2024-2025学年四川省广安市友谊中学实验学校九年级（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省广安市友谊中学实验学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.方程3x2−6x−9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为A.−6；3；−9 B.3；−6；−9 C.3；−6；9 D.−3；−6；92.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.3.用配方法解一元二次方程x2−8x+10=0配方后得到的方程是(

)A.(x+8)2=54 B.(x−8)2=544.平移二次函数y=x2的图象，其顶点刚好经过点(2,3)，则平移后的函数解析式为(

)A.y=(x−2)2+3 B.y=(x+2)2−35.有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC/​/DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为(

)

A.15° B.30° C.45° D.60°6.关于x的一元二次方程kx2+6x−2=0有两个实数根，则k的取值范围是A.k≥−92 B.k>−92 C.k≥−92且7.如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，若∠BOD=84°，则∠ACO的度数为(

)A.42°

B.44°

C.46°

D.48°8.公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解方法：先构造边长为x的正方形ABCD，再分别以BC，CD为边作另一边长5的长方形，最后得到四边形AIFH是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列一元二次方程(    )的解A.x2+10x=25 B.x2+10x=64 C.9.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以点A为圆心，AD为半径的弧交BC于点D′，则阴影部分的扇形面积是(

)A.4π3B.π2

C.π310.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的图象如图所示，下列结论：

①abc<0；

②3a+c<0；

③若点(52,y1)(−32,y2)在该二次函数的图象上，则y1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.直角坐标系中，点P(a,3)关于原点的对称点为Q(2,−3)，则a=______．12.抛物线y=−2(x+1)2+313.若m是方程x2−3x−2=0的根，则2m14.如图，△ABC内接于⊙O，圆的半径为6，∠BAC=60°，则弦BC的长度为______．15.如图，正方形ABCD的边长为4，将边CD绕着点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE，DE，点G为线段AE的中点，连接DG并延长，交BC于点F，则CF的长为______．16.在平面直角坐标系中，点C的坐标为(1,0)，Rt△ABC的直角边BC与x轴重合，AC//y轴，将Rt△ABC依次绕着顶点B，A，C的顺序，沿着顺时针方向在x轴上作无滑动的旋转，顶点B，A，C旋转后的对应点依次为点B1，A1，C1，⋯⋯，按照这种方式依次旋转下去，若BC=3，AC=4，则点B三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算：1818.(本小题8分)

解方程：

(1)x2−4x−5=0；

(2)2(x−119.(本小题8分)

如图，△AGB与△CGD关于点G中心对称，若点E，F分别在GA、GC上，且AF=CE，求证：BF=DE．20.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2分别交x轴和y轴于点A，B，直线CD交x轴正半轴于点C，交AB于点D(1,m)，OC=3．

(1)求直线CD的函数解析式；

(2)若P是直线CD上一点，且使得S△AOP=S△AOB，直接写出点21.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,4)，B(1,2)，C(5,3)．

(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

(2)以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，在坐标系中画出22.(本小题8分)

某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg，销售价每上涨1元，月销售量就减少10kg．

(1)直接写出月销售利润y与销售价x之间的函数关系式；

(2)当销售单价定为55元时，求此时销售利润y的值；

(3)若该商店想要获得不低于8000元的月销售利润，该如何定价？23.(本小题8分)

图1为广安某新建公园的抛物线形拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度AB=24米时，拱顶离水面的距离为CD=4米．

当地政府拟在公园投放游船供游客乘坐，图3是游船载重最少时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形GHIJ，船顶为等腰三角形EFK.测得相关数据如下：EF=EK=1.7米，FK=3米，GH=IJ=1.26米，FG=JK=0.4米.为确保安全，拟在桥底P，Q两处设置航行警戒线，要求：

①游船底部HI在点P，Q之间通行；

②载重最少时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米.若以AB所在直线为x轴，点D为原点建立直角坐标系，请解答以下问题：

(1)求这条抛物线的函数表达式；

(2)求警戒线之间宽度PQ的最大值.(当PQ最大时，船身H与P重合，或I与Q重合)24.(本小题8分)

实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖(图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半)，请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案.(阴影部分用斜线画)

(1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形；

(2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同.(两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案)25.(本小题8分)

如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，过点A作AM⊥BC于点M，交过点C的直线于点G，连接DA并延长，交直线CG于点N，且AN=AG．

(1)求证：GC是⊙O的切线；

(2)若AE=22，OF=1，求⊙O的半径和AM的长．26.(本小题8分)

如图，抛物线y=−x2+bx+c与直线y=kx(k≠0)交于A，B(2,3)两点，顶点为(1,4)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，点P是直线AB上方抛物线上一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；

(3)如图2，点C，E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点Q从原点开始沿x轴负半轴运动，连接FQ，过点C作CN⊥FQ，垂足为N，CN交y轴于点P，点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得△MPQ为等边三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.B

