（预习）人教A版数学高一寒假提升学与练+随堂检测04 平面向量的应用（教师版）

第页专题04平面向量的应用思维导图核心考点聚焦考点一：向量在平面几何中的应用考点二：向量在解析几何中的应用考点三：向量在物理学的应用考点四：余弦定理的应用考点五：正弦定理的应用考点六：利用正余弦定理判断三角形的形状考点七：正余弦定理举例应用考点八：面积与周长问题考点九：解三角形范围与最值问题考点十：三角形多解问题知识点一：向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）．（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）．（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．知识点诠释：用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．知识点二：向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．常见解析几何问题及应对方法：（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．（4）夹角问题：利用公式．知识点三：向量在物理中的应用（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．知识点四、余弦定理三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：余弦定理的变形公式：知识点五、利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角．知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．知识点六、正弦定理正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：知识点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明（为的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一．（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：=1\*GB3①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；=2\*GB3②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边．知识点七、解三角形的概念一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角．在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角．1、正弦定理在解三角形中的应用利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；2、利用正、余弦定理解三角形已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论．在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：①若A为锐角时：一解一解两解无解②若A为直角或钝角时：3、三角形的形状的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：，互余关系：，，；（2）等腰三角形，；用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；4、解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；（3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题．5、解三角形应用题的基本思路实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解考点剖析考点一：向量在平面几何中的应用例1．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．

(1)求的余弦值．(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．【解析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．则．由于就是的夹角．的余弦值为．（2）设．．由题得．①当点在上时，设，；②当点在上时，设，，舍去．综上，存在．例2．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．

(1)请用，表示向量；(2)若，设，的夹角为，若，求证：．【解析】（1），由题意得，所以．（2）由题意，．∵，，∴．∴，∴．变式1．在四边形中，，，，其中，为不共线的向量．(1)判断四边形的形状，并给出证明；(2)若，，与的夹角为，为中点，求．【解析】（1）因为，，所以，又因为，所以，又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形．（2）因为，所以，因为为中点，所以，所以，所以，所以，因为，所以．考点二：向量在解析几何中的应用例3．如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点.(1)求向量与向量的夹角；(2)若O是线段上任意一点，求的最小值.【解析】（1）由题意可得，，，.因为，故向量与向量的夹角为.（2）.当时，取得最小值，且最小值为.例4．梯形中，，，，，点在线段上运动.(1)当点是线段的中点时，求；(2)求的最大值.【解析】（1）根据题意，作图如下：由题意，，.（2）设，，所以时，的最大值是．变式2．如图，在平面直角坐标系中，，，．(1)求点B，C的坐标；(2)判断四边形的形状，并求出其周长．【解析】（1）在平面直角坐标系中，由，知，又，，设，则，，点．又，，点．（2）由（1）可得，，，．，．又，，四边形为等腰梯形．，，，，四边形的周长为8．考点三：向量在物理学的应用例5．马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（

）（参考数据：取重力加速度大小为，）A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5【答案】C【解析】设两只胳膊的拉力分别为，，，，，，解得．小猴子的体重约为．故选：C．变式3．若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据三力平衡得，即，两边同时平方得，即，即，解得.故选：C.考点四：余弦定理的应用例6．在中，角A，，的对边分别是，，，且面积为，若，则角等于(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可知，，由余弦定理可知，，，∵，﹒故选：B﹒变式4．已知中，角的对边分别为，，则角．【答案】【解析】因为，则，即，可得，且，所以.故答案为：.变式5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则C＝【答案】.【解析】由余弦定理得，即，所以，又，所以，可得．故答案为：考点五：正弦定理的应用例7．在中，若，则.【答案】2【解析】因为，，所以.故答案为：2.变式6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bc＝20，△ABC的面积为5，且其外接圆的半径为4，则a＝．【答案】4【解析】由，有，再由正弦定理有，即．故答案为：4.变式7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则．【答案】2【解析】由，得，即，所以，因为，所以，．由正弦定理，得．故答案为：2.考点六：利用正余弦定理判断三角形的形状例8．在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【解析】因为，所以由余弦定理得，所以，所以，所以为等腰三角形.故选：A.例9．设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（

）A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形【答案】B【解析】因为，由正弦定理可得，即，因为，为三角形的内角，所以或，即或，同理可得或；当时，不可能成立（三内角和不等于），当时，也不可能成立，所以只有，即为等边三角形．故选：B变式8．的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（

