2024-2025学年上学期北京高二数学期末典型卷1

第1页（共1页）2024-2025学年上学期北京高二数学期末典型卷1一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）（2024•林芝市一模）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝（）A．（﹣2，1） B．[﹣1，1） C．[﹣1，2） D．[1，2]2．（4分）（2015春•赣州期末）设（2﹣x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，那么的值为（）A． B． C． D．﹣13．（4分）（2020春•河南期末）已知双曲线C1：1（a1＞0，b1＞0）与双曲线C2：1（a2＞0，b2＞0）有相同的渐近线y＝±2x，则下列关系中正确的是（）A．a1a2＝b1b2 B．a2b1＝2a1b2 C．a1+a2＝b1+b2 D．2a1+2a2＝b1+b24．（4分）（2023秋•皇姑区校级期中）以下函数的图象不是中心对称图形的是（）A． B． C．f（x）＝|x+2a|+|x﹣2a| D．5．（4分）（2024•魏县开学）已知向量，满足||＝2，||＝3，•（）＝﹣1，则|2|＝（）A．5 B． C． D．206．（4分）（2022•海淀区校级三模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BC上的动点，F为棱B1B的中点，则下列选项正确的是（）A．直线A1D1与直线EF相交 B．当E为棱BC上的中点时，则点E在平面AD1F的射影是点F C．存在点E，使得直线AD1与直线EF所成角为30° D．三棱锥E﹣ADF的体积为定值7．（4分）（2022秋•龙岗区校级月考）若A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x＜4}，则A是B的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（4分）（2020•新华区校级模拟）已知正项数列{an}的前n项和为Sn满足：，若，记[m]表示不超过m的最大整数，则[f（100）]＝（）A．17 B．18 C．19 D．209．（4分）（2020秋•南宁月考）点A（0，﹣1）到直线l：y＝k（x+1）+1的距离的最大值为（）A．1 B． C． D．10．（4分）（2023秋•海淀区校级月考）已知f（x），g（x）分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝ex，若关于x的不等式2f（x）﹣ag2（x）≥0在（0，ln2）上恒成立，则实数a的最大值是（）A． B． C． D．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）11．（5分）（2024春•宜宾期末）已知在复平面内，向量对应的复数是2+i，对应的复数是3﹣2i，则向量对应的复数为．12．（5分）（2022秋•景德镇期中）过抛物线C：y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若点A在第一象限，且|AF|＝3|FB|，则该直线的斜率k＝．13．（5分）（2024春•青羊区校级期中）已知函数，且f（x）在区间上的最大值为，则m的最小值为．14．（5分）（2024春•四川期末）第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校欲从4名男生、5名女生中选派5名大学生到奥运会的3个项目当志愿者（每个项目必须有志愿者），则志愿者中至少有4名女生的分配方法共有种（用数作答）．15．（5分）（2023秋•镜湖区校级期中）已知A（﹣3，0），B（4，2），点P在圆O：x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2的取值范围是．三．解答题（共6小题，满分85分）16．（14分）（2024秋•广西月考）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB＝BC＝2，AA1＝3，∠ABC＝120°．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求直线CE与平面ABE所成角的正弦值．17．（14分）（2019春•武汉期中）已知锐角△ABC面积为S，∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c，∠A、∠C平分线相交于点O，且，求：（1）∠B的大小；（2）△ABC周长的最大值．18．（14分）设甲、乙、丙3人住在一个有4间卧室的套间内，每间卧室最多可以住3人．每人都等可能地被分配到4间房中的任意1间．求：（1）恰好有1间空房的概率；（2）甲、乙2人住在同1间房的概率．19．（14分）（2021•浙江开学）设函数．（Ⅰ）若f（x）为单调递增函数，求a的值；（Ⅱ）当0＜a≤2时，直线y＝kx与曲线y＝f'（x）相切，求k的取值范围；（Ⅲ）若f（x）的值域为[0，+∞），证明：2﹣a＝ln2﹣lna．20．（14分）（2024春•麒麟区期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴长为，点在C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A（0，3），点G为椭圆C上一点，求△AGF2周长的最大值；（3）过C的左焦点F1，且斜率不为零的直线l交C于P、Q两点，求△F2PQ面积的最大值．21．（15分）（2024•上饶二模）对于数列A：a1，a2，a3（ai∈N，i＝1，2，3），定义“F变换”：F将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中bi＝|ai﹣ai+1|（i＝1，2），且b3＝|a3﹣a1|．这种“F变换”记作B＝F（A），继续对数列B进行“F变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）写出数列A：2，5，3，经过6次“F变换”后得到的数列；（2）若a1，a2，a3不全相等，判断数列A：a1，a2，a3经过不断的“F变换”是否会结束，并说明理由；（3）设数列A：185，3，188经过k次“F变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．