6.C

7.D

8.C

9.A

10.D

11.−2

12.(−1,3)

13.5

14.615.8−416.(12157,3)

17.解：原式=32−3+1+2−1

18.解：(1)x2−4x−5=0，

(x+1)(x−5)=0，

∴x+1=0或x−5=0，

∴x1=−1，x2=5；

(2)2(x−1)2−18=0，

2(x−1)2=18，

(x−1)19.证明：因为△AGB与△CGD关于点G中心对称，

所以△AGB≌△CGD，

所以AG=CG，BG=DG，

因为AF=CE，

则AF−EF=CE−EF，

所以AE=CF，

因为AG=CG，

所以AG−AE=CG−CF，

即EG=FG，

因为∠BGF=∠DGE，BG=DG，

所以△BGF≌△DGE(SAS)，

则BF=DE．

20.解：(1)由条件可知D(1,3)，

∵OC=3，

∴C(3,0)，

设直线CD的函数解析式为y=kx+b，将C(3,0)，D(1,3)代入得：

k+b=33k+b=0，解得k=−32b=92，

∴y=−32x+92．

(2)∵直线y=x+2，

∴A(−2,0)，B(0,2)，

∴S△AOB=12×2×2=2，

∵直线CD的函数解析式为y=−32x+921.解：(1)△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图1所示；

(2)如图2，△A2B2C2即为所求；

(3)如图22.解：(1)当销售单价定为每千克x元时，50元/千克销售，一个月可售出500kg，销售价每上涨1元，月销售量就减少10kg．

∴月销售量为：[500−(x−50)×10]千克，

每千克的销售利润是：(x−40)元，

所以月销售利润为：y=(x−40)[500−(x−50)×10]=−10x2+1400x−40000，

∴y与x的函数解析式为：y=−10x2+1400x−40000；

(2)由(1)得：y=−10x2+1400x−40000=−10(x−70)2+9000，

当x=55时，y=−10(55−70)2+9000=6750(元)，

∴当销售价为55元时，销售利润为6750元；

(3)由(1)得：y=−10(x−70)2+9000，

∵−10<0，

∴当x<70时，y随x的增大而增大，当x>70时，y随x的增大而减小，

令y=8000，有：−10(x−70)223.解：(1)抛物线形拱桥横截面示意图，水面宽度AB=24米时，拱顶离水面的距离为CD=4米，

∴C(0,4)，B(12,0)，

设抛物线解析式为y=ax2+4，把点B的坐标代入得：

a×122+4=0，

∴a=−136，

∴抛物线的解析式为y=−136x2+4；

(2)如图，过点E作EM⊥FK，垂足为M，由题意知：EF=EK=1.7米，FK=3米，

∴MF=MK=1.5米，∠EMF=∠EMK=90°，

∴EM=EF2−MF2=1．72−1．52=0.8(米)，

∵GH=IJ=1.26米，FG=JK=0.4米，

∴GM=MJ=1.5−0.4=1.1(米)，

∴当PQ24.解：(1)如图所示；

，

；

(2)如图所示．

．

25.(1)证明：∵AB⊥CD，AM⊥BC，

∴∠AED=∠AEF=∠AMC=90°，

∵∠AFE=∠CFM，

∴∠EAF=∠FCM，

∵BD=BD，

∴∠BAD=∠BCD，

∴∠BAD=∠BAF，

∵AN=AG，

∴∠N=∠G，

∴∠DAG=∠BAD+∠BAF=∠N+∠G，

∴∠BAD=∠BAF=∠N=∠G，

∴AB//GN，

∴CG⊥CD，

∵OC是⊙O的半径，

∴GC是⊙O的切线；

(2)解：连接OA，AC，由(1)证知：∠BAD=∠BAF，∠AED=∠AEF=90°，

∵AE=AE，

在△AED与△AEF中，

∠BAD=∠BAFAE=AE∠AED=∠AEF=90°，

∴△AED≌△AEF(ASA)，

∴DE=EF，

设OE=x，则DE=EF=x+1，

∴AO=2x+1，

∵AO2=AE2+OE2，

∴(2x+1)2=x2+(22)2，

∴x1=1,x2=−73(舍去)，

26.解：(1)把B(2,3)，顶点(1,4)代入y=−x2+bx+c，得：

−4+2b+c=3−1+b+c=4，

解得：b=2c=3，

∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；

(2)把B(2,3)代入y=kx，得：3=2k，

解得：k=32，

∴y=32x，

联立得：y=32xy=−x2+2x+3，

解得：x1=−32y1=−94，x2=2y2=3，

∴A(−32,−94)，

过点P作PC/​/y轴，交AB于C，如图1，

设点P的坐标为(x,−x2+2x+3)，则C(x,3