西安市新城区2023年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案

14/18西安市新城区2023年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案一．选择题共10小题，满分30分，每小题3分。1．（3分）下列感冒胶囊的标识图中，属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，本选项不符合题意；B、该图形不是中心对称图形，本选项不符合题意；C、该图形不是中心对称图形，本选项不符合题意；D、该图形是中心对称图形，本选项符合题意．故选：D．2．（3分）如果a＜b，那么下列各式中正确的是（）A．﹣2a＜﹣2b B．a+2＞b+2 C．2a+3＜2b+3 D．2a＞2b【解答】解：A．a＜b，则﹣2a＞﹣2b，故A选项不符合题意；B．a＜b，则a+2＜b+2，故B选项不符合题意；C．因为a＜b，所以2a＜2b，所以2a+3＜2b+3，故C选项符合题意；D．a＜b，则2a＜2b，故D选项不符合题意．故选：C．3．（3分）判断下列各式从左到右的变形，其中不是因式分解的是（）A．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．x2+3x＝x（x+3） D．a3b2+a2b＝a2b（ab+1）【解答】解：A．等式从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项不符合题意；B．等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项符合题意；C．等式从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项不符合题意；D．等式从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：B．4．（3分）要使分式有意义，x的取值范围是（）A．x≠1 B．x＞1 C．x≠﹣1 D．x＞﹣1【解答】解：要使分式有意义，则x+1≠0，解得：x≠﹣1．故选：C．5．（3分）若m＞n，则下列不等式中不成立的是（）A．m+1＞n+1 B．2m﹣1＞2n﹣1 C．3m＜3n D．﹣m＜﹣n【解答】解：A、因为m＞n，所以m+1＞n+1，故A不符合题意；B、因为m＞n，所以2m＞2n，所以2m﹣1＞2n﹣1，故B不符合题意；C、因为m＞n，所以3m＞3n，故C符合题意；D、因为m＞n，所以﹣m＜﹣n，故D不符合题意．故选：C．6．（3分）在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（）A．（2，0） B．（3，5） C．（8，4） D．（2，3）【解答】解：平移后的坐标为（5﹣3，2﹣2），即坐标为（2，0），故选：A．7．（3分）如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（）A．2560 B．490 C．70 D．49【解答】解：因为长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，所以ab＝10，a+b＝7，所以a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝10×72＝490．故选：B．8．（3分）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形边长为（）A．1cm B．2cm C． D．【解答】解：因为四边形ABCD是正方形，因为AB＝AD＝2cm，∠A＝90°，所以BD＝AB＝2（cm），由平移变换的性质可知BB′＝1cm，所以DB′＝BD﹣BB﹣1）cm，所以小正方形的边长＝DB′＝×（2﹣1）＝（2﹣）cm，故选：C．9．（3分）关于x的不等式﹣1＜x≤a有3个整数解，则a的取值范围是（）A．3≤a＜4 B．3＜a≤4 C．2≤a＜3 D．2＜a≤3【解答】解：因为不等式﹣1＜x≤a有3个整数解，所以这3个整数解为0，1、2，则2≤a＜3，故选：C．10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【解答】解：因为∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，所以∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，所以∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；因为∠C＝60°，所以∠BAC+∠ABC＝120°，因为AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，所以∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，所以∠AOB＝120°，所以∠AOF＝60°，所以∠BOE＝60°，如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，因为BF是∠ABC的角平分线，所以∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，所以△HBO≌△EBO（SAS），所以∠BOH＝∠BOE＝60°，所以∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，所以∠AOH＝∠AOF，在△HAO和△FAO中，，所以△HAO≌△FAO（ASA），所以AF＝AH，所以AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，因为∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，所以点O在∠C的平分线上，所以OH＝OM＝OD＝a，因为AB+AC+BC＝2b，所以S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，③正确．故选：C．二．填空题共5小题，满分15分，每小题3分。11．（3分）（+2）×（﹣2）＝1．【解答】解：因为1÷（﹣2）＝＝＝+2，所以（+2）×（﹣2）＝1．故答案为：（+2）．12．（3分）已知a＝，则代数式a2﹣1的值为1．【解答】解：当a＝时，a2﹣1＝（）2﹣1＝1．故本题答案为：1．13．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为1．【解答】解：去分母，得：m+7（x﹣3）＝4﹣x，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程，可得：m+7×（3﹣3）＝4﹣3，解得：m＝1．故答案为：1．14．（3分）平行四边形ABCD中，∠A＝50°，AB＝30cm，则∠B＝130°，DC＝30cm．【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，DC＝AB＝30cm，所以∠A+∠B＝180°，因为∠A＝50°，所以∠B＝130°．故答案为130°，30．15．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，H是CD的中点，连接GH，则GH的最小值为．