2024-2025学年上学期北京高二数学期末典型卷1参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）（2024•林芝市一模）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝（）A．（﹣2，1） B．[﹣1，1） C．[﹣1，2） D．[1，2]【考点】求集合的交集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】B【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝[﹣1，1）．故选：B．【点评】本题主要考查交集的定义，属于基础题．2．（4分）（2015春•赣州期末）设（2﹣x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，那么的值为（）A． B． C． D．﹣1【考点】二项式定理．【专题】二项式定理．【答案】B【分析】令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5＝1，再令x＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝35．解得a0+a2+a4和a1+a3+a5的值，结合a5＝﹣1，即可求得要求式子的值．【解答】解：令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5＝1，再令x＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝35．两式相加除以2求得a0+a2+a4＝122，两式相减除以2可得a1+a3+a5＝﹣121．结合a5＝﹣1，故，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．3．（4分）（2020春•河南期末）已知双曲线C1：1（a1＞0，b1＞0）与双曲线C2：1（a2＞0，b2＞0）有相同的渐近线y＝±2x，则下列关系中正确的是（）A．a1a2＝b1b2 B．a2b1＝2a1b2 C．a1+a2＝b1+b2 D．2a1+2a2＝b1+b2【考点】双曲线的几何特征．【专题】计算题；转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】A【分析】利用双曲线的渐近线方程，然后推出结论即可．【解答】解：双曲线C1：1（a1＞0，b1＞0）与双曲线C2：1（a2＞0，b2＞0）有相同的渐近线y＝±2x，可得，，所以a1a2＝b1b2．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4．（4分）（2023秋•皇姑区校级期中）以下函数的图象不是中心对称图形的是（）A． B． C．f（x）＝|x+2a|+|x﹣2a| D．【考点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象与图象的变换．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，因为f（x）的定义域为R，且，所以为奇函数，其图象关于原点中心对称，符合题意；对于B，，所以的图象可由反比例函数的图象向右平移2个单位，向上平移2个单位得到，且反比例函数的图象关于原点对称，所以函数的图象关于点（2，2）对称，不符合题意；对于C，因为f（﹣x）＝|﹣x+2a|+|﹣x﹣2a|＝|x﹣2a|+|x+2a|＝f（x），所以f（x）为偶函数，又f（x）不是常函数，所以f（x）＝|x+2a|+|x﹣2a|不是中心对称图形，符合题意；对于D，函数的定义域为R，且f（0）＝0，当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣x（1+x）＝﹣f（x），当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x（1﹣x）＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数的图象变换，属于基础题．5．（4分）（2024•魏县开学）已知向量，满足||＝2，||＝3，•（）＝﹣1，则|2|＝（）A．5 B． C． D．20【考点】平面向量的数量积运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据已知条件，先求出，再将|2|平方并开方，即可求解．【解答】解：•（）＝﹣1，||＝2，则，解得，故|2|．故选：C．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．6．（4分）（2022•海淀区校级三模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BC上的动点，F为棱B1B的中点，则下列选项正确的是（）A．直线A1D1与直线EF相交 B．当E为棱BC上的中点时，则点E在平面AD1F的射影是点F C．存在点E，使得直线AD1与直线EF所成角为30° D．三棱锥E﹣ADF的体积为定值【考点】异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】根据线面平行的判定定理可得A1D1∥平面B1C1CB，进而可判断A；利用勾股定理和反证法即可判断B；建立空间直角坐标系，利用向量法和反证法可判断C；根据等体积法可判断D．