大学物理(第四版)课后习题及答案-量子物理

第十七章量子物理

题17.1：天狼星的温度大约是11000℃。试由维思位移定律计算其辐射峰值的波长。

题17.1解：由维思位移定律可得天狼星单色辐出度的格值所对应的波长该波长

_7

2InII=-=2.57xlOm=257nm

属紫外区域，所以天狼星呈紫色

题17.2：已知地球跟金星的大小差不多，金星的平均温度约为773K,地球的平均温度约为

293Ko若把它们看作是理想黑体，这两个星体向空间辐射的能量之比为多少？

题17.2解：由斯特藩一玻耳兹曼定律=可知，这两个星体辐射能量之比为

旦=化］=48.4

M地vifi>

题17・3：太阳可看作是半径为7.0K108m的球形黑体，试计算太阳的温度。设太阳射到地球

表面上的辐射能量为1.4x103Wm-2,地球与太阳间的跑离为1.5x10,Jmo

题17.3解：以太阳为中心，地球与太阳之间的距离d为半径作一球面，地球处在该球面的某

一位置上。太阳在单位时间内对外辐射的总能量将均匀地通过该球面，因此有

4冰一

M(T)=oT4(2)

由式(1)、(2)可得

(d2E\/4

T=――=5800K

题174鸨的逸出功是4.52eV,钢的选出功是2.50eV,分别计算鸨和锁的截止频率。哪一

种金属可以用作可见光范围内的光电管阴极材料？

题17.4解：鸨的截止频率%=些=1.09x1015Hz

钢的截止频率匕合=—=0.63x1015

02hHz

对照可见光的频率范围可知，钢的截止频率%2正好处于该范围内，而铝的截止频率！大

于可见光的最大频率，因而银可以用于可见光范围内的光电管材料。

题17.5：钾的截止频率为4.62x1014Hz,今以波长为435.8nm的光照射,求钾放出的光电子

的初速度。

题17.5解：根据光电效应的爱因斯坦方程

hv=—/zzv2+W

2

其中W=//v0»v-c!A,

可得电子的初速度

1

5-1

v=——-vn11=5.74xl0ms

由于选出金属的电子的速度yvvc,故式中，〃取电子的静止质量。

题17.6：在康普顿效应中，入射光子的波长为3.0x10-3nm,反冲电子的速度为光速的60%,

求散射光子的波长及散射角。

题17.6解：根据能量守恒，相对论质速关系以及散射公式有

m="7()(1—V2/c‘)”2

4-4)=4(1-cose)

由式（1）和式（2）可得散射光子的波长

4/V

2=-------------4.35x10-3nm

4。一勾〃0c

洛入值代入式（3）,得散射角

4—4

0=arccos

题17・7：一具有LOxlO^eV能量的光子，与一静止的自由电子相碰撞，碰撞后，光子的散射

角为60。。试问：（1）光子的波长、频率和能量各改变多少？（2）碰撞后，电子的动能、动

量和运动方向又如何？

题17.7解：（1）入射光子的频率和波长分别为

Ec

匕）=—=2.41x1018Hz»%=——=0.124nm

h%

散射前后光子波长、频率和能量的改变量分别为

3

AA=2V（1-cos^）=1.22x10-nm

式中负号表示散射光子的频率要减小，与此同时:光子也将失去部分能量。

（2）由能量守恒可知，反冲电子获得的动能，就是散射光子失去的能量

=/?v0-/?v=|AE|=95.3eV

由相对论中粒子的能量动量关系式以及动量守恒定律在。），轴上的分量式（图17-7）可得

E；=E%+pl?（1）

&=%+Ek.⑵

生^sin6一〃csin°=0（3）

由式（1）和式（2）可得电子动量

Jf~ke+2foe/।n-24v-I

p=---------------------=5.27x1（）kg•m-s

cc

将其代入（3）式可得电子运动方向

hv.

(p=arcsin-----sink)

_PS_

=arcsin|g^sine]=59032,

LP4I

题17・8：波长为0.10nm的辐射，射在碳上，从

而产生康普顿效应。从实验中测量到散射辐射的

方向与入射辐射的方向相垂直。求：（1）散射辐

射的波长；（2）反冲电子的动能和运动方向。

题17.8解：（1）由散射公式得

Z=/10+2+2C（1-cos^）=0.1024nm

（2）反冲电子的动能等于光子失去的能量，因

此有

4-15

E4=10E,=1.33X10J

〃4=J04^=4.22xl0-24kgms-1

4

/??4=10w,=1.47x10-32kg

hr

-1

(5)当4=1xlO'm时，E5=Itv5==1.99x10'J

2s

22-1

p5=—=6.23x10kgms

%

-0

m5—=2.21x10'kg

c~CA5

题17.10：计算氢原子光谱中莱曼系的最短和最长波长，并指出是否为可见光。

1I

题17.10解：莱曼系的谱线满足2F

/tnfh)

