松原市长岭县2024年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案

6/28松原市长岭县2024年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题每小题2分，共20分。1．（2分）冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形，故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2分）在平面直角坐标系中，若点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1），则a+b的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用关于x轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：因为点P（a﹣3，1）与点Q（4，所以a﹣3＝2，b+7＝﹣1，所以a＝5，b＝﹣3，则a+b＝5﹣2＝8．故选：C．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆关于x轴对称点的符号关系是解题关键．3．（2分）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．8【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜2+3，即2＜a＜7，即符合的只有3，故选：C．【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．4．（2分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，若∠B＝40°，∠C＝60°则∠ADE的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义和已知得到∠BAD＝∠DAC，由此解答即可．【解答】解：因为∠B＝40°，∠C＝60°，所以∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC＝40°，因为DE⊥AC，所以∠AED＝90°，所以∠ADE＝90°﹣∠DAE＝50°，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的定义、三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°、角平分线的定义是解题的关键．5．（2分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，不能证明△ABC和△DCB全等的是（）A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D【分析】根据证明三角形全等的条件AAS，SAS，ASA，SSS逐一验证选项即可．【解答】解：在△ABC和△DCB中，因为∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA），故A能证明；B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等，故B不能证明；C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SAS），故C能证明；D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS），故D能证明；故选：B．【点评】本题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，则CF的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】连接AF，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠B＝∠C＝30°，利用线段垂直平分线的性质可求解∠BAF＝30°，即可求解∠FAC＝90°，再利用含30°角的直角三角形的性质可求解CF的长．【解答】解：连接AF，因为AB＝AC，∠BAC＝120°，所以∠B＝∠C＝30°，因为EF垂直平分AB，所以BF＝AF，所以∠BAF＝∠B＝30°，所以∠CAF＝120°﹣30°＝90°，所以CF＝2AF＝2BF，因为BF＝2，所以CF＝4．故选：B．二、填空题每小题3分，共24分。7．（3分）一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是四边形．【分析】首先求得外角的度数，根据正多边形外角和＝360°，利用360°除以外角的度数即可解决问题．【解答】解：因为每个外角都等于与它相邻的内角，所以每个外角的度数是：90°，则边数是：＝4．故答案为：四．【点评】本题主要考查了多边形的外角和等于360度，难度适中．8．（3分）等腰三角形的两边长分别为8，6，这个三角形的周长为20或22．【分析】根据三角形三边关系分类计算周长即可．【解答】解：根据三角形三边关系，①当8为腰时，周长＝8+8+6＝22；②当6位腰时，周长＝4+6+8＝20；故答案为：20或22．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键．9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝70°，则∠1+∠2＝250°．【分析】首先求得∠B+∠A，然后利用四边形内角和定理即可求解．【解答】解：因为∠B+∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣70°＝110，所以∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣110°＝250°．故答案为：250°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及四边形的内角和，理解定理是关键．10．（3分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积是24，AE＝6则点B到ED的距离是2．【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积，即可解答．【解答】解：因为AD是BC上的中线，所以S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，因为BE是△ABD中AD边上的中线，所以S△ABE＝S△BED＝S△ABD，所以S△ABE＝S△ABC，因为△ABC的面积是24，所以S△ABE＝×24＝5．因为AE＝6，所以点B到ED的距离＝2，故答案为：4．【点评】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．11．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠A＝80°．【分析】直接利用角平分线的性质结合三角形内角和定理得出∠BOC＝90°+∠A，进而得出答案．【解答】解：因为BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，又因为∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，所以2∠OBC+2∠OCB+∠A＝180°，所以∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，又因为∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，所以90°﹣∠A+∠BOC＝180°，所以∠BOC＝90°+∠A，因为∠BOC＝130°，所以90°+∠A＝130°，解得：∠A＝80°．