【解答】解：对于A，由题意知A1D1∥B1C1，B1C1⊂平面B1C1CB，A1D1⊄平面B1C1CB，∴A1D1∥平面B1C1CB，又EF⊂平面B1C1CB，∴A1D1与EF平相交，故A错误；对于B，连接AD1，D1F，AF，AE，CB1，如图，当点E为BC的中点时，EF∥CB1，又AD1⊥CB1，∴EF⊥AD1，若点E在平面AD1F的射影为F，则EF⊥平面AD1F，垂足为F，∴EF⊥AF，设正方体的棱长为2，则AE＝AF，EF，在△AEF中，AF2+EF2≠AE2∴∠AFE≠90°，∴EF⊥AF不成立，故B错误；对于C，建立如图空间直角坐标系D﹣xyz，连接BC1，则AD1∥BC1，∴异面直线EF与AD1所成角为直线EF与BC1所成角，设正方体的棱长为2，若存在点E（a，2，0），（0≤a≤2），使得EF与BC1所成角为30°，则，2，0），F（2，2，1），C1（0，2，2），∴（2﹣a，0，1），（﹣2，0，2），∴cos30°，解得a＝4，不合题意，∴不存在点E，使得直线AD1与直线EF所成角为30°，故C错误；对于D，如图，由等体积法可知VE﹣ADF＝VF﹣ADE，又VF﹣ADE，AD、AB、BF为定值，∴VF﹣ADE为定值，∴三棱锥E﹣ADF的体积为定值，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查线面平行的判定与性质、勾股定理、反证法、向量法、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．（4分）（2022秋•龙岗区校级月考）若A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x＜4}，则A是B的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分不必要条件的判断．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．【答案】A【分析】先求出A是B的真子集，得到答案．【解答】解：因为A是B的真子集，故A是B的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件的判断，属于基础题．8．（4分）（2020•新华区校级模拟）已知正项数列{an}的前n项和为Sn满足：，若，记[m]表示不超过m的最大整数，则[f（100）]＝（）A．17 B．18 C．19 D．20【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】首先求出数列{Sn}的通项公式，进一步利用放缩法和裂项相消法的应用求出结果．【解答】解：当n＝1时，，∵a1＞0，∴a1＝1．当n≥2时，由，及an＝Sn﹣Sn﹣1得，，由于数列是正项数列，所以．则．∴．又当n≥2时，．∴．对于，∴，∴[f（100）]＝18．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，放缩法，裂项相消法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．9．（4分）（2020秋•南宁月考）点A（0，﹣1）到直线l：y＝k（x+1）+1的距离的最大值为（）A．1 B． C． D．【考点】恒过定点的直线；点到直线的距离公式．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】由题意可得直线经过定点B，点A（0，﹣1）到直线l：y＝k（x+1）+1的距离的最大值为AB，计算求得结果．【解答】解：直线l：y＝k（x+1）+1经过定点B（﹣1，1），点A（0，﹣1）到直线l：y＝k（x+1）+1的距离的最大值为AB，故选：D．【点评】本题主要考查直线经过定点问题，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10．（4分）（2023秋•海淀区校级月考）已知f（x），g（x）分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝ex，若关于x的不等式2f（x）﹣ag2（x）≥0在（0，ln2）上恒成立，则实数a的最大值是（）A． B． C． D．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．【答案】A【分析】由奇偶性求得f（x），g（x），化简不等式，并用分离参数法变形为a，设ex+e﹣x＝t，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得a的范围．【解答】解：因为f（x），g（x）分别为偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝ex①，所以f（﹣x）+g（﹣x）＝e﹣x，即f（x）﹣g（x）＝e﹣x②，①②联立可得，，不等式2f（x）﹣ag2（x）≥0即为，且x∈（0，ln2），设ex+e﹣x＝t，x∈（0，ln2），则t'＝ex﹣e﹣x＞0，故t＝ex+e﹣x在（0，ln2）上是增函数，则，所以a，则，又在上单调递增，所以，故，要使a在x∈（0，ln2）恒成立，则，即实数a的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性、转化思想及导数的综合运用，属于中档题．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）11．（5分）（2024春•宜宾期末）已知在复平面内，向量对应的复数是2+i，对应的复数是3﹣2i，则向量对应的复数为1﹣3i．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】1﹣3i．【分析】由复数的几何意义结合向量的线性运算求解．【解答】解：在复平面内，向量对应的复数是2+i，对应的复数是3﹣2i，由，则向量对应的复数为3﹣2i﹣（2+i）＝1﹣3i．故答案为：1﹣3i．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12．