令n\=2,得该谱系中最长的波长4nax=12L5nm

令〃if8,得该谱系中1最短的波长4讪=91.2nm

对照可见光波长范围(400〜760nm),可知莱理系中所有的谱线均不是可见光，它们处在紫

外线部分。

题17.11：在玻尔氢原子理论中，当电子由量子数％=5的轨道跃迁到〃『=2的轨道上时，对

外辐射光的波长为多少？若再将该电子从如二2的轨道跃迁到游离状态，外界需要提供多少能

量？

题17.11解：根据氢原子辐射的波长公式，电子从“=5跃迁到=2轨道状态时对外辐射光

的波长满足

则2=4.34xIO-7m=43.4f.im

而电子从〃f=2跃迁到游离态Rf8所需的能量为

EF

AE=E,-ET——=-3.4eV

~22Z00

负号表示电子吸收能量。

题17.12：如用能量为12.6eV的电子轰击氢原子，将产生哪些谱线？

题17.12解：根据跃迁假设和波数公式有

A/7口Q£1E\

△

E=Ef-Ei=­--------7(1)

%

11

~2

1%?

将K=-13.6eV,m=1和AE=13.6eV（这是受激氢原子可以吸收的最多能量）代入式（1）,

可得，4=3.69,取整“二3（想一想为什么？），即此时氢原子处于〃=3的状态。

由式（2）可得氢原子回到基态过程中的三种可能辐射，所对应的谱线波长分别为102.6nm、

657.9nm和121.6nmo

题17.13：试证在基态氢原子中，电子运动时的等效电流为1.05x10-3A在氢原子核处，这个

电流产生的磁场的磁感强度为多大？

题17.13解：基态时，电子绕核运动的等效电流为

/="'=―^—7=1.05x10-3A

2肛4/〃始

式中V1为基态时电子绕核运动的速度，匕=」一

2加痔

该圆形电流在核处的磁感强度

B="12.5T

2八

上述过程中电子的速度uv<c,故式中〃，取电子的静止质量。

题17.14：已知a粒子的静质量为6.68X1027kg,求速率为5000km/s的a粒子的德布罗意波

长。

题17.14解：由于a粒子运动速率uvvc,故有m=而，则其德布罗意波长为

/?I].

2=-=—-=1.99xlO-5nm

P

题17.15：求动能为1.0eV的电子的德布罗高波的波长.

2

题17.15解：由于电子的静能Eo=^oc=O.512MeV,而电子动能线《4，故有

〃=（2?）仇）”2,则其德布罗意波长为

hh

4==1.23nm

7一（2%反）“2

题17.16：求温度为27℃时，对应于方均很速率的氧气分子的德布罗意波的波长。

题17.16解：理想气体分子的方均根速率JL=J对应的氧分子的德布罗意波长

VM

hhNA〃

=---=-------^==—―=2.58x10"nm

P〃/"U3MRT

题17.17：若电子和光子的波长均为0.20nm,则它们的动量和动能各为多少?

题17.17解:由于光子与电子的波长相同，它们的动量均为

h

p=—=3.22x10-24kg-ms-1

光子的动能£k=E=pc=6.22KeV（对光子：=O,Eo=0）

E=-^=37.8keV

电子的动能k（此处电子动能用非相对论方法计算）

2Mo

题17.18：用德布罗意波，仿照弦振动的驻波公式来求解一维无限深方势阱中自由粒子的能量

与动量表达式。

题17.18解：势阱的自由粒子来回运动，就相当于物质波在区间。内形成了稳定的驻波，由

两端固定弦驻波的条件可知，必有。=〃彳/2,即

^=~（〃=L2,3,…）

由德布罗意关系式〃二夕，可得自由粒子的动量表:iA式

hnh

p=­=一(〃=1,2,3,…)

A2a

由非相对论的动量与动能表达式E=《’可得自由粒子的能量表达式

n2h2

E=5=1,2,3,…)

8/776/2

从上述结果可知，此时自由粒子的动量和能量都是量子化的。

题17.19：电子位置的不确定量为5.0xlO^nm时，其速率的不确定量为多少？

题17.19解：因电子位置的不确定量AxMSxIO'm,由不确定关系式以及A/4二〃?小，,可得

电子速率的不确定量

7-1

Avr='=1.46x10ms

题17.20：铀核的线度为7.2x10一5][1。求其中一个质子的动量和速度的不确定量。

题17.20解：对质子来说，其位置的不确定量△r=Z^Qm=3.6xl（）T5m,由不确定关系

2

式△心pNh以及&>=〃]△丫,可得质子动量和速度的不确定量分别为

△p=—=1.89xIO-20kg-m-s-1

Ar

=I.13x107ms-1

m

题17.21：一质量为40g的子弹以I.Ox103m/s的速率飞行，求：（1）其德布罗意波的波长;

