(寒假)人教版数学八年级寒假讲义01 二次根式+随堂检测（教师版）

第页01二次根式知识点一知识点一二次根式的定义◆二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“”称为二次根号，a为被开方数.1、二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个非负数；2、被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子.【注意】二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“”，不能从化简结果上判断，如4，9是二次根式；“”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有知识点二知识点二二次根式有意义的条件◆二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：a有意义=>a≥0,a无意义，a＜0.◆【规律方法】二次根式有无意义的条件：1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．3．如果一个式子中含有二次根式且被开方数中含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有意义的条件是：底数不为0.知识点三知识点三二次根式的性质◆1、a的性质：a≥0；a◆2、（a）2（a≥0）的性质：（a）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．◆3、a2的性质：a2=|a|◆4、（a）2（a≥0）与a2的区别与联系.（a）2（a≥0）a区别取值范围a≥0a为任意实数表示的意义表示非负数a的算术平方根的平方表示a2的算术平方根运算顺序先开平方后平方先平方后开平方运算结果（a）2＝a（a≥0）读法读作：“根号a的平方”或“a的算术平方根的平方”读作：“根号”或“a的平方的算术平方根”联系（1）结果都是非负数；（2）当a≥0时，a2＝（a）知识点四知识点四代数式◆1、定义：用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式.【注意】代数式式数或字母之间的运算关系，代数式中只能含运算符号，不能含≥，＞，≤，＜，≠，＝等关系符号.◆2、列代数式的常用方法：①直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式；②公式法：根据公式列出代数式；③探究规律法：将一组数或一组图形的排列规律用代数式表示出来.题型一二次根式的识别题型一二次根式的识别【例题1】下列各式中，是二次根式的是（）A．n2 B．−4 C．38 【分析】根据形如a（a≥0）的式子是二次根式，可得答案．【解答】解：A、被开方数n2≥0，故A是二次根式；B、D被开方数小于0，无意义，故B、D不是二次根式；C、是三次根式，故C不是二次根式；故选：A．【点评】本题考查了二次根式的定义，注意二次根式的被开方数是非负数，根指数是2．解题技巧提炼判断一个式子是否为二次根式，要紧扣满足二次根式的两个条件：（1）含有二次根号“”；（2）被开方数是非负数，两个条件缺一不可.【变式1-1】下列各式中，不是二次根式的是（）A．8 B．−2 C．b2+1 【分析】根据二次根式的概念，形如a（a≥0）的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案．【解答】解：A、8是二次根式，不合题意；B、∵﹣2＜0，∴−2不是二次根式，符合题意；C、b2+1是二次根式，不合题意；D、13【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键．【变式1-2】下列式子一定是二次根式的是（）A．−5 B．π C．a3 D．【分析】根据二次根式的定义判断即可．【解答】解：A、﹣5＜0，二次根式无意义，故此选项不符合题意；B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意；C、当a＜0时，二次根式无意义，故此选项不合题意；D、7是二次根式，故此选项符合题意．故选：D．【变式1-3】下列各式：3−27，−4，2a−1（a＜12【分析】一般地，形如a（a≥0）的代数式叫做二次根式．