2023-2024学年广东省深圳市富源学校高二上学期期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2023年秋季学期富源学校高二年级期中考试数学2023.11（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆的圆心为（）．A. B. C. D.2.经过两点、的直线方程都可以表示为（）A. B.C. D.3.过点和点的斜率是（）A. B. C. D.4.直线，若，则实数的值为（）A.0 B.1 C.0或1 D.或15.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.6.古希腊伟大的数学家阿基米德早在多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.如图，某种椭圆形镜子按照实际面积定价，每平方米元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为米且离心率为的椭圆，则小张要买的镜子的价格约为（）A.元 B.元 C.元 D.元7.若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（）A B. C. D.8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.直线的方程为：，则（

）A.直线恒过定点B.直线斜率必定存在C.时直线的倾斜角为D.时直线与两坐标轴围成的三角形面积为10.给出下列命题正确是（）A.直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直B.直线a，b方向向量，，若，，则直线a，b相交C.无论m取何实数，直线恒过一定点D.平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则，11.已知直线和圆，则下列说法正确的是（）A.存在，使得直线与圆相切B.若直线与圆交于两点，则的最小值为C.对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为D.当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点12.平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系中，，动点满足，其轨迹为曲线，则（）A.曲线的方程为 B.曲线关于原点对称C.面积的最大值为2 D.的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，若，则________.14.已知圆：与圆：相离，则整数m一个取值可以是______．15.在空间直角坐标系中，，则点到直线的距离为______.16.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17已知，；（1）若，求实数的值；（2）若，且，求的坐标．18.某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．19.如图，在直三棱柱中-ABC中，ABAC，AB=AC=2，=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与所成二面角的正弦值．20.已知圆C：．（1）过点向圆C作切线l，求切线l的方程；（2）若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值．21.四棱锥底面为平行四边形，且，平面.（1）在棱上是否存在点，使得平面.若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.（2）求直线与平面所成角的正弦值.22.阿基米德(公元前287年公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.2023年秋季学期富源学校高二年级期中考试数学2023.11（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆的圆心为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由，得，所以圆心为，故选：A2.经过两点、的直线方程都可以表示为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据两点式直线方程即可求解.【详解】当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用，由于可能相等，所以只有选项C满足包括与轴平行的直线.故选:C3.过点和点的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据斜率公式计算可得；【详解】解：过点和点的斜率故选：A【点睛】本题考查两点的斜率公式的应用，属于基础题.4.直线，若，则实数的值为（）A.0 B.1 C.0或1 D.或1【答案】C【解析】【分析】根据直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】，即，解得或.故选：C.5.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出面的法向量，再求直线与面所成角的正弦值.【详解】因为平面，面，底面为矩形，所以两两垂直，设，以分别为轴建立空间直角坐标系如图，则所以，设平面的法向量为，所以，令，则，所以取，直线与面所成角的正弦值为.故选：A6.古希腊伟大的数学家阿基米德早在多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.如图，某种椭圆形镜子按照实际面积定价，每平方米元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为米且离心率为的椭圆，则小张要买的镜子的价格约为（）A.元 B.元 C.元 D.元【答案】B【解析】【分析】根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，将乘以椭圆的面积，即可得出结果.详解】由题意可得，解得，所以，小张要买的镜子的价格为（元），故选：B.7.若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】两直线均过定点且垂直，则交点P在以两定点为直径的圆上，由数形结合可求最值.【详解】两直线满足，所以两直线垂直，由得，过定点，由得，过定点，故交点P在以AB为直径的圆C上，其中，如图所示，则线段OP的最大值为.故选：B8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图，易得，，，因为平面，平面，所以平面，同理平面，又因为平面，，所以平面平面.因为平面，所以H为线段FG上的点.由平面，平面，得，又，则，由平面，得平面，因为，所以平面，，.因为，所以，，.所以.因为，所以.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.直线的方程为：，则（

