（寒假）人教版数学七年级寒假精讲精练09 立方根+随堂检测（原卷版）

第页09立方根知识点一知识点一立方根、开立方的定义◆1、立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.◆2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.◆3、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.◆4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根的运算，即一种开方运算.知识点二知识点二立方根的性质◆1、立方根的性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个.◆2、立方根的两个重要性质：①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即，利用它可以把一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数.②.◆3、平方根与立方根的区别和联系：内容平方根立方根区别性质正数两个，互为相反数一个，为正数000负数没有平方根一个，为负数表示方法被开方数的范围非负数可以为任何数联系运算关系都与相应的乘方运算互为逆运算0的方根0的立方根和平方根都是0知识点三知识点三用计算器求一个数的立方根的方法一般计算器设有eq\x(\r(3,))键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值)．按键顺序为先按eq\x(\r(3,))键，再输入被开方数，最后按eq\x(＝)键．有些计算器需要用到第二功能键求一个数的立方根．按键顺序为先按eq\x(2ndF)键，再按eq\x(\r(3,))键，再输入被开方数，最后按eq\x(＝)键．题型一立方根的概念和性质题型一立方根的概念和性质【例题1】下列说法错误的是（）A．3的平方根是3 B．﹣1的立方根是﹣1 C．0.1是0.01的一个平方根 D．算术平方根是本身的数只有0和1解题技巧提炼1、一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.立方根的性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.【变式1-1】填空：（1）64的立方根是；（2）−1125的立方根是（3）26的立方根是；【变式1-2】求下列各数的立方根．（1）125；（2）0.027；（3）33【变式1-3】3(−8A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2【变式1-4】−210A．−83 B．−43 C．【变式1-5】若a2＝16，3b=−2，则a+A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12【变式1-6】求下列各式的值：（1）333；（2）30.008；（3）（3−9）3；（【变式1-7】（1）求323，3(−2)3，3(−3)3，（2）求（38）3，（3−8）3，（327）3，（3−27）3，（30）3的值．对于任意数a【变式1-8】我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；（2）若31−4x与32x+3互为相反数，求题型二开立方的运算题型二开立方的运算【例题2】求下列各式的值：（1）3−216=；（2）31−0.973=（3）−35−1027=；（4）解题技巧提炼开立方时，被开方数可以是正数、负数或零；（2）当求一个带分数的立方根时，首先要把带分数化为假分数，然后再求它的立方根.【变式2-1】下列算式中错误的是（）A．−0.64=−0.8 B．±1.96=±1.4 C．【变式2-2】求下列各式的值：（1）3216；（2）−327【变式2-3】求下列各式的值：（1）31−1927；（2）33764−1；（3）题型三开立方运算中的小数点移动规律题型三开立方运算中的小数点移动规律【例题3】探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：a…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…（1）表格中x＝；y＝；（2）从表格中探究a与a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知10≈3.16，则1000≈②已知3.24=1.8，若a=180，则a＝（3）拓展：已知312≈2.289，若3z=0.2289，则z＝解题技巧提炼利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动三位，其立方根的小数点相应向左（右）移动一位.【变式3-1】已知31.51=1.147，315.1=2.472，A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7【变式3-2】已知30.342≈0.6993，33.42≈1.507，则3【变式3-3】已知31.12≈1.038，则31120≈【变式3-4】已知32.019≈1.2639，320.19≈2.7629，则3【变式3-5】如果368.8=4.098，3a=40.98，则【变式3-6】若x=3135，y=30.135，则x与y的关系是【变式3-7】观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1）2≈1.414，200≈14.14，200000.03≈0.1732，3≈1.732，300由此可见，被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动位；（2）已知5≈2.236，50≈7.071，则0.5≈，500≈（3）31=1，31000=小数点变化的规律是：；（4）已知310=2.154，3100=4.642，则310000=题型四利用开立方解方程题型四利用开立方解方程【例题4】求下列各式中的x的值．（1）x3﹣216＝0；（2）（x+5）3＝64；（3）（12x+1）3解题技巧提炼先将方程化为ax3=b的形式，再利用立方根的定义求未知数的值.【变式4-1】解方程：x3﹣3=3【变式4-2】解方程：3（x﹣1）3＝24．【变式4-3】解方程：12【变式4-4】求式子中x的值：13（x﹣1）3＝﹣【变式4-5】解方程：64（x+1）3﹣125＝0．【变式4-6】解方程：（5x﹣2）3+125＝0．【变式4-7】解方程：3+（x+1）3＝﹣5．题型五平方根与立方根的综合题型五平方根与立方根的综合【例题5】已知x2＝9，y3=−18，且xy＜0，求2x+4解题技巧提炼先由平方根和立方根的定义求出已知未知字母的值，再求出这个由已知中未知字母组成的新数的立方根或平方根.【变式5-1】若|x﹣1|+（y﹣2）2+z−3=0，则x+y+z的立方根是【变式5-2】若a−3+（b﹣5）2＝0，则a+b的立方根为【变式5-3】已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b+2的立方根是3，求a﹣b的值．【变式5-4】已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2a+b的算术平方根．【变式5-5】已知2a﹣1的平方根是±5，3a+b﹣1的算术平方根是6，求﹣2a+12【变式5-6】已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是17的整数部分，求a+2b+c的值．题型六立方根的应用题型六立方根的应用【例题6】将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm解题技巧提炼给出一个与开立方有关的实际问题，根据立方根的定义求解列出的式子，此时要先根据题意列出算式，再结合立方根的定义求出式子中未知字母的值.【变式6-1】老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是96cm2，你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大665cm3，你能算出它的表面积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？【变式6-2】一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，其中一个小正方体木块的棱长是多少？【变式6-3】某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化，铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160cm，80cm和40cm，求原来每个立方体钢铁的棱长．【变式6-4】小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．【变式6-5】如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16000cm3．（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的160，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm09立方根随堂检测1．﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．82．下列计算正确的是（）A．4=±2 B．(−3)2=−3 C．13．下列说法，其中错误的有（）①16的平方根是4；②2是2的算术平方根；③﹣8的立方根为±2；④a2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．若a2＝49，3b=−2，则a+A．1或15 B．﹣1或﹣15 C．1或﹣15 D．﹣1或155．如果a+1的算术平方根是2，27的立方根是1﹣2b，则ba＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．36．如果32.37≈1.333，323.7A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.13337．如果a=3，则3a−17=8．已知a2=81，3b=−2，则9．已知实数a的立方根是4，则a的平方根是．10．若5x+19的立方根是4，则2x+7的平方根是．11．解方程：（1）9x2﹣729＝0；