（5分）（2022秋•景德镇期中）过抛物线C：y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若点A在第一象限，且|AF|＝3|FB|，则该直线的斜率k＝．【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】．【分析】设直线AB的方程为x＝my+1，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则y1＞0，分析可得﹣y1＝3y2，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合﹣y1＝3y2可求得m的值，即可得出直线AB的斜率．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），因为直线AB过点F，且点A在第一象限，则直线AB不与x轴重合，设直线AB的方程为x＝my+1，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则y1＞0，因为|AF|＝3|FB|，则，即（1﹣x1，﹣y1）＝3（x2﹣1，y2），所以，﹣y1＝3y2，联立可得y2﹣4my﹣4＝0，Δ＝16m2+16＞0，由韦达定理可得，所以，，则36m2＝12，解得或（舍），因此，直线AB的斜率为．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查求直线的斜率k，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，属于中档题．13．（5分）（2024春•青羊区校级期中）已知函数，且f（x）在区间上的最大值为，则m的最小值为．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．【答案】．【分析】利用整体法，求解，即可结合正弦函数的性质求解．【解答】解：由于，则，由于f（x）在区间上的最大值为，则在区间上的最大值为1，故，解得，故m的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查的知识点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．14．（5分）（2024春•四川期末）第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校欲从4名男生、5名女生中选派5名大学生到奥运会的3个项目当志愿者（每个项目必须有志愿者），则志愿者中至少有4名女生的分配方法共有5040种（用数作答）．【考点】分步乘法计数原理；分类加法计数原理．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解；时事热点类．【答案】5040．【分析】根据题意，分为两类：4女1男和5女时，共有21种选法，在把选出的5人分为两类：3，1，1或2，2，1的两组，有40种，结合分步计数原理，即可求解．【解答】解：根据题意，选派的5人中，志愿者中至少有4名女生，可分为两类：当4女1男时，有种，当5女时，有种，共有20+1＝21种选法，再把选出的5人分成3组，可分为3，1，1或2，2，1的两组，有种，共有（20+1）×40×6＝840×6＝5040种不同的分配方法．故答案为：5040．【点评】本题考查分步计数原理相关知识，属于基础题．15．（5分）（2023秋•镜湖区校级期中）已知A（﹣3，0），B（4，2），点P在圆O：x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2的取值范围是．【考点】直线与圆的位置关系；两点间的距离公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】结合已知条件表示出|PA|2+|PB|2，设z＝37﹣2x﹣4y，利用该直线与圆有公共点即可求解．【解答】解：设P（x0，y0），所以，所以．设z＝37﹣2x﹣4y，所以直线2x+4y﹣37+z＝0，由点P在圆上，可得，解得，即|PA|2+|PB|2的取值范围是．故答案为：．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属于中档题．三．解答题（共6小题，满分85分）16．（14分）（2024秋•广西月考）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB＝BC＝2，AA1＝3，∠ABC＝120°．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求直线CE与平面ABE所成角的正弦值．【考点】直线与平面垂直；空间向量法求解直线与平面所成的角．【专题】转化思想；综合法；空间角；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据题意可得AC⊥DE，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）建系标点，求平面ABE的法向量，利用空间向量求线面夹角．【解答】（1）证明：因为AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，则AA1⊥AC，又因为D，E分别为AC，A1C1的中点，则DE∥AA1，则AC⊥DE，因为AB＝BC，D为AC中点，则AC⊥BD，且BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以AC⊥平面BDE；（2）解：由（1）知AC⊥DE，AC⊥BD，DE∥AA1，且AA1⊥平面ABC，则DE⊥平面ABC，因为BD⊂平面ABC，则DE⊥BD，所以DA，DB，DE两两垂直，如图，以D为坐标原点，DA，DB，DE所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，因为AB＝BC＝2，AA1＝3，∠ABC＝120°，则，可得．设平面ABE的一个法向量为，则，令，可得，则•3×0+1×3＝6，||，||，所以cos，，设直线CE与平面ABE所成角为α，sinα＝|cos，|．