大学物理(第四版)课后习题及答案质点

题1.1：已知质点沿X轴作直线运动，其运动方程为x=2m+（6m.s-2）/一（2m-s-3）方。求（1）

质点在运动开始后4.0s内位移的大小；（2）质点在该时间内所通过的路程。

题1.1解：（1）质点在49s内位移的大小

A.r=x4-x0=-32m

（2）由9=（12m.s-2»_（6ms-3）产=0

dz

得知质点的换向时刻为

%=2s0=0不合题意）

则：Aq=x2-xQ=8.0m

△x2=x4-x2=-40m

所以，质点在4.0s时间间隔内的路程为

s=U+1AY2I=48m

题1.2：一质点沿x轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。设，=（）时，工=0。

试根据已知的图--，，画出4T图以及XT图。

题1.2解：将曲线分为A。、BC、二个过程，

它们对应的加速度值分别为

="二'=20m-s-2（匀加速直线运动）

«BC=0（匀速直线）

acD=K*=T0m・s-2i匀减速直线运动）

】D一%

由此，可计算在0〜2和4~6s时间间隔内各时刻的位置分别为

Z/S00.511.5244.555.56

x/m0-7.5-10-7.504048.75558.760

用描数据点的作图方法，由表中数据可作0~2s和4~6s时间内的X-/图。在2~4s时

间内，质点是作v=20m•「的匀速直线运动，其x—/图是斜率攵=20的一段直线。

题1.3：如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度

为力，滑轮到原船位置的绳长为/。，试求：当人以匀速r拉绳，船运动的速度M为多少？

题1.3解1：取如图所示的直角坐标系，船的运动方程为

题L3解2：取图所示的极坐标位,孙则

,drdrde,dr60

v=—=—e+r--=—e+r——e.-,

dtdtrdrd/rdi

号是船的径向速度，「，品是船的横向速度，而

上是收绳的速率。由于船速v与径向速度之间夹角

dt

位。，所以

r〜-i-i/2

,V..h1

V=---------1=-vI-----------I

cosO|_(/0-vr)'_

由此可知，收绳的速率只是船速沿绳方向的分量。

题1.4：一升降机以加速度1.22m.s-2上升，当上升速度为2.44m.s-2时，有一螺丝自升降机

的天花板上松脱，天花板与升降机的底面相距2.74m。计算：(1)螺丝从天花板落到底面所

需要的时间；(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离。

题1.4解1：(1)以地面为参考系，取如图所示的坐标系，升降机与螺丝的运动方程分别为

1

,12

为=A+v0/--^/-

当螺丝落至底面时，有,=乃，即

12f12

vQt+—fit=h+vot--gt

=0.705s

⑵螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为

d=h-y2=-vot+；gJ=0716in

题1.4解2：(1)以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度大小，=g+〃，螺丝落至底

面时，有

O=/?_/(g+a尸

2/7

=0.705s

+a

⑵由于升降机在，时间内上升的高度为

,，।2

h=vot+—at^

则d=〃-/i'=0,716m

题1.5：一质点P沿半径R=3.00m的圆周作匀速率运动，运动一周所需时间为20.0s,设f=0

时，质点位于O点。按图中所示坐标系，求（I）质点P在任意时刻的位矢；（2）5s时

的速度和加速度。

题1.5解：如图所示，在。攵夕坐标系中,

的参数方程为

，n.2%,八2乃

x=Ksiny=~^cos-z

坐标变换后，在Oxy坐标系中有

,n・27r,n27c

x=x=Rs\n—t,y=y+v0=-Rcos—t

则质点尸的位矢方程为

r=Rsin—ti+\-Rcos—t+R\j

T{T)

=(3m)sin[(0.brs-1i+(3m)[l-cos(0.\ns')i]j

5s时的速度和加速度分别为

dr2乃2兀..冗.2兀.\.

v=—=R——cos——ti+R——sin——tj=[0.3乃ms

dtTTTT、"

a=^-=-Rsin半"+《半)cos臣==(-0.0加21n.s7万

题1.6：一质点自原点开始沿抛物线y=/>2运动，它在Or釉上的分速度为一恒量，其值为

V,=4.0ms_,,求质点位干x=2.0m处的速度和加速度。

题1.6解：因次=4.0m-sT为一常数，故出=0。当1=0时，%=0,由八=虫积分可得

dr

x=vxl（1）

又由质点的抛物线方程，有

y=6x2=*x/2Q）

由），方向的运动方程可得该方向的速度和加速度分量分别为

%=7^+^=18.Om-sT

设网与x轴的夹角为a,则

tgc?