【解答】解：连接CG并延长与AD的延长线交于点K，过点H作HT⊥CK于T，如图1所示：因为四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，所以AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝60°，∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，所以∠ADE+∠EDC＝90°，∠CDG+∠EDC＝90°，所以∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，所以△ADE≌△CDG（SAS），所以AE＝CG，∠DAC＝∠DCG＝45°，所以当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动，根据“垂线段最短”可知：当HG⊥CK时，HG为最短，即当点G与点T重合时，HG为最小，最小值为线段HT的长．因为∠DAC＝45°，HT⊥CK，所以△CHT为等腰直角三角形，即HT＝CT，因为AB＝4，点H为CD的中点，所以HC＝2，由勾股定理得：HT2+CT2＝HC2，所以2HT2＝4，所以HT＝．所以GH的最小值为．三．解答题共8小题，满分75分。16．（6分）解分式方程：（1）；（2）．【解答】解：（1），方程两边都乘以x（x+1），得2（x+1）＝3x，解得x＝2，当x＝2时，x（x+1）≠0，所以原分式方程的解是x＝2；（2），方程可化为，方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1）＝5x，解得x＝，当x＝时，（x+1）（x﹣1）≠0，所以原分式方程的解是x＝．17．（6分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：原式＝＝，当，原式＝．18．（10分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（4，1）．（1）先将Rt△ABC向左平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1，试着在图中画出图形Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试着在图中画出Rt△A2B2C2，并计算C1C2的长．【解答】（1）解：Rt△A1B1C1如图所示，点A1的坐标为（﹣4，0）；（2）Rt△A2B2C2如图所示，C1C2＝．19．（8分）某市要修建一条长6000米的道路，甲工程队修2000米后，因另有其它任务，调来乙工程队接着修路，乙队修完后，甲、乙两队共用40天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲队每天修路多少米．【解答】解：设甲队每天修路x米，根据题意，得，解得x＝100．经检验x＝100是原方程的解且符合题意．答：甲队每天修路100米．20．（9分）已知一根蜡烛的长为30厘米，点燃后蜡烛每小时燃烧4厘米，设蜡烛燃烧的时间为x（小时），蜡烛燃烧时剩下的长度为y（厘米）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）求当y＝6时，x的值．【解答】解：（1）y＝30﹣4x，因为30﹣4x≥0，所以，所以自变量x的取值范围是；（2）当y＝6时，30﹣4x＝6，解得x＝6．21．（10分）红旅渠精神是中华民族”自力更生、艰苦创业”的民族奋斗精神．某校组织学生前往红旗渠开展实践活动，在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带队：若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车截客量（人/辆）3530租金（元/辆）400320学校计划此次游学实践活动的租金总费用不超过3000元．（1）参加此次游学实践活动的老师和学生各有多少人？（2）若每位老师各负责一辆车的组织工作，则有几种租车方案？总费用最少的方案是哪种？最少费用是多少元？【解答】解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x位，则参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）名，根据题意得：30x+7＝31x﹣1，解得：x＝8，所以30x+7＝30×8+7＝247（名）．答：参加此次劳动实践活动的老师有8位，学生有247名；（2）设租用m辆甲型客车，则租用（8﹣m）辆乙型客车，根据题意得，解得：3≤m≤5.5，又因为m为正整数，所以m可以为3，4，5，所以共有3种租车方案，方案1：租用3辆甲型客车，5辆乙型客车；方案2：租用4辆甲型客车，4辆乙型客车；方案3：租用5辆甲型客车，3辆乙型客车；（3）方案1所需租车总费用为400×3+320×5＝2800（元）；方案2所需租车总费用为400×4+320×4＝2880（元）；方案3所需租车总费用为400×5+320×3＝2960（元）．因为2800＜2880＜2960，所以学校租车总费用最少是2800元．22．（12分）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD，BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）请猜想AB+AC与AE之间的数量关系，并给予证明．【解答】（1）证明：因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△DBE和Rt△DCF中，，所以Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），所以DE＝DF，因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以AD平分∠BAC．（2）解：AB+AC＝2AE，证明如下：在Rt△ADE和Rt△ADF中，，所以Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），所以AE＝AF，所以AB+AC＝AB+AF+CF＝AB+AE+BE＝2AE．23．（14分）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC和BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC和AD于点E和F．（1）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（2）如图2，证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（3）如图3，在旋转过程中，四边形BEDF可能有BF＝FD吗？如果不能，请说明理由；如果能，请先说明理由，再求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．【解答】（1）解：如图，在▱ABCD中，AD∥BC，OA＝OC，所以∠1＝∠2，在△AOF和△COEE中，，所以△AOF≌△COE（ASA），所以AF＝CE，即在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（2）证明：如图，由题意，∠AOF＝90°，又因为AB⊥AC，所以∠BAO＝90°，∠AOF＝90°，所以∠BAO＝∠AOF，所以BA∥EF，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，即AF∥BE，因为BA∥EF，AF∥BE，所以四边形ABEF是平行四边形；（3）解：在旋转过程中，四边形BEDF能有BF＝FD．理由：如图，因为AF＝CE，AD∥