所以直线DE与平面ABE所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直的性质的应用及线面垂直的判断定理的应用，用空间向量的方法求线面所成的角的正弦值的求法，属于中档题．17．（14分）（2019春•武汉期中）已知锐角△ABC面积为S，∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c，∠A、∠C平分线相交于点O，且，求：（1）∠B的大小；（2）△ABC周长的最大值．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求tanB的值，进而可求B的值．（2）利用正弦定理建立关系，结合三角函数的有界限即可求△ABC周长的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵，∴acsinB（a2+c2﹣b2），故：acsinB•2accosB，可得：tanB，由B∈（0，π），可得：B．…6分（2）∵，B．∴由正弦定理可得：2，可得：a＝2sinA，c＝2sinC＝2sin（A），∴则a+c＝2sinA+2sin（）＝2sinA+2sincosA﹣2cossinA＝3sinAcosA＝2sin（A）．∵0＜A，∴A．当A，即A时，a+c取得最大值为2．那么△AC周长的最大值为：23．…12分【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（14分）设甲、乙、丙3人住在一个有4间卧室的套间内，每间卧室最多可以住3人．每人都等可能地被分配到4间房中的任意1间．求：（1）恰好有1间空房的概率；（2）甲、乙2人住在同1间房的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】（1），（2）．【分析】（1）先求出总的事件个数，再求出满足条件的事件的个数，根据概率公式计算即可，（2）先求出总的事件个数，再求出满足条件的事件的个数，根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）每人都等可能地被分配到4间房中的任意1间，共有43种分法，在4个房间任选3间，每人1间共种方法，故恰好有1间空房的概率P；（2）每人都等可能地被分配到4间房中的任意1间，共有43种分法，甲、乙、丙3人住1间有4个方法，甲，乙共1间，丙独立1间有A42＝12种方法，甲、乙2人住在同1间房的概率P．【点评】本题考查概率的求法，考查概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（14分）（2021•浙江开学）设函数．（Ⅰ）若f（x）为单调递增函数，求a的值；（Ⅱ）当0＜a≤2时，直线y＝kx与曲线y＝f'（x）相切，求k的取值范围；（Ⅲ）若f（x）的值域为[0，+∞），证明：2﹣a＝ln2﹣lna．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；数形结合；分类讨论；数形结合法；综合法；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）[2﹣e，0]；（Ⅲ）证明见解答．【分析】（Ⅰ）由已知可得f'（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0在x＞0上恒成立，即a（x﹣1）≥lnx恒成立，对x分类讨论，即可求解a的值；（Ⅱ）由斜率公式及导数的几何意义可得，从而可得k＝a﹣ea﹣1，设h（x）＝x﹣ex﹣1，利用导数可求得h（x）的取值范围，进而可得k的取值范围；（Ⅲ）对a分类讨论，结合图象可求得f（x）的单调性，结合已知可得求得f（x）的最小值，从而证得结论成立．【解答】（Ⅰ）解：因为f（x）为单调递增函数，所以f'（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0在x＞0上恒成立，即a（x﹣1）≥lnx恒成立．当x＝1时显然成立，当x＞1时；当0＜x＜1时．设，（显然），所以x＞1时a≥1，0＜x＜1时a≤1，所以a＝1．（Ⅱ）解：设y＝kx与y＝f'（x）＝ax﹣a﹣lnx相切于点（x0，a（x0﹣1）﹣lnx0），得，代入得k＝a﹣ea﹣1．设h（x）＝x﹣ex﹣1，h'（x）＝1﹣ex﹣1，x∈（0，1），h'（x）＞0；x∈（1，+∞），h'（x）＜0．，h（1）＝0，h（2）＝2﹣e．而．所以当0＜a≤2时，k＝a﹣ea﹣1∈[2﹣e，0]．（Ⅲ）证明：f'（x）＝a（x﹣1）﹣lnx，x＞0，当a＞1，a（x﹣1）＝lnx，如图所示存在两根0＜x1＜1，x2＝1，当x∈（0，x1）时，a（x﹣1）＞lnx，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（x1，1）时，a（x﹣1）＜lnx，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，a（x﹣1）＞lnx，f'（x）＞0，f（x）单调递增．又因为f（x）在x＝0处无定义，所以只有，则a＝2，从而2﹣a＝ln2﹣lna成立；当a＝1时，由（Ⅰ）可知f（x）为单调递增函数，f（x）在x＝0处无定义，值域不能为[0，+∞），不符合题意；当0＜a＜1，a（x﹣1）＝lnx，如图所示存在两根x1＝1，x2＞1．当x∈（0，1）时，a（x﹣1）＞lnx，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（1，x2）时，a（x﹣1）＜lnx，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（x2，+∞）时，a（x﹣1）＞lnx，f'（x）＞0，f（x）递增．又因为f（x）在x＝0处无定义，所以只有，将a（x2﹣1）＝lnx2代入（*）式得，所以．从而有，从而2﹣a＝ln2﹣lna成立．综上，对任意a＞0，都有2﹣a＝ln2﹣lna成立．