2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 菱形存在问题（含答案）

2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习菱形存在问题LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)，交y轴于C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；(3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；(3)点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；(3)点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，直线y＝﹣2x＋8分别交x轴，y轴于点B，C，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过B，C两点，其顶点为M，对称轴MN与直线BC交于点N．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，点P是线段BC上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交抛物线于点Q，问：是否存在点P，使四边形MNPQ为菱形？并说明理由；(3)如图2，点G为y轴负半轴上的一动点，过点G作EF∥BC，直线EF与抛物线交于点E，F，与直线y＝﹣4x交于点H，若，求点G的坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x＋c(a≠0)与x轴交于点A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．OA、OB的长是不等式组的整数解(OA＜OB)，点D(2，m)在抛物线上．(1)求抛物线的解析式及m的值；(2)y轴上的点E使AE和DE的值最小，则OE＝；(3)将抛物线向上平移，使点C落在点F处．当AD∥FB时，抛物线向上平移了个单位；(4)点M在在y轴上，平面直角坐标系内存在点N使以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(﹣1，0)，B(4，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点D，连接AD，与直线BC相交于点E，当DE：AE＝4：5时，求tan∠DAB的值；(3)点P是直线BC上一点，在平面内是否存在点Q，使以点P，Q，C，A为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2﹣4x﹣2的顶点为A，与y轴交于点B，将抛物线C1绕着平面内的某一点旋转180°得到抛物线C2，抛物线C2与y轴正半轴相交于点C．(1)求A、B两点的坐标；(2)若抛物线C2上存在点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形，请求出此时抛物线C2的表达式．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣eq\f(1,2)x2﹣eq\f(3,2)x＋2交x轴于点A、B，交y轴于点C．(1)求△ABC的面积；(2)如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且∠OCM＝∠OAC，点P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标；(3)将该抛物线沿射线AC方向平移eq\r(5)个单位后得到的新抛物线为y′＝ax2＋bx＋c(a≠0)，新抛物线y′与原抛物线的交点为E，点F为新抛物线y′对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、E、F、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点B、C(点B在点C左侧)，与y轴相交于点A．已知点B坐标为B(1，0)，BC＝3，△ABC面积为6．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD∥AB，交线段AC于点D．求PD长度的最大值及此时P点的坐标；(3)如图2，将抛物线向左平移eq\f(7,2)个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴l上一点，N为平面内一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点坐标的过程．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点A(﹣2，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC．(1)求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标；(2)E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标；(3)点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；(2)如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，PH⊥BC于点H，连接PB、PC，‘∵B(3，0)、C(0，3)，∴OB＝OC＝3，BC＝3eq\r(2)，设直线BC解析式为y＝kx＋n，则，解得，∴直线BC解析式为y＝﹣x＋3，∵点P的横坐标为t，且在抛物线y＝﹣x2＋2x＋3上，∴P(t，﹣t2＋2t＋3)，又∵PD⊥x轴于点D，交BC于点E，∴D(t，0)，E(t，﹣t＋3)，∴PE＝(﹣t2＋2t＋3)﹣(﹣t＋3)＝﹣t2＋3t，∴S△PBC＝eq\f(1,2)PE(xB﹣xC)＝eq\f(1,2)(﹣t2＋3t)×3＝﹣eq\f(3,2)t2＋eq\f(9,2)t，又∵S△PBC＝eq\f(1,2)BCPH＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)h＝eq\f(3\r(2),2)h，∴eq\f(3\r(2),2)h＝﹣eq\f(3,2)t2＋eq\f(9,2)t，∴h与t的函数关系式为：h＝﹣eq\f(\r(2),2)t2＋eq\f(3\r(2),2)t(0＜t＜3)，∵，∴当t＝eq\f(3,2)时，h有最大值为eq\f(9,8)eq\r(2)；(3)存在．