（2）若子弹位置的不确定量为0.10求其速率的不确定量。

题17.21解：（1）子弹的德布罗意波长为

/l=—=1.66xlCr35m

tnv

（2）由不确定关系式以及Az，、="公匕可得子弹速率的不确定量为

Av=--^―=1.66xlO28m-s-1

mmAx

由计算可知，由于〃值极小，其数量级为10-34,故不确定关系式只对微观粒子才有实际

意义，对于宏观物体，其行为可以精确地预言。

题17.22：试证如果粒子位置的不确定量等于其德布罗意波长，则此粒子速度的不确定量大于

或等于其速度。

题17.22证：由题意知，位置不确定量©=%,由不确定关系式可得△〃N上■=《，而△八竺，

AxXm

故速度的不确定量

Av>-^-=—,BPAv>v

〃沈m

题17.23：已知一维运动粒子的波函数为

/、小”x>0

W（x）=〈

[ox<0

式中丸>0,试求：（1）归一化常数4和归一化波函数；（2）该粒子位置坐标的概率分布函

数（又称概率密度）；（3）在何处找到粒子的概率最大。

题17.23解：⑴由归一化条件，：.（刈2成=1,有

[°02（ir+[A2x2e2^dx=fxA2x2e2^dx==1

JrJ0J04万

2b

A=（注：利用积分公式「ye->dy=jr）

经归一化后的波函数为

x>0

2I。x<0

（2）粒子的概率分布函数为

x>0

I3片产x<0

（3）令3.（刈।=o,,有4才（2xe-2Zx-2^2e~2Ar）=0,得x=0,工=工和xfoo时，函数卜（x）广

dxA

有极值。由二阶导数'忸⑶><。可知，在工=!史，帆（用「有最大值，即粒子在该处出

心一I4

x=­

现的概率最大。

题17.24：设有一电子在宽为0.20nm的一维无限深的方势阱中。（1）计算电子在最低能级的

能量；（2）当电子处于第一激发态（n=2）时，在势阱中何处出现的概率最小，其值为多少？

题17.24解：（I）一维无限深势饼中粒子的可能能量纥=〃2上二，式中。为势阱宽度，当

量子数〃=1时，粒子处于基态，能量最低。因此，电子在最低能级的能量为

E.=—=1.51x10,8J=9.43eV

Sma

（2）粒子在无限深方势阱中的波函数为

2.〃乃

=J-sin—x,n=1,2,...

Vaa

当它处于第一激发态（〃=2）时，波函数为

y/（x）=J-sin—0<x<a

用应的概率密度函数为

2

M（刈2=-|sin孑x,0<x<a

令也忒1=0

civ

得

81.2公2G„

-^-sin---cos---=0

a~aa

在OWa的范围内讨论可得，当x=0,%%和a时，函数眄4取得极值。由

训］＞0可知,函数在x=0,x=〃/2和x=〃（即A=0,0.1Onm,0.20nm）处概率最小,

dx

其值均为零。

题17.25：在线度为1.0x1CPm的细胞中有许多质量为〃7=1。x10-7kg的生物粒子，若将生

物粒子作为微观粒子处理，试估算该粒子的〃=100和八=101的能级和能级差各是多大。

题17.25解：按一维无限深方势阱这一物理模型计算，可得

川

A?=100ll'J,E.=/?2——=5.49X10-37J

Sma27

扇

〃二101时，E,=/——=5.60X10-37J

-8"苏7

38

它们的能级差AE=£2-£I=l.llxlO-J

题17.26：一电子被限制在宽度为l.Ox10-7口的一维无限深势阱中运动。（1）欲使电子从基

态跃迁到第一激发态，需给它多少能量？（2）在基态时，电子处于汨=0.090X10」。m与念

=0.110xIO-10m之间的概率为多少？（3）在第一激发态时，电子处于范'=0与

,

x2=0.25xl0-1°m之间的概率为多少?

题17.26解：（1）电子从基态（〃=1）跃迁到第一激发态（〃=2）所需能量为

/；2h2

\E=E,-E.=«；—H-=112eV

~'Sina-Sma-

（2）当电子处于基态（«=1）时，电子在势阱中的概率密度为忸（刈2=去出2/工。所求

区间宽度8=%-玉，区间的中心位置儿=土笠，则电子在所求区间的概率近似为

1

<二J：M")l让w帆区)「Ax=2sin2(X•，；")(%—X])=3.8x10-3

（3）同理，电子在第一激发态（〃=2）的概率密度为|%（幻『=[sin22三x,则电子在所

求区间的概率近似为

P,=-sin2(—-^±^)(.7)=0.25

aa2

题17.27：在描述原子内电子状态的量子数%/,叫中，（1）当m=5时，，的可能值是多少？

（2）当/=5时，也的可能值为多少？（3）当/=4时，〃的最小可能值是多少？⑷当〃=

3时，电子可能状态数为多少？

题17.27解：（1）〃=5时，/的可能值为5个，它们是/=0,1,2,3,4；

（2）/=5时，%的可能值为11个,它们是〃?,=0,±1,±2,±3,±4,±5；

（3）/=4时,因为/的最大可能值为（〃-1）,所以〃的最小可能值为5；

（4）〃=3时，电子的可能状态数为2层=18。

题17.28：氢原子中的电子处于〃=4、/=3的状态。问：（