【解答】解：3−27，−4，2a−1（a＜12），a【变式1-4】下列各式中，二次根式有（）−3，0.5，0，23，a2+1，x+1（xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次根式的定义：形如a（a≥0）的式子，叫做二次根式，即可解答．【解答】解：下列各式中：−3，0.5，0，23，a2+1，x+1（x是二次根式的有0.5，0，23，a2+1【变式1-5】给出下列各式：①32；②6；③−12；④−m（m≤0）；⑤a2+1；⑥A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．【解答】解：①∵3＞0，∴32是二次根式；②6不是二次根式；③∵﹣12＜0，∴−12不是二次根式；④∵m≤0，∴﹣m≥0，∴−m是二次根式；⑤∵a2+1＞0，∴a2⑥35是三次根式，不是二次根式．所以二次根式有3个．故选：B题型二二次根式有意义的条件题型二二次根式有意义的条件【例题2】若代数式xx−1在实数范围内有意义，则xA．x＞0且x≠1 B．x≥0 C．x≠1 D．x≥0且x≠1【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件即可得出答案．【解答】解：∵x≥0，x﹣1≠0，∴x≥0且x≠1．故选：D．解题技巧提炼求式子有意义时字母的取值范围方法：第一步,明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数;对于零指数幂,则必须满足底数不能为零;对于含有分式的、满足分母不能为零.第二步,利用使式子有意义的所有条件,建立不等式或不等式组；第三步,求出不等式或不等式组的解集,即为字母的取值范围.【变式2-1】若x−2有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．【解答】解：根据题意，得x﹣2≥0，解得x≥2．故选：B．【变式2-2】当x满足一定条件时，式子x−3x−3A．x＞﹣3 B．x＞3 C．x≥﹣3 D．x≥3【分析】代数式中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解即可．【解答】解：由题可得：x﹣3≥0且x﹣3≠0，解得x≥3，x≠3，∴x＞3，即当x＞3时，式子x−3x−3在实数范围内有意义．故选：B【变式2-3】式子2xx−1A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：式子2xx−1在实数范围内有意义的条件是：x﹣1＞0，解得：x＞1．故选：B【变式2-4】无论a取何值，下列各式中一定有意义的是（）A．a B．a2−1 C．a+1 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数判断即可．【解答】解：A.a不一定有意义，不合题意；B.a2C.a+1不一定有意义，不合题意；D.a2+1的被开方数是正数，一定有意义，符合题意；故选：【变式2-5】若代数式(x−2)02−x−1有意义，则x的取值范围是【分析】根据零指数幂：a0＝1（a≠0）可得x﹣2≠0，根据二次根式和分式有意义的条件可得x﹣1≥0，且x﹣1≠4，再解不等式即可．【解答】解：∵代数式(x−2)02−x−1有意义，∴x﹣2≠0且x﹣1≥0且x﹣1≠4，解得x≥1且x≠2且∴x的取值范围是x≥1且x≠2且x≠5，故答案为：x≥1且x≠2且x≠5．【变式2-6】求下列式子有意义的x的取值范围.（1）14−3x（2）3−xx−2（3）x−3x−2（4）−x【分析】（1）（2）（3）根据二次根式的性质和分式的意义，由被开方数大于等于0，分母不等于0可知；（4）（5）（6）根据二次根式的意义，被开方数是非负数可知．【解答】解：（1）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，被开方数4﹣3x≥0，分母4﹣3x≠0，解得x＜43．所以x的取值范围是x（2）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，被开方数3﹣x≥0，解得x≤3；分母x﹣2≠0，解得x≠2．所以x的取值范围是x≤3且x≠2．（3）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，被开方数x﹣3≥0，解得x≥3；分母x﹣2≠0，解得x≠2．因为大于或等于3的数中不包含2这个数，所以x的取值范围是x≥3．（4）根据题意得：﹣x2≥0，∵x2≥0，∴x2＝0，解得x＝0．