【点评】本题主要考查导数的应用，考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与数形结合思想的应用，属于难题．20．（14分）（2024春•麒麟区期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴长为，点在C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A（0，3），点G为椭圆C上一点，求△AGF2周长的最大值；（3）过C的左焦点F1，且斜率不为零的直线l交C于P、Q两点，求△F2PQ面积的最大值．【考点】直线与椭圆的综合；根据椭圆的几何特征求标准方程．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）；（2）；（3）3．【分析】（1）根据给定条件，求出a，b即得椭圆C的标准方程．（2）由椭圆的定义可求出|AG|+|GF2|的最大值，从而可得周长最大值．（3）设直线l的方程为x＝ty﹣1，与椭圆方程联立，借助根与系数的关系列出三角形面积的关系式，利用对勾函数性质求出最大值．【解答】解：（1）因为椭圆C短轴长为，且经过点，所以，，解得a＝2，则椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，F1（﹣1，0），F2（1，0），又A（0，3），所以，此时△AGF2周长l，当且仅当点G是线段AF1的延长线与椭圆C的交点时，等号成立，则△AGF2周长的最大值为；（3）设直线l的方程为x＝ty﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去x并整理得（3t2+4）y2﹣6ty﹣9＝0，此时Δ＞0，由韦达定理得，所以，此时△F2PQ面积，令，，易知函数在[1，+∞）上单调递增，所以当u＝1，即t＝0时，取得最小值，最小值为4，则当t＝0时，△F2PQ面积取得最大值3．【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．21．（15分）（2024•上饶二模）对于数列A：a1，a2，a3（ai∈N，i＝1，2，3），定义“F变换”：F将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中bi＝|ai﹣ai+1|（i＝1，2），且b3＝|a3﹣a1|．这种“F变换”记作B＝F（A），继续对数列B进行“F变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）写出数列A：2，5，3，经过6次“F变换”后得到的数列；（2）若a1，a2，a3不全相等，判断数列A：a1，a2，a3经过不断的“F变换”是否会结束，并说明理由；（3）设数列A：185，3，188经过k次“F变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．【考点】数列的应用．【专题】整体思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】（1）为0，1，1；（2）不可能结束，理由见解答；（3）64．【分析】（1）根据数列的新定义写出经过6次“F变换”后得到的数列即可；（2）假设数列A经过不断的“F变换”结束，不妨设最后的数列D：d1，d2，d3，E：e1，e2，e3，O：0，0，0，且F（D）＝E，F（E）＝O，则非零数列可能通过“F变换”结束，或者数列E为常数列，进而得到D可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；（3）先推出几项，发现规律，假设一次“F变换”后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使得数字接近1时，再继续推，往后会发现k次“F变换”得到的数列是循环的，即可得到最小值，进而推出次数即可．【解答】解：（1）依题意，6次变换后得到的数列依次为3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；所以，数列A：2，5，3经过6次“F变换”后得到的数列为0，1，1．（2）数列A经过不断的“F变换”不可能结束．证明：设数列D：d1，d2，d3，E：e1，e2，e3，O：0，0，0，且F（D）＝E，F（E）＝O，依题意|e1﹣e2|＝0，|e2﹣e3|＝0，|e3﹣e1|＝0，所以e1＝e2＝e3即非零常数列才能通过“F变换”结束．设e1＝e2＝e3＝e（e为非零自然数）．为变换得到数列E的前两项，数列D只有四种可能D：d1，d1+e，d1+2e；D：d1，d1+e，d1；D：d1，d1﹣e，d1；D：d1，d1﹣e，d1﹣2e．而任何一种可能中，数列E的第三项是0或2e．即不存在数列D，使得其经过“F变换”成为非零常数列．由①②得，数列A经过不断的“F变换”不可能结束．（3）数列A经过一次“F变换”后得到数列B：182，185，3，其结构为a，a+3，3．数列B经过6次“F变换”得到的数列分别为：3，a，a﹣3；a﹣3，3，a﹣6；a﹣6，a﹣9，3；3，a﹣12，a﹣9；a﹣15，3，a﹣12；a﹣18，a﹣15，3．（a≥18）所以，经过6次“F变换”后得到的数列也是形如“a，a+3，3”的数列，变化的是，除了3之外的两项均减小18．因为182＝18×10+2，所以，数列B经过6×10＝60次“F变换”后得到的数列为2，5，3．接下来经过“F变换”后得到的数列分别为：3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；1，0，1，…至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小．所以经过1+60+3＝64次“F变换”得到的数列各项和达到最小，即k的最小值为64．【点评】本题考查数列的综合应用，考查对新定义的分析能力，属于难题．

