(寒假)人教版数学八年级寒假讲义02 二次根式的乘除+随堂检测（教师版）

第页02二次根式的乘除知识点一知识点一二次根式的乘法●●二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.用字母表示为：a•b=a⋅b（a≥0，b≥◆1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数.◆2、当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即根号外因数（式）之积作为根号外因数（式），被开方数之积作为被开方数，即ma⋅nb=mnab（a≥0，b≥0）◆3、二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.知识点二知识点二积的算术平方根●●积的算术平方根性质：a⋅b=a•b（a≥0，b≥0）◆1、该性质的实质是逆用二次根式的乘法法则，其成立的前提条件是：积中的每个因数（式）都必须是非负数，即公式中的a和b必须满足a≥0，b≥0，应用此性质可以化简二次根式.◆2、在进行化简计算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外.知识点三知识点三二次根式的除法●●二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.用字母表示为：ab=ab（a≥◆1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的且b不为0，即a≥0，b＞0是公式成立的必要条件．◆2、当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式除以单项式的法则进行计算，将根号外因数（式）之商作为根号外因数（式），被开方数之商作为被开方数，即manb=mnab◆3、若商的被开方数中含有完全平方因数，应运用积的算术平方根的性质和二次根式的性质进行化简．知识点四知识点四商的算术平方根商的算术平方根性质：ab=ab（a≥0，b＞0）◆1、该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0.◆2、该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为ab（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可知识点五知识点五最简二次根式◆1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．◆2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．题型一利用二次根式的乘法法则进行计算题型一利用二次根式的乘法法则进行计算【例题1】下列计算正确的是（）A．45×25=85 B．53×42C．43×22=75 D．53×4【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：A.45×25=40，故此选项不合题意；B.53×42C.43×22=86，故此选项不合题意；D.53×42解题技巧提炼1、运用二次根式的乘法法则进行计算时，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方;2、当二次根式外有因数（式）时，就把根号外因数（式）相乘的积作为积中根号前的系数，把所有被开方数相乘的积作为被开方数.【变式1-1】计算:22A．12 B．26 C．62 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：22×3【变式1-2】计算12A．16 B．±16 C．4 D．±4【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式=12【变式1-3】下列等式中，一定成立的是（）A．（a）2＝a B．a2=C．a2+b2=a+b【分析】根据二次根的性质及二次根式的乘法的法则进行分析即可．【解答】解：A、（a）2＝a一定成立，故A符合题意；B、当a＜0时，a2C、(a+b)2=a+b（a+b≥0），故C不符合题意；D、ab=a故选：A．【变式1-4】计算:（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算就是被开方数相乘，然后再开方.【解答】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式=题型二直接运用积的算术平方根的性质化简题型二直接运用积的算术平方根的性质化简【例题2】化简下列各题：27（2）50（3）332（4）7×112；（5）18y3（y≥0）；（6）16a2b5（【分析】应用积的算术平方根的性质的前提是将被开方数写成非负数的乘积的形式.【解答】解：（1）27=3×32=33；（2）50=52（4）7×112=28；（5）18y3=3y2y；（6）16解题技巧提炼利用积的算术平方根的性质进行化简时要注意三点：一是公式中的限制条件，若积中的因数（式）不是非负数应先将其化为非负数，再运用公式化简；二是被开方法数一定是乘积的形式；三是二次根式中的隐含条件的挖掘.【变式2-1】下列正确的是（）A．4+9=2+3 B．4×9=2×3 C．94=32 【分析】根据4+9=13判断A选项；根据ab=a•b（a≥0，b【解答】解：A、原式=13，故该选项不符合题意；B、原式=4×C、原式=(92)2【变式2-2】给出下面四种解答过程，其中运算正确的是（）A．(−25)×(−16)=−25×−16=（﹣5）B．(−25)×(−16)=±25×16=±（5）×C．(−25)×(−16)=25×16D．352−2【分析】算术平方根的含义和求法，逐项判断即可．