∴x的取值范围是x＝0；（5）根据题意得：2x2+1≥0，∵x2≥0，∴2x2+1＞0，故x的取值范围是任意实数；（6）根据题意得：2x﹣3≥0，解得x≥32；2x﹣3≤0，解得x≤32∴x的取值范围是x=3题型三利用二次根式的性质计算题型三利用二次根式的性质计算【例题3】下列式子正确的是（）A．(−9)2=−9 B．25=±5 C．3(−1)【分析】利用开平方的性质和开立方的性质计算．【解答】解：根据二次根式的性质：A、(−9)2=9，故A错误；B、25=5C、属于立方根的运算，故C正确；D、(−2)2=2，故解题技巧提炼运用（a）2（a≥0），a2=（1）计算（a）2，直接运用（a）2＝a；（2）计算a2①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即a2=|a②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简.【变式3-1】下列结论正确的是（）A．−(−6)2=−6 C．(−16)2=±6 D．﹣（−【分析】根据二次根式的性质即可求出答案【解答】解：B．原式=−3，故B错误；C．原式＝16，故CD．原式=−1625，故D错误；故选：【变式3-2】化简：（1）=；（2）；（3）；（4）；【分析】直接利用二次根式的（a）2＝a（a≥0）性质化简求解.【解答】（1）(17)2=17；（2）(23)（3）；（4）﹣(3)2=﹣【变式3-3】计算：(7A．3 B．11 C．﹣3 D．﹣11【分析】根据二次根式的性质1和性质2化简可得．【解答】解：原式＝7﹣4＝3，故选：A．【变式3-4】计算：(1−2)2=【分析】判断1和2的大小，根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵1＜2，∴1−2＜0，∴(1−【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．【变式3-5】当x＝2时，二次根式2+7x的值是．【分析】把x＝2代入二次根式计算可得答案．【解答】解：当x＝2时，2+7x=【变式3-6】计算下列各式：（1）279；（2）0.81−0.04；（3）【解答】解：（1）279=25（2）0.81−0.04＝0.9（3）412−40（4）1−925=16【变式3-7】计算：32=，0．72=，02=，（1）根据计算结果，回答：a2一定等于a（2）利用你总结的规律，计算(3.14−π)【分析】根据二次根式的性质a2=|【解答】解：计算：32=3，0．72=0.7，0故答案为：3；0.7；0；6；34（1）a2不一定等于a，发现的规律是：a2=（2）(3.14−π)2＝|3.14﹣π|＝题型四二次根式的非负性应用题型四二次根式的非负性应用【例题4】已知a、b、c满足2|a﹣1|+2a−b+（c+b）2＝0，求2a+b﹣【分析】利用非负数之和为零，则各自为零，进而求出a，b，c的值求出答案．【解答】解：∵2|a﹣1|+2a−b+（c+b）又∵|a﹣1|≥0，2a−b≥0，（c+b）2≥∴a−1=02a−b=0c+b=0，∴a=1b=2c=−2，∴2a+解题技巧提炼二次根式a（a≥0）、绝对值|a|、完全平方式（a±b）2都是非负数，当几个非负数的和为0，则它们均为0.【变式4-1】已知y=x−1+1−xA．1 B．78 C．−54【分析】先根据二次根式的性质求出x、y的值，再代入代数式计算即可．【解答】解：因为y=x−1+1−x即x≥1x≤1，解得x＝1，所以y＝10；所以，2x+y5x−2y=【变式4-2】在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简(a−b+c)2−2|c﹣a﹣A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a【分析】首先根据三角形的三边关系得到根号内或绝对值内的式子的符号，再根据二次根式或绝对值的性质化简．【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边，∴a+c＞b，a+b＞c，即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；∴(a−b+c)2−2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．故选：【变式4-3】若x＜1，则化简(x−2)2+|4A．2 B．﹣2 C．6 D．6﹣2x【解答】解：∵x＜1，∴x﹣2＜﹣1＜0，﹣x＞﹣1，∴4﹣x＞﹣1+4，即4﹣x＞3＞0，∴(x−2)2+|4﹣x|＝|x﹣2|+4﹣x＝﹣（x﹣2）+4﹣x＝﹣x+2+4﹣x＝6﹣2x【变式4-4】若x，y都是实数，且满足y＜x−1+1−x【分析】要化简，先确定题中各式在实数范围内有意义，应把握好以下几点：一是分母不能为零；二是二次根号下为非负数．