考点卡片1．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．2．充分不必要条件的判断【知识点的认识】充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件．【命题方向】充分不必要条件的命题方向包括几何图形的特殊性质、函数的特定性质等．已知命题p：x2﹣4x+3＜0，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（）A．x≤1B．1＜x＜2C．x≥3D．2＜x＜3解：由x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3，则1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要条件．故选：BD．3．函数的图象与图象的变换【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．图象的变换1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．【解题方法点拨】1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（2）利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．【命题方向】（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．（3）3种方法﹣﹣识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．4．奇偶函数图象的对称性【知识点的认识】奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n．【解题方法点拨】由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值．解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数，那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4【命题方向】本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与x轴交点的个数，求在更大范围内它与x轴的交点个数，同学们务必多多留意．5．函数恒成立问题【知识点的认识】函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．【解题方法点拨】﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量【命题方向】题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴∀x∈R，m恒成立，∵x2+x+1＝（x）2，∴0，∴m≤0．6．三角函数的最值【知识点的认识】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【解题方法点拨】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝cos（2x）．解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x2•（cos2x﹣sin2x）cos（2x）．故答案为：cos（2x）．这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t∴当t时函数有最小值，而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．【命题方向】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．7．数列的应用【知识点的认识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．8．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．9．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴10．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．11．利用导数研究曲线上某点切线方程【知识点的认识】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【解题方法点拨】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．12．平面向量的数量积运算平面向量的数量积运算13．三角形中的几何计算【知识点的认识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式①Sa•ha（ha表示边a上的高）；②SabsinCacsinBbcsinA．③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．（2）面积问题的解法：①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．【解题方法点拨】几何计算最值问题：（1）常见的求函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：①当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．②当角度在90°～180°间变化时，正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．14．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z．（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z0且z≠0．15．