）A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【解析】因为，所以，整理得，又，所以，即，即，又，所以，得，因为，所以，所以，，故为等腰直角三角形.故选：D考点七：正余弦定理举例应用例10．某数学兴趣小组欲测量一下校内旗杆顶部M和教学楼M₁顶部N之间的距离，已知旗杆AM高15m，教学楼BN高21m，在与A,B同一水平面C处测得的旗杆顶部M的仰角为，教学楼顶部N的仰角为，，则M,N之间的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，过点作于点，则，在中，∴，在中，∴，在中，，由余弦定理得，，∴,在Rt中，，由勾股定理得，,故选：D.变式9．金山寺位于江苏省镇江市润州区，始建于东晋时期，是中国佛教禅宗名寺，民间传说《白蛇传》中的金山寺即指此，与普陀寺､文殊寺､大明寺并列为中国的四大名寺，其中慈寿塔为金山标志，砖木结构，七级八面，矗立于数重楼台殿宇之上，如图：记慈寿塔塔高OT，某测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得.，，在B点处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为（

）

A．36m B． C．45m D．【答案】A【解析】在中，因为.，所以，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，故选：A变式10．如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（

）

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】B【解析】在三角形中，，，由正弦定理得，，在三角形中，，所以，所以，由余弦定理得海里.故选：B考点八：面积与周长问题例11．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.(1)求；(2)若的面积为，求的周长.【解析】（1）由正弦定理得，则.（2），得，由余弦定理，即，则，所以，的周长为.变式11．在中，内角、、所对的边分别是，，，且．(1)求；(2)已知，，求的面积.【解析】（1）方法1：，由正弦定理：可得；而sinB>0，故；又，，，且，，，.方法2：，由正弦定理：，可得；即；其中，，即；，，.（2）方法1：由正弦定理：，由余弦定理：，故；解得由（1）可知，，.方法2：，，，得，，，，，即，等边三角形，.考点九：解三角形范围与最值问题例12．已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且______．(1)求角；(2)求面积的取值范围．在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）若选①：∵，，∴，∴，∵，∴．若选②：∵，∴，∴，∴，∵，∴．（2）由正弦定理知：，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．例13．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，求面积的最大值.【解析】（1）由已知，即，由正弦边角关系得，所以，又，所以.（2）由余弦定理，得，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，故的面积的最大值为.变式12．已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.【解析】（Ⅰ）由题意，函数，所以函数的最小正周期为，令，解得，所以函数的单调递增区间是，.（Ⅱ）由（1）可得，因为，可得，由正弦定理可知，所以，，由及为锐角三角形，解得，则.因为，可得，所以，所以.变式13．已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且（1）求角C；（2）若，求的最大值.【解析】（1）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴.（2）设的外接圆半径为R，∵，∴，∴.∵，∴，当，即时，，即的最大值为4考点十：三角形多解问题例14．在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】对于A项，由，，可得，所以三角形只有一解；对于B项，由，，，可得，所以，此时三角形有唯一的解；对于C项，由正弦定理，可得，可得B有两解，所以三角形有两解；对于D项，由余弦定理得，可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．故选：C．例15．在中角所对的边分别为，若，，，则（

）A．当时， B．当时，有两个解C．当时，只有一个解 D．对一切，都有解【答案】C【解析】因为，，，所以由正弦定理，即，当时，又，所以或，故A错误；当时，又，此时无解，故B、D错误；当时，则，又，此时只有一解，即只有一个解，故C正确；故选：C变式14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中，，，，由正弦定理得，得，解得，因为满足条件的三角形有两个，所以，所以，即，解得，即x的取值范围为，故选：B变式15．已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（

）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】由正弦定理可得，若满足条件的三角形有且只有一个，则或，所以或，可得或.故选：D.过关检测一、单选题1．在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，且，所以，所以，因为，所以，故选：A2．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则角为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，又，所以.故选：B3．在中，已知，，，则边的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，可得，由正弦定理可得.故选：B.4．已知的内角的对边分别是，面积为S，且，则角的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，则，所以，又，则.故选：A5．灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（