V0y2

a=12341'

(2)加速度的分量式为

=60m-s-2,a==-40m•s"

xdtydr

则加速度的大小为

a=Ja：+a；=72.1m-s-2

设。与K釉的夹角为小则

a2

t酸

ax3

尸=-334'(或32619')

题1.9：一质点具有恒定加速度a=（6ms-2）i+（4ms-2）j,在r=0时，其速度为零，位置矢

量/*0=（1001"。求：（1）在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点在平面上的轨迹方程,

并画出轨迹的示意图。

题1.9解：由加速度定义式，根据初始条件小=0时vo=O,积分可得

［；*=［：ad/=|^［（6ms-2）i+（4ms-2）j］d/

v=(6ms-2)z«+(4m-s-2)ij

又由，哼及初始条件「。时，—）i,积分可得

J。dr=J：=J：[(6m-s-2)/1+(4m-s-2)tj)d/

r=[10m+(3m-s-2)r]i+[(2m-s-2)V\j

由上述结果可得质点运动方程的分量式，即

x=10m+(3ms-2)/2

y=(2ms-2)/2

消去参数/,可得运动的轨迹方程

3y=2.v-20m

这是一个直线方程，直线斜率A=虫=tana=2a=33°41\轨迹如图所示。

d.v3

题1.10：飞机以lOOmfT的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100m时，驾驶员要把物品

