a、。、凑示，如图2-24（a）所示。

2）特殊位置直线

（1）投影面平行线。平行于某一个投影面且与其他两个投影面都倾斜的直线

称为投影面平行线。其中，平行于H面的直线称为水平线，平行于V面的直线称

为正平线，平行于W面的直线称为侧平线。

*【教师】提问：”思考讨论投影面平行线的投影特性“，安排学生分组讨

论并派代表回答问题

【学生】玲听、分组、思考、讨论、回答问题

小【教师】总结学生答案，展示表2-3（详见教材），详细讲解投影面平行

线的投影特性

①在所平行的投影面上的投影反映实长

②其他另两面投影平行于相应的投影轴

③反映实长的投影与投影轴所夹的角度，等于空间直线对相应投影面的倾角

（2）投影面垂直线。若空间一直线垂直于某一个投影面，则该直线必定平行

于另外两个投影面，这样的直线称为投影面垂直线。其中，垂直于H面的直线称

为铅垂线，垂直于V面的直线称为正垂线，垂直于W面的直线称为侧垂线。

小【教师】提问：”思考讨论投影面垂直线的投影特性"，安排学生分组讨

论并派代表回答问题

｝【学生】静听、分组、思考、讨论、回答问题

A【教师】总结学生答案，展示表2-4（详见教材），详细讲解投影面垂直

线的投影特性

①在所垂直的投影面上的投影有积聚性

②其他另两面投影反映实长，且垂直于相应的投影轴

3.直线上点的投影

直线上点的投影具有从属性和定比性。

I）从属性

小【教师】展示图2-25图片（详见教材），播放“图2-25动画”的视频（详

见教材）

直线上任意一点的投影必在该直线的同面投影上。反之，如果一点的三面投

影中只要有一面投影不在该直线的同面投影上，则该点不在该直线上。

如图2-25所示，若点CwAfi,则必有cw"、dedb、

＞【教师】展示图2-26（a）（详见教材），布置任务，安排学生小组讨论

并派代表回答问题

观察图片，已知直线AB的三面投影和属于直线AB的点C的H面投影c,

求点C的V面投影和W面投影c”。

*【学生】蕤听、分组、观察、思考、讨论、回答问题

♦【教师】总结学生答案，展示图2-26（b）（详见教材），详细讲解作图

情况，提醒学生扫一扫观看”图2-26动画”视频（详见教材）

2）定比性

直线上的点将直线按一定比例进行分割，分割后各分割线段的长度之比与各

分割线段投影的长度之比相等。如图2-25所示（详见教材），

AC：CB=ac:cb=de'：db=a"c"：dW

4.两直线的相对位置

空间两百线的相对位置有平行、相交和交叉三种情况.其中，平行的两百线

和相交的两直线称为共面直线，交叉的两直线称为异面直线。

I）两直线平行

两直线平行的投影规律如下。

（1）如果两直线平行，则它们的各组同面投影一定相互平行。反之，若空间

两直线的同面投影均相互平行，则该两直线一定为平行关系。

（2）如果两直线平行，则它们的长度之比等于它们同面投影的长度之比。

＞【教师】展示图2-27（详见教材），提问：“观察图片，如果直线AB与

直线CD平行，则哪些投影线是甘亍的？"，随机抽取学生回答问题

＞【学生】聆听、观察、思考、回答问题

＞【教师】总结学生答案，并公布正确答案

如图2-27所示，直线AB与直线CD平行，则而//cd、db〃c"、

//d'd"，且AB：CD=ab：cd=db'：dd'=〃&'：cudn。

2）两直线相交

如果空间两直线相交，则它们的同面投影一定相交，且其交点符合直线上点

的投影规律.反之，如果空间两直线的同面投影都相交，并且交点的投影符合直

,线上点的投影规律，则这两条直线一定相交。

例如，直线AB和直线CD相交于点K,则其投影ab与cd相交于点k,db

与c2'相交于点k',〃力”与相交于点k〃，并且点k、Ak〃符合直线上

点的投影规律，如图2-28所示（详见教材）。

＞【教师】提醒学生扫一扫,现看“图2-28动画”的视频（详见教材），更

加直观的理解相交两直线的投影

3）两直线交叉

如果空间两直线既不平行也不相交,则两直线交叉。交叉两直线的同面投影

可能有一组、两组或三组分别相交，但其交点的投影并不符合直线上点的投影规

律。反之，如果空间两直线的同面投影既不符合两直线平行的投影规律，也不符

合两直线相交的投影规律，则这两直线一定交叉。

如图2-29（a）所示（详见教材），直线AB和CD为交叉直线，则这两条直

线的V面投影和H面投影均相交，但V面投影中的交点与II面投影中的交点并

非同一点，其投影图如图2-29（b）所示（详见教材）0

十【教师】提醒学生扫一扫，观看”图2-29动画”的视频（详见教材），更

加直观的理解交叉两直线的投影

【学生】聆听、记录、理解

【教师】安排学生根据课堂知识，绘制投影

已知点A(20,15,20)、点B(15,15,10),点C在点A的正前方，

距离为5mm,观察图片，尝试画出各点的三面投影。

通过分析并绘制各

任务实施点的三面投影，让学

(15min)生充分理解所学知

识，并与实践相结合

【学生】复习回顾、观察图片、绘制图形

【教师】讲解作图步骤，并评价学生的完成情况

通过拓展和综合训

【教师】展示图2-15(详见教材)，提出任务，安排学生完成绘制