(寒假)人教版数学八年级寒假讲义09 平行四边形的性质+随堂检测（原卷版）

第页09平行四边形的性质知识点一平行四边形的定义知识点一平行四边形的定义◆1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.◆2、表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”，读作:“平行四边形ABCD”.◆3、几何语言：(双重含义)∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC（性质）知识点二知识点二平行四边形的性质●●平行四边形的性质：◆1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，◆2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D◆3、对角线：平行四边形的对角线互相平分．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=OD知识点三知识点三两条平行线间的距离◆1、定义：两条平行线线之间的距离.◆2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.◆3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.如图（1），a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，即AB=CD；如图（2）线段AB（或CD）的长即为两条平行线之间的距离.◆4、三种距离之间的区别与联系距离两点之间的距离点到直线的距离两条平行线之间的距离区别连接两点的线段的长度.点到直线的垂线段的长度.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.联系都是指线段的长度.◆5、“两条平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.(常常用来解决三角形同底等高问题.)题型一利用平行四边形的性质求线段长题型一利用平行四边形的性质求线段长【例题1】如图，▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，那么BC的长度是（）A．9 B．12 C．15 D．18解题技巧提炼平行四边形中求有关线段的方法是利用平行四边形对边分别相等，对角线互相平分的性质来求解决的.【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（）A．11 B．10 C．9 D．8【变式1-2】平行四边形的一边长是9cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．8cm和10cm D．10cm和12cm【变式1-3】BF＝（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【变式1-4】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为【变式1-5】在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，求BC的长．题型二利用平行四边形的性质求角度题型二利用平行四边形的性质求角度【例题2】在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝80°，则∠B的度数是（）A．140° B．120° C．100° D．40°解题技巧提炼平行四边形中求有关角度的方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其它三个角的度数.【变式2-1】在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（）A．80° B．100° C．120° D．140°【变式2-2】如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝60°，则∠DAE等于（）A．15° B．25° C．30° D．65°【变式2-3】如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠A的度数为（）A．100° B．120° C．150° D．105°【变式2-4】如图，在▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（）A．84° B．96° C．98° D．106°【变式2-5】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB．（1）求证：△ABC≌△EAD；（2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数．题型三利用平行四边形的性质求周长或面积题型三利用平行四边形的性质求周长或面积【例题3】如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（）A．24 B．26 C．28 D．30解题技巧提炼1、平行四边形的周长=2(a+b)（其中a、b分别为两相邻边的边长）

2、平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．【变式3-1】如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为．【变式3-2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交CD，AB于点E、F，连接CF．若△BCF的周长为4，则平行四边形ABCD的周长为（）A．14 B．12 C．10 D．8【变式3-3】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，则图中阴影部分的面积是．【变式3-4】如图，在▱ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则四边形ABCD的面积为．【变式3-5】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于F，交DC的延长线于E，过点B作BG⊥AE于点G．（1）求证：AG＝FG；（2）判断△CEF的形状，并说明理由；（3）若AB＝10，AD＝15，BG＝8，求四边形ABCD的面积．题型四利用平行四边形的性质证明题型四利用平行四边形的性质证明【例题4】如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED．若AE＝AB，求证：AC＝DE．解题技巧提炼平行四边形的定义、平行线的性质、全等三角形的判定和性质在有关平行四边形的证明中，常常结合在一起综合应用，而利用平行四边形的定义、平行线的性质获得三角形全等的条件是解题的关键.【变式4-1】已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．【变式4-2】如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OB、OD上的中点．连接AE、CF．求证：∠DAE＝∠BCF．【变式4-3】已知：如图在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM，CM、BA的延长线相交于点E，BM平分∠ABC．求证：BM⊥CE．【变式4-4】如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO＝DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长．【变式4-5】如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）求证：AE平分∠DAB；（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．题型五两条平行线间的距离及其应用题型五两条平行线间的距离及其应用【例题5】如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（）A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长解题技巧提炼两条平行线间的距离指的是：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，平行线间的处处都相等，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.【变式5-1】如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB，AD的垂线CM，CN，垂足分别为M，N，则直线AB与CD的距离是（）A．CD的长 B．BC的长 C．CM的长 D．CN的长【变式5-2】如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（）A．MN B．OE C．EF D．OF【变式5-3】如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，a与b的距离是5cm，b与c距离是2cm，则a与c的距离．【变式5-4】在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，则a与c间的距离为（）cm．A．3 B．7 C．3或7 D．2或3【变式5-5】如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于．题型六平行四边形与平面直角坐标系的综合题型六平行四边形与平面直角坐标系的综合【例题6】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（1，0），（﹣3，0），（0，2），则顶点C的坐标是（）A．（4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（﹣4，2）解题技巧提炼在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标时，主要考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题时，利用了平行四边形的对边相等且平行的性质，对角线互相平分，有时需要分情况讨论．【变式6-1】▱ABCD的顶点坐标分别是为A（﹣2，0），B（0，2），C（3，1），则点D的坐标是（）A．（5，3） B．（﹣5，1） C．（1，﹣1） D．（3，0）【变式6-2】如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（）A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（3，2）【变式6-3】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点D的坐标是（）A．（﹣8，2） B．（8，﹣4） C．（4，2） D．（8，2）【变式6-4】如图，若▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是（1，1），（3，﹣1），（5，2），则点B的坐标是（）A．（﹣4，﹣2） B．（−12，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，【变式6-5】平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（0，2），以A，B，O为顶点作平行四边形，第四个顶点的坐标不可能是（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）题型七平行四边形的折叠问题题型七平行四边形的折叠问题【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（）A．70° B．40° C．30° D．20°解题技巧提炼折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的图形胃疼，这类问题既是对称问题的应用又可考查空间想象能力，平行四边形中的折叠问题是利用平行四边形的性质，以及三角形的全等、平行等知识在解决问题.【变式7-1】如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（）度．A．40 B．35 C．30 D．50【变式7-1】如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B'处，若∠1＝∠2＝42°，则∠B为（）A．84° B．114° C．116° D．117°【变式7-3】如图，平行四边形ABCD中，∠A＝50°，AD⊥BD，沿直线DE将△ADE翻折，使点A落在点A′处，A′E交BD于F，则∠DEF＝（）A．35° B．45° C．55° D．65°【变式7-4】如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（）A．1 B．5 C．10 D．20【变式7-5】如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE恰好过BC边中点，若AB＝3，BC＝6，则∠B的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°09平行四边形的性质随堂检测1.在▱ABCD中，∠B＝60°，那么下列各式中成立的是（）A．∠A+∠C＝180° B．∠D＝60° C．∠A＝100° D．∠B+∠D＝180°2.关于平行四边形的性质，下列说法不正确的是（）A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．邻角相等3.如图，已知▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，AC＝8，BD＝4，那么BC的长度为（）A．6 B．5 C．4 D．34.在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的