故答案为：80°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，正确得出∠BOC＝90°+∠A是解题关键．12．（3分）如图，某轮船以20海里/时的速度自西向东航行，在A处测得有一小岛P在北偏东60°的方向上，这时间得该小岛P在北偏东30°的方向上，则轮船在B处时与小岛P的距离是40海里．【分析】首先根据题意可得∠PAB的度数为30°，∠ABP的度数为120°，由三角形的内角和定理可得∠APB的度数；利用等腰三角形的性质可得PB＝AB，易得结果．【解答】解：因为∠DAP＝60°，所以∠PAB＝90°﹣60°＝30°，因为∠PBE＝30°，所以∠ABP＝90°+30°＝120°，所以∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝180°﹣30°﹣120°＝30°，因为∠PAB＝∠APB＝30°，所以△PAB为等腰三角形，所以PB＝AB＝20×2＝40（海里）所以B处时与小岛P的距离为40海里．故答案为：40．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角，等腰三角形的性质，证得△PAB为等腰三角形是解答此题的关键．13．（3分）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，点A的坐标为（﹣2，5），则线段DE的长为7．【分析】由等腰直角三角形的性质得出OA＝BO，∠AOB＝90°，证明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性质得出AD＝OE＝5，OD＝BE＝2，则可得出答案．【解答】解：因为A（﹣2，5），所以AD＝6，OD＝2，因为△ABO为等腰直角三角形，所以OA＝BO，∠AOB＝90°，所以∠AOD+∠DAO＝∠AOD+∠BOE＝90°，所以∠DAO＝∠BOE，在△ADO和△OEB中，，所以△ADO≌△OEB（AAS），所以AD＝OE＝5，OD＝BE＝3，所以DE＝OD+OE＝5+2＝3，故答案为：7．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E、F，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，△ABC的面积为10，则BM+MD的最小值是5．【分析】连接AD，AM，如图，先利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，则可根据三角形面积公式求出AD＝5，利用基本作图得到EF垂直平分AB，则MA＝MB，所以MB+MD＝MA+MD≥AD（当且仅当A、M、D共线，即M点为EF与AD的交点时取等号），从而得到BM+MD的最小值．【解答】解：连接AD，AM，因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC，因为△ABC的面积为10，所以×2×AD＝10，由作法得EF垂直平分AB，所以MA＝MB，因为MB+MD＝MA+MD，而MA+MD≥AD（当且仅当A、M、D共线，所以MA+MD的最小值为5，所以BM+MD的最小值是5．故答案为8．三、解答题每小题5分，共20分。15．（5分）如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°求∠DAE的度数．【分析】由三角形的内角和可得∠BAC＝70°，再由角平分线可求得∠BAE＝∠EAC＝35°，从而可得∠AEC＝∠B+∠BAE＝75°，结合AD⊥BC，即可求∠DAE的度数．【解答】解：因为∠B＝40°，∠C＝70°，所以∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠EAC＝35°，所以∠AEC＝∠B+∠BAE＝75°，因为AD⊥BC，所以∠ADE＝90°，所以∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝15°．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，解答的关键是熟记三角形内角和为180°．16．（5分）已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AC＝CE，∠B+∠ADE＝180°．求证：BC＝DE．【分析】由AB与EC平行，得到一对内错角相等，利用同角的补角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ABC与三角形CDE全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．【解答】证明：因为AB∥EC，所以∠A＝∠DCE，因为∠B+∠ADE＝180°，又因为∠ADE+∠EDC＝180°，所以∠B＝∠EDC，在△ABC和△CDE中，，所以△ABC≌△CDE（AAS），所以BC＝DE．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．17．（5分）如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，求∠D+∠E的度数．【分析】首先根据四边形的内角和求得∠A+∠B的度数，然后利用轴对称的性质求得∠E+∠D的度数即可．【解答】解：因为六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，所以∠A＝∠E，∠B＝∠D，因为∠AFC+∠BCF＝150°，所以∠A+∠B＝360°﹣150°＝210°所以∠E+∠D＝∠A+∠B＝210°．【点评】此题主要考查了轴对称的性质，关键是掌握轴对称图形的对称轴两边的图形能完全重合．18．（5分）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，点E，F为垂足，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．【分析】利用“HL”证明△BED和△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠C，然后根据等角对等边得到AB＝AC，再求得∠B＝60°，即可解答．【解答】证明：因为D是BC的中点，所以BD＝CD，因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以△BED和△CFD都是直角三角形，在Rt△BED和Rt△CFD中，，所以Rt△BED≌Rt△CFD（HL），所以∠B＝∠C，所以AB＝AC（等角对等边）．因为∠BDE＝30°，DE⊥AB，所以∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等角对等边的性质，等边三角形的判定，解题的关键是证明△BED≌△CFD．四、解答题（每选题7分，共28分）19．（7分）如图，把△ABC放置在4×4的正方形网格纸中，三角形的顶点都在格点上．在网格纸中用三种不同的方法画出与△ABC有一条公共边且与△ABC成轴对称的三角形（要求顶点都在格点上）．【分析】根据轴对称图形的性质以及题目要求作出图形即可．【解答】解：如图，三角形即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称图形等知识，解题的关键是掌握轴对称图形的性质，属于中考常考题型．20．（7分）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝48°，求∠BDE的度数．