【解答】解：依题意，有x−1≥01−x≥0，得x＝1，此时y＜12，所以1﹣所以|1−y|y−1【变式4-5】已知一个三角形的三边长分别为5，2a﹣1，10，化简：(a−8)2【分析】先根据三角形的三边关系判断a的取值范围，再化简求值．【解答】解：由题意得：10﹣5＜2a﹣1＜10+5，解得：3＜a＜8，∴(a−8)2−|a−2|＝8﹣a﹣（a﹣2）＝8﹣a﹣a+2＝10﹣2【变式4-6】若化简|1﹣x|−x2−8x+16的结果为2x﹣5，则x的取值范围是【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．【解答】解：∵|1﹣x|−x2−8x+16＝|1﹣x|−(x−4)则|1﹣x|−(x−4)2=x﹣1+x﹣4，即1﹣x≤0，x﹣4≤0，解得1≤【变式4-7】已知实数a满足|2010−a|+a−2011=a，求a﹣2010【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解．【解答】解：根据题意得，a﹣2011≥0，解得a≥2011，去掉绝对值号得，a﹣2010+a−2011=a，所以，两边平方得，a﹣2011＝20102，所以，a﹣20102＝2011．题型五利用数轴和二次根式的性质进行化简题型五利用数轴和二次根式的性质进行化简【例题5】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+(a−bA．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：由图可知：a＜0，a﹣b＜0，则|a|+(a−b)2＝﹣a﹣（a﹣b）＝﹣2a+b解题技巧提炼本题运用了数学结合思想，利用数轴由“形”的位置来确定“数（式）”的符号，充分体现了“数”与“形”是一个互相依存、不可分割的有机整体，解答含有二次根式的化简类题目的关键是确保去掉根号后的结果是非负数.【变式5-1】已知实数a，b在数轴上的对应点如图，则(a+b)2−(a−b)【分析】利用数轴得出a+b＜0，a﹣b＜0，a＜0，进而化简得出即可．【解答】解：由数轴可得出：a+b＜0，a﹣b＜0，a＜0，故(a+b)2−(a−b)2−a2＝﹣（a+b）+（a﹣b）+a＝a﹣【变式5-2】如果数轴上表示a、b两个数的点都在原点的左侧，且a在b的左侧，则|a﹣b|+(a+b)2的值为【分析】先根据数轴确定a，b的大小．再运用二次根式的性质化简．【解答】解：∵a、b两个数的点都在原点的左侧，且a在b的左侧，即a＜b＜0，∴|a﹣b|+(a+b)2=b﹣a﹣（a+b）＝b﹣a﹣a﹣b＝﹣2a，故答案为：【变式5-3】如图，实数a、b在数轴上的位置，化简a2【分析】根据数轴表示数的方法得到a＜0＜b，再根据二次根式的性质得原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，然后去绝对值后合并即可．【解答】解：∵a＜0＜b，∴原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b+a﹣b＝﹣2b．【变式5-4】实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简a+|a+b|−c2−|b【分析】根据数轴，确定a、b、c的正负，确定a+b、b﹣c的正负，然后再化简．【解答】解：由数轴知：a＞0，b＜c＜0，|a|＜|b|，∵a+b＜0，b﹣c＜0∴原式＝a﹣（a+b）﹣|c|+（b﹣c）＝a﹣a﹣b+c+b﹣c＝0．【变式5-5】已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简a2【分析】直接利用数轴得出a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，进而化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，故原式＝﹣a+（a+b）+c﹣a﹣b﹣c＝﹣a．题型六代数式题型六代数式【例题6】下列各式中，代数式有（）①m；②4a；③mx+y；④π；⑤ab=ba；⑥S=12（a+b）h；⑦3.6×103πa2；⑧22＜32A．8个B．7个C．6个D．5个【分析】代数式即用加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等运算连接起来的式子，代数式中不应含等号或不等号等；再根据单独算数字和字母也是代数式，逐一分析即可解答．