【解答】解：∵(−25)×(−16)≠−25×∵(−25)×(−16)=25×16=∵(−25)×(−16)=25×16=∵352−212=28【变式2-3】若a＜0，b＞0，则化简a2A．abab B．﹣abb C．abb D．ab2b【分析】根据二次根式的性质，进行化简即可．【解答】解：a2b3=|ab|【变式2-4】设5=a，6=b，用含a，b的式子表示A．0.3ab B．3ab C．0.1ab2 D．0.1a2b【分析】首先，把2.7化为270100的形式；然后继续将上式化简，得到含有5，6【解答】解：2.7=270100=5×6×【变式2-5】阅读与思考：请阅读下面材料，并完成相应的任务．在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：小聪：4×25=100=10，4×25小明：（4×25）2＝4×25＝100．（4×25）2＝（2×5）这就说明4×25和4×25都是4×25的算术平方根，而4×25的算术平方根只有一个，所以任务：（1）猜想：当a≥0，b≥0时，ab和a×（2）运用以上结论．计算：①16×36；②49×121；（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为100，宽为49，求这个长方形的面积．【分析】（1）由题意可得当a≥0，b≥0时，ab=（2）根据法则计算①16×36=16×36（3）由长方形的面积可求S=100【解答】解：（1）当a≥0，b≥0时，ab=例如：∵4×9=6，4×9=（2）：①16×36=16×36＝4×6＝24；②49×121=（3）∵长方形的长为100，宽为49，∴S=100答：这个长方形的面积为70．题型三二次根式的乘法运算及化简题型三二次根式的乘法运算及化简【例题3】计算．（1）36×210；（2）418×322【解答】解：（1）原式＝3×2×6×10＝660＝1215（2）原式＝4×32×32×6（3）原式＝315×315＝9×解题技巧提炼二次根式的乘法运算的实质是对法则a•b=a⋅b（a≥0，b≥【变式3-1】计算或化简：（1）5×20；（2）（3）57×321；（4）（5）32x•6x3y5；【解答】解：（1）5×20=(2)2a3⋅8a(a≥0)＝a2a（3）57×321＝157×21＝15×73＝105（4）2312×3×1224=23×23×3（5）32x•6x3y5＝32x⋅6（6）572−432=【变式3-2】计算下列各题：（1）23×12×143．（2）1（3）﹣5827×113×54（5）3220×（−15）×（−1348）；（6【分析】（1）（2）（3）（4）（5）把二次根式外面的数和里面的数分别相乘，再把结果化为最简二次根式即可；（6）4m5n2+8【解答】解：（1）23×12×143＝2×1（2）135•23•（−1210）＝2×（−12）（3）﹣5827×113×（4）(−4)×259×(−169)=4×25（5）3220×（−15）×（−1348）=32×（（6）4m5n2+8m题型四利用二次根式的除法法则进行计算题型四利用二次根式的除法法则进行计算【例题4】计算11A．3 B．3 C．12 D．【分析】根据二次根式的除法的法则进行运算，再化简即可．【解答】解：112÷16=解题技巧提炼二次根式的除法运算的过程中能约分的要先约分，最后的结果要运用积的算术平方根的性质进行化简.【变式4-1】下列运算中正确的是（）A．25•35=65 B．(23)2=6 C．6【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．【解答】解：A.25•35=30，故此选项不合题意；B．（23）2C.6÷23=3，故此选项符合题意；D.【变式4-2】计算8a÷A．2 B．6a C．2 D．4a【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：8a÷【变式4-3】计算：（1）72÷2（2）12（3）320÷32223【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式；（2）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式．【解答】解：（1）72÷2=（2）原式=12÷272=12×2（3）原式＝（3÷32）×20÷83＝220×3（4）113÷2题型五直接运用商的算术平方根的性质化简题型五直接运用商的算术平方根的性质化简【例题5】化简：（1）516；（2）313；（3）18a(a＞0)；（4）9y8x【分析】根据二次根式乘除法的运算法则，结合二次根式的性质进行化简计算．【解答】解：（1）原式=542=54；（2）原式（3）原式=32×2aa×a=32a解题技巧提炼直接利用商的算术平方根的性质化简时，若分母中含有开不尽方的因数（式），可根据分式的基本性质，先将分式中的分子、分母同时乘一个不为0的数（式），使分母变为一个完全平方数（式），然后利用商的算术平方根的性质进行化简.【变式5-1】如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①ab•ba=1；②ab=A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】根据题意得出a，b的值，进而利用二次根式的性质化简求出即可．【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0，∴①ab•ba=1，正确；②ab【变式5-2】化简：（1）12136；（2）（3）81x225y2（x≥0，y＞0）．（4）9x【解答】解：（1）12136=11（3）81x225y2（x≥0，y＞0）=9x【变式5-3】已知a＜0，那么−4abA．2b−ab B．−2bab C．−【分析】根据a＜0，−4a【解答】解：∵a＜0，−4ab＞0，∴b＞0，∴【变式5-4】已知xy＜0，化简二次根式−xyA．x B．−x C．