投到前方某一地面目标处。问：（1）此时目标在飞机下方前多远？（2）投放物品时，驾驶

员看目标的视线和水平线成何角度？（3）物品投出2.00s后，它的法向加速度和切向加速

度各为多少？

题Lio解：（1）取如图所示的坐标，物品卜.落时在水平和竖直方向的运动方程分别为

X=1*），=518广2

飞机水平飞行速度y=100m.sT,飞机离地面的

高度），=100m,由上述两式可得目标在飞机正

下方前的距离

=452m

（2）视线和水平线的夹角为

g=arctg』=125

X

（3）在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为

嗔G

a=arctg—=arctg一

匕v

取自然坐标，物品在抛出2s时，重力加速度的切向分量与法向分量分别为

a,=gsina=gsin=1.88ms-

-2

an=gcosa=gc。9.62ms

题1.11：一足球运动员在正对球门前25.0m处以20.0m.「的初速率罚任意球，己知球门高

为3.44m。若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应在与地面成什么角

度的范围内踢出足球？（足球可视为质点）

题1.11解：取图示坐标系Qxy,由运劭方程

x=vtcos6^,y=v/sin夕-g娟

消去/得轨迹方程

）'=MgO-券（1+tg七卜2

以x=25.0m,v=20.0msT及3.442y20代入后，可解得

71.11°>0x>69.92°

27.92°>02>18.89°

如何理解上述角度得范围？

在初速度•定的条件下，球击中球门底线或球门上缘都将对应有两个不同的投射倾角

（如图所示）。如果以。>71.11。或。<【8.89。踢出足球，都将因射程不足而不能直接射入球门；

由于球门高度的限制，0角也并非能取71.11。与18.89。之间的任何值。当倾角取值为27.92。<

0<69.92。时，踢出的足球将越过门缘而离去，这时也球不能射入球门。因此可取的角度范

围只能是解中的结果。

题1.12：设从某一点O以同样的速率，沿着同一竖直面内各个不同方向同时抛出几个物体。

试证：在任意时刻，这几个物体总是散落在某个圆周上。

题1.12证：取物体抛出点为坐标原点，建立如图所示的坐标系。物体运动的参数方程为

A=v0rcos^,y=v（/sinO--gt'y

消去式中参数凡得任意时刻的轨迹方程为

/+（>'+?/）=M2―~7

这是一个以（0「；8产）为圆心、皿为半径的圆方程（如图所-

示），它代表着所有物体在任意时刻，的位置。

题1.13：一质点在半径为R的圆周上以恒定的速率运动，质点由位置A运动到位置8,OA

和07?所对的圆心角为△<?。

（1）试证位置A和B之间的平均加速度为万=^（l-cosA^v2/（&W）；

（2）当△。分别等于90。、30。、10。和1。时，平均加速度各为多少？并对结果加以讨论。

题1.13解：（1）由图可看到Au=刈-匕，故

|Av|=’v；+近一2V岭cos=vj2（l-cosA8）

而

MR\0

A/=——=----

vv

所以。=!^=J2（1—COSA6）

R\0

⑵将△9=90、30。,10。,1。分别代入上式，得

v2v2v2V2

4«0.9003—,Z7«0.9886—-,««0.9987—,«1.000—

R2R3RR

上述结果表明：当△，-»（）时，匀速率圆周运动的平均加速

度趋于•极限值，该值即为法向加速度匚。

R

题1.14：一质点沿半径为R的圆周按规律s=iV-g〃/2运动，％、”都是常量。（D求，时

刻的总加速度；（2），为何值时总加速度在数值上等于8？（3）当加速度达到。时，质点已

沿圆周运行了多少圈？

题1.14解：（1）质点作圆周运动的速率为

山

v=——=%一b

dr

其加速度的切向分量和法向分量分别为

（1-5,1户=（%一/炉

17=也凡=

RR

故加速度的大小为

0=曲心近HEm

R

其方向与切线之间的夹角为

0=arctg—=arctg-(…丫

Rb

（2）要使同=儿由•!"网，2心-时=。可得

R

%

b

⑶从/=0开始到f=W6时，质点经过的路程为

s=0一”=圣

因此质点运行的圈数为

2忒4加R

题1.15：碟盘是•张表面覆盖••层信息记录物质的塑性圜片。若碟盘可读部分的内外半径分

别为2.50cm和5.80cm。在回放时，碟盘被以恒定的线速度由内向外沿螺旋扫描线（阿基米

德螺线）进行扫描。（1）若开始时读写碟盘的角速度为50.0rad.sT,则读完时的角速度为多

少？（2）若螺旋线的间距为1.60冲]，求扫描线的总长度和回放时间。

题1.15分析：阿基米德螺线是一等速的螺旋线，在极坐标下，它的参数方程可表示为

”7+,冶，式中「为极径，力为初始极径，四极角，Q为常量。它的图线是等间距的，当

间距为d时.，常量。=d/2队因此，扫描线的总长度可通过积分$=卜山9得到。

解：（1）由于线速度恒定，则由v=5,可得外「已々，故碟盘读完时的角速度为

-1

co2=@力Ir2=21.6rads

（2）在可读范围内，螺旋线转过的极角〃=2不卜-，：）/4,故扫描线的总长度为

5=I>28=[旦夕=6-不）=5.38X1）m

JJ。「2一d

碟盘回放的时间为

/=5/v^=4.10xl0's«1.15h

本题在求扫描线的总长度对，也可采用平均周长的计算方法，即

5=2加*=2〃XX=5.38x"m

22d

题1.16：地面上垂直竖立一高20.0m的旗杆，已知正午时分太阳在旗杆的正上方，求在下午

2时止，杆顶在地面上的影子的速度的大小。在何时刻杆影将伸展至长20.0m?