）A．45米 B．50米 C．55米 D．60米【答案】B【解析】设米，在中，，则，在中，，则，因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得(米).故选：B6．在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则的面积为（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】∵，∴∴，∵，∴，∴，∴，故选：D.7．在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由，得，因为，，所以.由余弦定理得，解得，所以.故选：C.8．设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】不妨设，如图所示，根据题意则，即点O是的重心，取的中点，连接，则三点共线，且，所以边上的高是边上的高的倍，，即，同理可得：，，所以有，又因为，那么，故的面积与的面积的比值为.故选：A.二、多选题9．在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】A选项，由正弦定理得，A选项正确.B选项，由正弦定理得，而当时，则或，则或，所以B选项错误.C选项，由正弦定理得，所以，所以C选项正确.D选项，，由正弦定理得，所以D选项正确.故选：ACD10．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（

）A．处与处之间的距离是B．灯塔与处之间的距离是C．灯塔在处的西偏南D．在灯塔的北偏西【答案】AC【解析】在中，由已知得，，则，由正弦定理得，所以A处与D处之间的距离为，故A正确；在中，由余弦定理得，又，解得．所以灯塔C与D处之间的距离为，故B错误；，，灯塔C在D处的西偏南，故C正确；灯塔B在D的南偏东，D在灯塔B的北偏西，故D错误；故选：AC11．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（

）A． B． C．3 D．【答案】AB【解析】，，，由余弦定理，有，得，即，解得或.故选：AB12．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，．（）A．面积的最大值为B．的最大值为C．的取值范围为D．【答案】AB【解析】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，即的最大值为4，则面积，即面积的最大值为，A正确；对于B，由正弦定理得，则，，，显然，有，，则当，即时，取得最大值为，B正确；对于C，，由，得，因此的取值范围为，C错误；对于D，由余弦定理得，D错误.故选：AB三、填空题13．在中，已知，，，则.【答案】/【解析】已知，，，由余弦定理得，，解得.故答案为：.14．在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则该三角形为三角形.【答案】直角【解析】∵，∴，∵，∴该三角形为直角三角形.故答案为：直角.15．在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为.【答案】【解析】由图可得，要使有两解，则，即，解得.故答案为：.16．在中，，点D在线段上，且满足，，则等于.【答案】.【解析】在中，角对应的边分别为，点D在线段上，且满足，所以，又，所以由角平分线定理可得，所以，则，又，所以，则，由正弦定理得.故答案为：.四、解答题17．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.(1)求的值；(2)若，，是的中点，求.【解析】（1）根据余弦定理可得，，即，，所以；（2）由（1）可知，，所以，因为是边的中点,所以,，所以.18．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.(1)求A；(2)若，，求的面积.【解析】（1）因为，所以，由正弦定理得,又，从而,因为，所以.（2）由余弦定理得,又，，，所以，即，因为，所以，设的面积为，.19．在中，AD为BC边上的中线，，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并完成下面问题．条件①：；条件②：条件③：的面积为2．(1)求AD的长；(2)求AB的长．注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）选条件①：记．在中，，所以，因为，所以．选条件②：，因为，所以，在中，，显然，因为，所以，因此，不符合三角形内角和定理，因此这样的三角形不存在；选条件③：的面积为2记．在中，，所以，，又因为，所以．（2）选条件①：在中，，所以．所以．在ABC中，，所以．选条件③：在中，，所以．所以．因为，所以，，即，解得．在ABC中，，所以．法二：取中点，因为，所以，，，所以20．已知锐角内角及对边，满足.(1)求的大小；(2)若，求周长的取值范围.【解析】（1）因为，由正弦定理可得，又因为，所以，，可得，由，可得.（2）因为，由正弦定理，可得，可得，因为锐角三角形中，所以，解得，所以，所以，可得.周长的取值范围为.21．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)若，求A；(2)若，求证：.【解析】（1）因为，所以由余弦定理得，所以，得，因为，所以，得，所以由余弦定理得，因为，所以；（2）证明：因为，所以，化简整理得，，解得或（舍去），所以由余弦定理得，所以，因为，所以由余弦定理得，整理得，所以，所以，得，所以.22．已知内角，，的对边长分别为，，，.(1)求；(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围.【解析】（1）由正弦定理得：，则由余弦定理得：，又，所以.（2）在中，因为，，由正弦定理得：，.又.又因为为锐角三角形，所以，，故，所以故，所以所以面积的取值范围是.平面向量的应用随堂检测1．在中，，则的值为（

）A． B．－ C．－ D．【答案】C【解析】因为，所以设，由余弦定理可得.故选：C.2．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（

）A． B．