−x D．【分析】首先依据二次根式的被开方数为非负数可得到﹣xy2≥0，由此可得到x的取值范围，然后依据xy＜0可得到y的取值范围；接下来，依据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：由题意可知﹣xy2≥0．因为y2＞0，所以﹣x≥0，所以x≤0，又因为xy＜0，所以x＜0，y＞0，所以−xy【变式5-5】把二次根式a−1A．−−a B．−a C．−a 【分析】先根据被开方数判断a的符号，然后确定二次根式a−1【解答】解：∵−1a＞0，∴a＜0，∴二次根式a−1a＜0，题型六二次根式的乘除混合运算题型六二次根式的乘除混合运算【例题6】计算：23【分析】先把二次根式外面的数移到里面，再从左到右依次计算即可．【解答】解：原式=49×15÷125解题技巧提炼二次根式的乘除法混合运算与整式的乘除法混合运算的方法相同，整式乘除法的法则和公式在二次根式乘除法中仍然适用，在运算时要注意运算符号和运算的顺序，若被开方数是带分数要将带分数化为假分数.【变式6-1】计算16÷A．4 B．2 C．7 D．±2【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案．【解答】解：原式=16÷2×1【变式6-2】计算：（1）12÷27×18；（2）12【解答】解：（1）12÷27×18＝23÷33×3（2）123÷213（3）126×412÷（232）【变式6-3】计算：2x1x÷34【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式=2x3×1【变式6-4】计算2b【分析】根据二次根式的乘除法则及二次根式的化简进行运算．【解答】解：原式=−2b×3×32×ab2【变式6-5】化简：13−x【分析】根据二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简计算方法进行计算即可得出答案．【解答】解：∵−x2y＞0，−y原式=−43（(−x2y)(−y2x)÷161x3y=−4题型七去掉分母中的二次根号题型七去掉分母中的二次根号【例题7】把下列各式中的分母化去：（1）2348；（2）3a+2；（3）25−【分析】（1）分母是348，先化简，再分母有理化；（2）分母a+2的有理化因式仍是a+2；（3）分母5−3的有理化因式是（4）分子x﹣y可以分解成(x【解答】解：（1）23（2）3a+2（3）25（4）x−yx解题技巧提炼去掉分母中的根号一般分为三步：“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数（式）移到根号外；“二乘”，即将分子、分母同时乘分母的有理化因数（式）；“三化”，即化简计算.【变式7-1】化去下列各式中分母中的根号：（1）72；（2）2（3）36x（x＞0）；（4）22a2b（5）113；（6）3x2y（【分析】分别根据分母有理化化简即可．【解答】解：（1）72=7（3）36x=3（5）113=11⋅3【变式7-2】下列各式中，与3−5A．3−5 B．3+5 C．5 【分析】将无理数化成有理数的方法之一是利用平方差公式，根据这一解题技巧逐一判断各选项即可求解．【解答】解：根据（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（3+5）（3−5）＝32﹣（5）2＝94为有理数，故选：B．【变式7-3】在下列各式中，二次根式a−b的有理化因式（）A．a+b B．a+b C．a−b 【分析】二次根式a−b的有理化因式就是与原式相乘可以将原式中的根号化去的式子，即可得出答案．【解答】解：A.a+b⋅B.(aC.a−b⋅D.(a【变式7-4】二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如32=3×22×2=62（1）2340；（2）35−23【分析】（1）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式化简即可；（2）分子分母直接乘以分母的有理化因式化简即可；（3）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式化简即可．【解答】解：（1）2340=2610=2⋅（2）35−2335+2（3）aba2b−ab2=【变式7-5】化去式子x−2+x2−4【分析】若直接分母有理化比较麻烦，根据本题特点，分子、分母分别分解因式，然后约分．【解答】解：x−2+x题型八最简二次根式的识别题型八最简二次根式的识别【例题8】下列根式中，属最简二次根式的是（）A．27 B．x2+1 C．12【分析】依据最简二次根式的概念对各选项进行判断即可．二次根式的被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；分母中不含有根号．我们把满足上述条件的二次根式，叫做最简二次根式．【解答】解：A．27=33，故本选项不符合题意；B．xC．12=22，故本选项不符合题意；D．解题技巧提炼判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足下面的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件缺一不可.【变式8-1】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．9a B．3a3 C．a+12【分析】根据最简二次根式的定义对各选项进行分析即可．【解答】解：A、9a=3a，不符合题意；B、3a3C、a+12=2(a+1)【变式8-2】将下列二次根式化为最简二次根式后，被开方数与2的被开方数不同的是（）A．12 B．18 C．