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．16．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的认识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥Sh．17．异面直线及其所成的角【知识点的认识】1、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．2、求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：18．直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．19．空间向量法求解直线与平面所成的角【知识点的认识】直线与平面所成角的求法：向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|．【解题方法点拨】﹣点积和模：计算向量的数量积和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函数计算角度．【命题方向】﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算直线与平面之间的夹角．20．恒过定点的直线【知识点的认识】﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为：a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0其中a和b是直线的方向向量分量．【解题方法点拨】﹣求方程：1．已知定点：将定点（x1，y1）代入直线方程．2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式．3．标准方程：得到直线方程如：a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0【命题方向】﹣定点直线：考查如何找到所有恒过一个定点的直线方程，通常涉及固定点和直线方程的转换．21．两点间的距离公式【知识点的认识】﹣距离公式：两点（x1，y1）和（x2，y2）之间的距离由公式：这是平面直角坐标系中常用的距离计算公式．【解题方法点拨】﹣计算距离：1．代入公式：将两点的坐标代入距离公式．2．简化计算：计算平方差的和，开方得到距离．【命题方向】﹣距离计算：常考查计算两点间的直线距离，尤其在几何题目中经常出现．22．点到直线的距离公式【知识点的认识】﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为：【解题方法点拨】﹣计算距离：1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程．2．计算绝对值：计算Ax0+By0+C的绝对值．3．计算模：计算法向量的模．4．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离．【命题方向】﹣距离计算：考查点到直线的距离计算，可能涉及多种坐标系变换或应用．23．直线与圆的位置关系【知识点的认识】直线与圆的位置关系【解题方法点拨】判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．24．根据椭圆的几何特征求标准方程【知识点的认识】椭圆的几何特征包括长轴2a、短轴2b、焦点．【解题方法点拨】1．提取几何特征：从题目中得到长轴、短轴或焦距．2．代入标准方程：使用几何特征计算a和b，代入标准方程：【命题方向】﹣由椭圆的几何特征（如长轴、短轴）求标准方程．﹣根据焦点位置和长短轴所在位置推导标准方程．25．直线与椭圆的综合【知识点的认识】直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与椭圆相交⇔Δ＞0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；②借助直线和椭圆的几何性质来判断．根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在．（2）弦长的求法设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|（k为直线斜率）注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（3）中点弦、弦中点常见问题①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；②平行弦中点的轨迹；③过定点的弦的中点的轨迹．解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．（4）椭圆切线问题①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点；②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切；③过椭圆上一点只能作一条切线．（5）最值与范围问题的解决思路①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件．【命题方向】1．由已知条件求椭圆的方程或离心率；2．由已知条件求直线的方程；3．中点弦或弦的中点问题；4．弦长问题；5．与向量结合求参变量的取值．26．抛物线的焦点与准线【知识点的认识】抛物线的简单性质：27．双曲线的几何特征【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e（e＞1）准线x＝±y＝±渐近线±0±028．古典概型及其概率计算公式【知识点的认识】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．【解题方法点拨】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）