）A.直线恒过定点B.直线斜率必定存在C.时直线的倾斜角为D.时直线与两坐标轴围成的三角形面积为【答案】AD【解析】【分析】对于，把点代入直线方程验证即可；对于，当时，直线的斜率不存在，故错误；对于，根据解析式，求出斜率，即可求得倾斜角；对于，求出直线在坐标轴上的坐标，即可计算三角形的面积.【详解】因为直线的方程为：，把代入得，恒成立，故正确；当时，直线方程为，直线的斜率不存在，故错误；当时，直线的斜率，倾斜角为，故错误；当时，直线方程为，则与轴的交点为，与轴的交点为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故正确，故选：10.给出下列命题正确的是（）A.直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直B.直线a，b的方向向量，，若，，则直线a，b相交C.无论m取何实数，直线恒过一定点D.平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则，【答案】ACD【解析】【分析】由即可判断AB，由直线方程即可判断C，由向量是平面的法向量，即可判断D.【详解】对于选项A：，所以，即l与m垂直，故A正确；对于选项B：，夹角为钝角，可能是相交也可能是异面，故B错误；对于选项C：直线可化简为：，显然无论m取何实数，直线恒过定点，故C正确；对于选项D：因为向量是平面的法向量，所以有，又，所以有，∴，，故D正确.故选：ACD.11.已知直线和圆，则下列说法正确的是（）A.存在，使得直线与圆相切B.若直线与圆交于两点，则的最小值为C.对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为D.当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点【答案】BCD【解析】【分析】根据直线经过的定点在圆内，可判断A不正确；根据圆心到直线的距离的最大值求出的最小值，可判断B正确；根据圆心到直线的距离，可判断C正确；将曲线的方程化为，可判断D正确.【详解】对于A，因为直线过定点，且，即定点在圆内，所以不存在，使得直线与圆相切，故A不正确；对于B，因为圆心到直线的距离的最大值为，所以的最小值为，故B正确；对于C，因为圆心到直线的距离，所以，所以对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为，故C正确；对于D，当时，直线，曲线，即就是过直线与圆的交点的曲线方程，故D正确.故选：BCD.12.平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系中，，动点满足，其轨迹为曲线，则（）A.曲线的方程为 B.曲线关于原点对称C.面积的最大值为2 D.的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】设，根据化简得到A正确，根据对称性得到B正确，计算，得到面积的最大值为，错误，确定，，D正确，得到答案.【详解】对选项A：设，则，即，整理得到，即，正确；对选项B：当点在曲线，即，则也在曲线，正确；对选项C：设，，则，故，面积的最大值为，错误；对选项D：，解得，，故，正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，若，则________.【答案】【解析】【分析】求出，，，利用空间向量夹角公式列方程，解方程即可求解【详解】因为，，所以，，，所以，整理可得：，所以，所以，解得：，故答案为：14.已知圆：与圆：相离，则整数m的一个取值可以是______．【答案】2##3##4【解析】【分析】写出两圆的圆心及半径，利用两点之间坐标公式求出圆心的距离，利用两圆相离的关系列出不等式，求出整数m的值.【详解】解：由题意在圆：与圆：中，圆的圆心为，圆的圆心为，圆的半径为3，圆的半径为，∴两圆圆心的距离为．∴，解得，∴整数m的取值可能是2，3，4．故答案为：2或3或4.15.在空间直角坐标系中，，则点到直线的距离为______.【答案】【解析】【分析】先求出直线的单位方向向量，然后利用点到直线距离的向量公式求解即可.【详解】取，,则，,所以点到直线的距离为.故答案为：16.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由于该杯子中所盛水的体积为玻璃杯容积的一半，所以当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆的长轴端点分别位于杯底及杯口，根据已知数据可求出离心率的最大值，从而可得结果.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆长轴长为（厘米），短轴长为6厘米，∴椭圆离心率，∴.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知，；（1）若，求实数的值；（2）若，且，求的坐标．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用，即可计算求解.（2）由已知，可设，根据，列方程即可求出.【小问1详解】由已知得，，得，解得【小问2详解】设，由，可得，得到，求得，，则或18.某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．【答案】5.39m【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长.【详解】以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，易知点A，B，P的坐标分别为，，．设圆拱所在的圆的方程是．因为点A，B，P在所求的圆上，所以，解得．故圆拱所在的圆的方程是．将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）；即支柱的长约为5.39m．19.如图，在直三棱柱中-ABC中，ABAC，AB=AC=2，=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与所成二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，异面直线与所成角的余弦值为．（2）设平面的法向量为，，，即且，令，则，是平面的一个法向量，取平面的一个法向量为，设平面与平面夹角的大小为，由，得，故平面与平面夹角的正弦值为．20.已知圆C：．（1）过点向圆C作切线l，求切线l的方程；（2）若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值；（2）确定直线与圆相离，由切线长公式最小即可，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值．【小问1详解】若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为．若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即．因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得，所以切线l的方程为，即．综上，切线l的方程为或．【小问2详解】圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离，因为，所以当最小时，有最小值．当时，最小，最小值为，所以的最小值为．21.四棱锥底面为平行四边形，且，平面.（1）在棱上是否存在点，使得平面.若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）存在点，且，理由