题L16解:设太阳光线对地转动的角速度为。,从正午时分开始计时，则杆的影长为s=

下午2时整，杆顶在地面上影子的速度大小为

drcos2cot

当杆长等于影长时，即$=力，则

coh46y

即为下午3时整。

题1.17：一半径为0.50m的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比。在

f=2.0s时测得轮缘一点速度值为4.0m.sT。求：（1）该轮在r=0.5$的角速度，轮缘一点

的切向加速度和总加速度：（2）该点在2.0s内所转过的侑度。

题1.17解：因4必=酎，由题意得比例系数

k=M=-^―=2rad-s-3

t2Rt2

所以co-co（t）=（2rads'）t2

则年0.5s时的角速度、角加速度和切向加速度分别为

<y=（2rads-3）/*2=0.5rads"

a=（4rads"）/，=2.0rad-s-2

a,=cr/?=1.0m-s-2

总加速度

a=a1+an=aRex+co~Ren

a=+（3"）~=1.01ms-2

在2.0s内该点转过的角度

s_32_33

0-0n=j^<ycir=jj（2rads）rdz=-radst=5.33rad

0013/

题1.18：一质点在半径为0.10m的圆周上运动,其角位置为8=2rad+（4rad.s"）〃。（1）求

在f=2.0s时质点的法向加速度和切向加速度。（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大

小的一半时，夕值为多少？（3）[为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？

题1.18解：⑴由于0=2rad+（4rad-s7）「，则角速度/二包二标乱心一）/,在/=2s时，

dr

法向加速度和切向加速度的数值分别为

=「3'=2.30xIO?ms-2

Id@4八八-2

4-=^—=4.80ms

（it

（2）当4=3=1/a：+时，有3a；=a：,即

乙乙

3%（24rad•s-3）/]2=r2[（12rad-s_3）/2]4

t--s=0.29s

2V3

此时刻的角位置为

0=2rad+（4rad-s-3）/3=3.15rad

(3)要使*=q，则有

r[(l2rads_3)/2]2=324rad-s_3)/

/=0.55s

题1.19：一无风的下雨天，一列火车以匕=20.0m.sT的速度匀速前进，在车内的旅客看见

玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角卜.降，求雨滴下落的速度匕。(设卜.降的雨滴作匀速运动)

题1.19分析：这是一个相对运动的问题。设雨滴为研究对象，地面为静止参考系S,火车

为动参考系S1力为S，相对S的速度，也为雨滴相对S的速度，利用相对运动速度的关系

即可解。

解：以地面为参考系，火车相对地面运动的速度

为M，雨滴相对地面竖直下落的速度为V2,旅客

看到雨滴下落的速度W为相对速度，它们之间的

关系为%=吟+匕，于是可得

%=—^—=5.36ins-1

•唔75'

题1.20：设有一架飞机从4处向东飞到〃处，然后又向西飞回到八处，飞机相对空气的速

率为/,而空气相对地面的速率为〃，A、3间的距离为/,飞机相对空气的速率/保持不

变。(1)假定空气是静止的(即“=0),试证来回飞机飞行时间为，0=2〃/：

(2)假定空气的速度向东，试证来回飞行时间为4=r0(l-勺广；

(3)假定空气的速度向北，试证来回飞行时间为，2=小1-工厂”2。

V.

题1.20证：由相对速度的矢量关系y=/+〃，有

(I)空气是静止的，即〃=0,则往返时，飞机相对地面的&=0

飞行速度v就等于相对空气的速度v'，故飞行往返所需时

间为，

//2/

‘。=[+仆=7+7=7仅)

(2)按题意，当飞机向东时，风速与匕机相对与空气的速度同向；而£机由东返回时，两者

刚好反向。这时，飞机在往返飞行时，相对于地面的速度值分别为％=入〃和%A=K-〃。

因此，飞行往返所需时间为

(3)当空气速度向北时，飞机相对地面的飞行速度的大小由

了=/+〃可得为-=47。7,则飞机往返所需时间为

题1.21：如图所示，一汽车在雨中沿宜线行使，其速率为匕，下落雨滴的速度方向偏于竖

直方向之前角0,速率为△，若车后有一长方形物体，问车速匕为多大时，此物体正好不会

被雨水淋湿？

题1.21分析：这也是一个相对运动的问题。可视雨点为研究对象，地面为静参考系S,汽

车为动参考系S\如图所