50 D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：A、原式=122B、原式＝32，被开方数与2的被开方数相同，故此选项不符合题意；C、原式＝52，被开方数与2的被开方数相同，故此选项不符合题意；D、原式＝23，被开方数与2的被开方数不同，故此选项符合题意．故选：D．【变式8-3】二次根式中：a2+b2、0.5、4a、x3【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：0.5=4a=2a，x3ya2+b【变式8-4】若x−2是最简二次根式，写出一个符合条件的x的值：．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到x的取值范围，写一个符合题意的x的值即可．【解答】解：∵x﹣2≥0，∴x≥2，故答案为：4（答案不唯一）．【变式8-5】下列实数（1）6；（2）2；（3）15（4）x2+1A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．【解答】解：（1）6是最简二次根式；（2）2是整数，不是二次根式；（3）15=55，因此（5）12−3=2+3综上所述，最简二次根式有：6，x2题型九化二次根式为最简二次根式题型九化二次根式为最简二次根式【例题9】把下列二次根式化简最简二次根式：（1）32；（2）40；（3）1.5；（4）43【解答】解：（1）32=16×2=42；（2）40（3）1.5=32解题技巧提炼化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数【变式9-1】将二次根式50化为最简二次根式．【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案．【解答】解：原式＝52，故答案为：52【变式9-2】把45化成最简二次根式为【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：45=4×5【变式9-3】化简成最简二次根式：512=；63【分析】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝5×23=103，故答案为：10（2）原式＝6×64=【变式9-4】二次根式2x2y3（x、y【分析】根据a2【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴2x2y故答案为：xy2y．【变式9-5】在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．（1）45（2）13（3）52（4）0.5（5）【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：（1）45=3（2）13（3）52（4）0.5=（5）14题型题型十利用二次根式的乘除法进行化简求值【例题10】已知为奇数，且求的值.【分析】根据二次根式有意义的条件，结合题意求出x的值，把原式化简，代入计算即可.【解答】解：∵,∴解得：∴∴的取值范围为：.∵为奇数，∴∴原式=故答案为：.解题技巧提炼利用二次根式的乘除法进行化简求值的步骤：1、先根据二次根式的乘除法运算法则把原式化简；2、将所给的字母的值代入到化简后的式子中进行计算.【变式10-1】先化简，再求值：6x2+2xy﹣8y2﹣2（3xy﹣4y2+3x2），其中x=2，y=【分析】根据整式的加减法则进行化简，再把值代入计算即可求解．【解答】解：原式＝6x2+2xy﹣8y2﹣6xy+8y2﹣6x2＝（6x2﹣6x2）+（2xy﹣6xy）+（﹣8y2+8y2）＝﹣4xy．当x=2，y=6时，原式＝﹣4×2×6【变式10-2】先化简，再求值：2x⋅xy⋅(yx÷【分析】原式利用二次根式的乘除法则计算，得到最简结果，利用负数没有平方根求出x与y的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式=2x⋅xy•（yx÷1y∵y=x−3+2(3−x)+2，∴x﹣3＝0，即x＝3，y＝2，则原式【变式10-3】先化简再求值：x−2xy+yx−y÷1x+2xy【分析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．【解答】解：原式=(x−y)2(x+y)(x−y当x=13+22=3−22(3+22)(3−2原式＝（3﹣22）﹣（3+22）＝﹣42．02二次根式的乘除随堂检测1．下列二次根式中是最简二次根式的是（）A．1 B．7 C．12 D．1【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答．【解答】解：A、1不是二次根式，故A不符合题意；B、7是最简二次根式，故B符合题意；C、12=23，故C不符合题意；D、12．下列计算中，正确的是（）A．(−2)2=−2 B．(−2)2=−2【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可．【解答】解：（−2）2＝2≠﹣2，故A错误；(−2)263是最简二次根式，故C错误；83．计算：3÷3A．155 B．3 C．3 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案．【解答】解：3÷3×15=3×4．下列各式的化简正确的是（）A．(−4)⋅(−49)=−4⋅−49=（﹣B．32=C．4D．0.7【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：A、原式=(−4)×(−49)=4B、原式=32=42，故B不符合题意．C、原式D、原式=75．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简a2A．2a﹣b B．﹣2a﹣b C．﹣b D．3b【分析】利用二次根式的性质，绝对值的意义化简即可．【解答】解：由题意：b＜a＜0，∴a＜0，a+b＜0．∴a2+|a+b|＝﹣a﹣a