【解答】解：①m是代数式；②4a是代数式；③mx+y是代数式；④π是代数式；⑤ab=ba是等式；⑥S=12（a+b）h是等式；⑦3.6×103πa2是代数式；⑧22＜32解题技巧提炼用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式.列代数式的方法有：（1）直接法；（2）公式法；（3）探究规律法.代数式书写时要注意规范写法.【变式6-1】下列代数式书写正确的是（）A．a4 B．m÷n C．112x D．x（b【分析】直接根据代数式的书写规范进行判断即可．【解答】解：A．a4应写成4a，故不符合题意；B．m÷n应写成mnC.112x的正确写法是32x，故不符合题意；D．x（b+c）书写正确，符合题意．故选：【变式6-2】用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是（）A．2（a﹣b）2 B．2a﹣b2 C．（2a﹣b）2 D．（a﹣2b）2【分析】先求倍数，然后求差，再求平方．【解答】解：依题意得：（2a﹣b）2．故选：C．【变式6-3】在下列各式中，是代数式的有（）①﹣2x2；②x+y=0

；  

③4x2﹣1；

④0

；  

⑤x﹣1＞0

； 

⑥3x+2A．6个B．4个C．3个D．2个【分析】代数式是指把数或表示数的字母用＋、﹣、×、÷连接起来的式子，而对于带有=、＞、＜等数量关系的式子则不是代数式．【解答】解：①是代数式；②是等式，不是代数式；③④是代数式；⑤是不等式，不是代数式⑥是代数式；∴共4个．故选：B．【变式6-4】代数式a2−1A．a的平方与b的倒数的差 B．a与b的倒数的差的平方 C．a的平方与b的差的倒数 D．a与b的差的平方的倒数【分析】根据代数式的字母表示，用文字解释代数式的意义即可．【解答】解：因为代数式a2−1b计算过程是先算乘方，再算减法，所以代数式a2a的平方与b的倒数的差．故选：A．【变式6-5】用字母表示如图所示的阴影部分的面积是（）A．b(a+b)−14π(aC．ab−12π(【分析】用长为（a+b），宽为b的长方形的面积减去两个半径分别为a、b的14【解答】解：b（a+b）−14π（a2+b2）．故选：01二次根式随堂检测1.要使式子有意义，则a的取值范围是（）A．a≠0 B．a≥﹣2 C．a＞﹣2且a≠0 D．a≥﹣2且a≠0【分析】根据分子的被开方数不能为负数，分母不能为零，可得答案．【解答】解：由题意得，a+2≥0且a≠0，即a≥﹣2且a≠0，故选：D．2.下列各式中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的定义进行判断．【解答】解：A．被开方数为负数，不是二次根式，故此选项不合题意；B．根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意；C．a﹣1的值不确定，被开方数的符号也不确定，不能确定是二次根式，故此选项不合题意；D．被开方数恒为正数，是二次根式，故此选项符合题意．故选：D．3.已知y＝++4，yx的平方根是（）A．16 B．8 C．±4 D．±2【分析】根据二次根式有意义的条件可得，据此可得x的值，进而得出y的值，再代入所求式子计算即可．【解答】解：∵y＝++4，∴，解得x＝2，∴y＝4，∴yx＝42＝16．∴yx的平方根是±4．故选：C．4.已知n是一个正整数，且是整数，那么n的最小值是（）A．6 B．36 C．3 D．2【分析】先把＝2，从而判断出6n是完全平方数，所以得出答案正整数n的最小值是6．【解答】解：＝2，则6n是完全平方数，∴正整数n的最小值是6，故选：A．5.已知a满足|2018﹣a|+＝a，则a﹣20182＝（）A．0 B．1 C．2018 D．2019【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出a的取值范围，化简绝对值即可得出答案．【解答】解：根据题意得：a﹣2019≥0，∴a≥2019，∴原式可变形为：a﹣2018+＝a，∴＝2018，∴a﹣2019＝20182，∴a﹣20182＝2019．故选：D．6.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＜4．【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为0，即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意得：4﹣x＞0，解得x＜4，