【分析】（1）根据全等三角形的判定方法AAS，即可判断△AEC≌△BED；（2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可求解．【解答】证明：（1）因为∠ADE＝∠1+∠C所以∠2+∠BDE＝∠7+∠C，且∠1＝∠2，所以∠C＝∠BDE，且AE＝BE，所以△AEC≌△BED（AAS）；（2）因为△AEC≌△BED，所以ED＝EC，∠BDE＝∠C，所以∠EDC＝∠C＝＝66°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△AEC≌△BED是本题的关键．21．（7分）如图，在△ABC中，AB＝CB，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，连接AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．【分析】①利用SAS即可得证；②由全等三角形对应角相等得到∠AEB＝∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．【解答】①证明：在△ABE和△CBD中，，所以△ABE≌△CBD（SAS）；②解：因为在△ABC中，AB＝CB，所以∠BAC＝∠ACB＝45°，由①得：△ABE≌△CBD，所以∠AEB＝∠BDC，因为∠AEB为△AEC的外角，所以∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝30°+45°＝75°，则∠BDC＝75°．22．（7分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝10，BE＝2，求AB的长．【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，由线段的和差关系求出答案．【解答】（1）证明：因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE与Rt△CDF中，，所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），所以DE＝DF，又因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以AD平分∠BAC；（2）解：因为Rt△BDE≌Rt△CDF，BE＝2，所以CF＝BE＝2，因为AC＝10，所以AF＝AC﹣CF＝10﹣5＝8，在Rt△ADE与Rt△ADF中，，所以Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），所以AE＝AF＝8，所以AB＝AE﹣BE＝7﹣2＝6．五、解答题每题题8分，共16分。23．（8分）如图所示，在等边三角形ABC中，P、Q是BC边上的两点，∠BAP＝20°．（1）求∠AQB的度数；（2）在（1）的条件下，点Q关于直线AC的时称点为M，求证：AP＝PM．【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形内角和定理得出∠APB，进而解答即可；（2）根据轴对称的性质和等腰三角形的判定得出△APM是等腰三角形，进而解答即可．【解答】（1）解：因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠B＝60°，因为∠BAP＝20°，所以∠APB＝180°﹣60°﹣20°＝100°，所以∠APQ＝180°﹣100°＝80°，因为AP＝AQ，所以∠AQB＝∠APQ＝80°；（2）证明：因为点Q关于直线AC的时称点为M，所以AC垂直平分QM，所以AQ＝AM，∠QAC＝∠CAM，因为AP＝AQ，所以AP＝AM，所以△APM是等腰三角形，在△APQ中，∠APQ＝∠AQP＝80°，所以∠PAQ＝20°，所以∠PAQ＝∠QAC＝∠CAM＝20°，所以∠PAM＝60°，所以△APM是等边三角形，所以AP＝PM．【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质和三角形内角和定理得出∠APB解答．24．（8分）特例探究：如图1，已知在△ABC中，AB＝CB，D为AC边的中点，连接BD归纳证明：如图2，已知在△ABC中，AB＝CB，D为AC边的中点，连接BD，DE交AB于M，DF交BC于N．证明：DM＝DN．拓展应用：如图2，AC＝2m（m＞0）其他条件都不发生变化（用含m的代数式表示）．【分析】特例探究：根据等腰直角三角形的性质和三线合一，直接证得△ABD是等腰直角三角形即可；归纳证明：证得△DMA≌△DNB（ASA），即可得出答案；拓展应用：由归纳证明可知△DMA≌△DNB（ASA），同理可得△BDM≌△DCN（ASA），由此得出Rt△DEF与△ABC的重叠部分（四边形DMBN）的面积是△ABC面积的一半，得出结论．【解答】特例探究：解：△ABD是等腰直角三角形．理由：因为AB＝BC，∠ABC＝90°，所以△ABC为等腰直角三角形，因为D为AC边的中点，所以BD⊥AC，AD＝CD＝，BD＝，所以AD＝BD，所以△ABD是等腰直角三角形．归纳证明：证明：因为AB＝CB，所以∠A＝∠C＝45°，因为D是AC的中点，所以DA＝DC＝BD，∠DBN＝45°所以∠ADB＝∠ADM+∠BDM＝90°，所以∠A＝∠DBN．因为∠EDF＝90°，所以∠BDN+∠BDM＝90°，所以∠ADM＝∠BDN在△DMA和△DBN中，所以△DMA≌△DBN（ASA），所以DM＝DN．拓展应用：解：因为AC＝2m，△ABC为等腰直角三角形，所以AB＝BC＝m，由归纳证明，可知△DMA≌△DNB（ASA），同理可得△BDM≌△DCN（ASA），所以S四边形DMBN＝S△BDM+S△DBN＝S△ABC＝××m×，故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，理解定理是解答此题的关键．六、解答题（每道题10分，共20分）25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝25°，∠DEC＝115°；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以【分析】（1）利用平角的定义和三角形外角的性质可得答案；（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE．（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．【解答】解：（1）因为∠BDA＝115°，∠ADE＝40°，所以∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，因为∠C＝40°，所以∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180﹣25°﹣40°＝115°，故答案为：25°，115°；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE因为∠C＝40°，所以∠DEC+∠EDC＝140°，因为∠ADE＝40°，所以∠ADB+∠EDC＝140°，所以∠ADB＝∠DEC，因为∠B＝∠C，AB＝DC，所以△ABD≌△DCE（AAS）；（3）△ADE的形状可以是等腰三角形；当∠BDA的度数为110°或80°时，理由如下：因为∠BDA＝110°时，所以∠ADC＝70°，因为∠C＝40°，所以∠DAE＝70°，所以∠AED＝180°﹣70°﹣40°＝70°所以△ADE的形状是等腰三角形；因为当∠BDA的度数为80°时，所以∠ADC＝100°，因为∠C＝40°，所以∠DAE＝40°，所以∠DAE＝∠ADE所