①若AM为菱形对角线，如图2，则AM与CN互相垂直平分，∴N(0，﹣3)；②若CM为菱形对角线，如图3和图4，则CN＝AM＝AC＝，∴N(﹣，3)或N(，3)；③若AC为菱形对角线，如图5，则CN＝AM＝CM，设M(m，0)，由CM2＝AM2，得m2＋32＝(m＋1)2，解得m＝4，∴CN＝AM＝CM＝5，∴N(﹣5，3)．综上可知存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，符合条件的点N有4个：(0，﹣3)或(﹣eq\r(10)，3)或(eq\r(10)，3)或(﹣5，3)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)将点A(﹣1，0)、点C(0，3)代入y＝﹣x2＋bx＋c，∴，解得，∴y＝﹣x2＋2x＋3，∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1；(2)令﹣x2＋2x＋3＝0，解得x＝﹣1(舍去)或x＝3，∴B(3，0)，∵点D与点C关于对称轴对称，∴D(2，3)，∴BD的中点H为(eq\f(5,2)，eq\f(3,2))，BD＝eq\r(10)，∵∠BPD＝90°，∴PH＝eq\f(1,2)BD，设P(1，t)，∴(eq\f(3,2))2＋(eq\f(3,2)﹣t)2＝eq\f(1,4)×10，解得t＝1或t＝2，∴P(1，1)或(1，2)；(3)存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，理由如下：设M(m，﹣m2＋2m＋3)，N(1，n)，①当AB为菱形的对角线时，AM＝AN，∴，解得，∴N(1，﹣4)；②当AM为菱形对角线时，AB＝AN，∴，此时无解；③当AN为菱形对角线时，AB＝AM，∴，此时无解；综上所述：N点坐标为(1，﹣4)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A(﹣1，0)，B(3，0)两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2＋4x＋6；(2)由(1)得，点C(0，6)，设直线BC的解析式为y＝kx＋c，∵直线BC经过点B(3，0)，C(0，6)，∴，解得：∴直线BC的解析式为y＝﹣2x＋6，设点M的坐标为(m，﹣2m＋6)(0＜m＜3)，如图1，过点M作MN⊥y轴于点N，过点H作HK⊥y轴于点K，则∠MNO＝∠OKH＝90°，∵OH⊥OM，∴∠MOH＝90°，∵∠OMB＝45°，∴△MOH是等腰直角三角形，∴OM＝OH．∵∠MON＋∠KOH＝90°，∠OHK＋∠KOH＝90°，∴∠MON＝∠OHK，∴△OMN≌△HOK(AAS)，∴MN＝OK，ON＝HK．∴H(﹣2m＋6，﹣m)，∵点H(﹣2m＋6，﹣m)在直线y＝﹣2x＋6上，∴﹣2(﹣2m＋6)＝﹣m，解得：m＝eq\f(6,5)，把m＝eq\f(6,5)代入y＝﹣2x＋6得：y＝eq\f(18,5)，∴当∠OMB＝45°时，点M的坐标为(eq\f(6,5),eq\f(18,5))；(3)存在，理由如下：∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2＋4x＋6＝﹣2(x﹣1)2＋8，顶点为D，∴点D的坐标为(1，8)，分两种情况讨论：①当CD为菱形的边时，如图2，过C作CE⊥DQ于E∵C(0，6)，D(1，8)，∴CD＝eq\r(5)，∴DQ＝CD＝eq\r(5)，∴Q点的坐标为(1，8﹣eq\r(5))或(1，8＋eq\r(5))；②当CD为菱形的对角线时，如图3，设点Q(1，m)，P(0，n)，∵C(0，6)，D(1，8)，∴m＋n＝6＋8＝14，∴n＝14﹣m，∴P(0，14﹣m)，∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m，∵CQ＝，PC＝CQ，∴8﹣m＝，解得：m＝eq\f(27,4)，∴点Q的坐标为(1，eq\f(27,4))；综上所述，点Q的坐标为(1，8﹣eq\r(5))或(1，8＋eq\r(5))或(1，eq\f(27,4))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵直线y＝﹣2x＋8分别交x轴，y轴于点B，C，∴B(4，0)，C(0，8)，∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过B，C两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋8；(2)不存在点P，使四边形MNPQ为菱形．理由如下：设P(t，﹣2t＋8)，∵PD⊥x轴，∴PD∥y轴，即PQ∥y轴，则Q(t，﹣t2＋2t＋8)，∴PQ＝﹣t2＋2t＋8﹣(﹣2t＋8)＝﹣t2＋4t，∵y＝﹣x2＋2x＋8＝﹣(x﹣1)2＋9，∴抛物线的顶点为M(1，9)，对称轴为直线x＝1，∴N(1，6)，∴MN＝9﹣6＝3，MN∥y轴，∴PQ∥MN，要使四边形MNPQ为菱形，必须PQ＝MN＝PN，由﹣t2＋4t＝3，解得：t＝1或t＝3，当t＝1时，点P与点N重合，点Q与点M重合，舍去；当t＝3时，P(3，2)，Q(3，5)，∴PQ＝5﹣2＝3，∴PQ＝MN，∵PQ∥MN，∴四边形MNPQ是平行四边形，∵PN＝2eq\r(5)，∴PN≠MN，故四边形MNPQ不能为菱形．(3)如图(2)，连接MG，过点H、E、F分别作y轴的垂线，垂足依次为K、L、T，设G(0，m)，∵EF∥BC，直线BC：y＝﹣2x＋8，∴直线EF的解析式为y＝﹣2x＋m，∵直线EF与直线y＝﹣4x交于点H，∴，解得：，∴H(﹣eq\f(1,2)m，2m)，∴HK＝﹣eq\f(1,2)m，GK＝﹣m，在Rt△GHK中，HG＝﹣eq\f(\r(5),2)m，∵直线EF与抛物线交于点E，F，∴﹣x2＋2x＋8＝﹣2x＋m，整理得：x2﹣4x＋m﹣8＝0，∴xE＋xF＝4，xExF＝m﹣8，在Rt△BOC中，OB＝4，OC＝8，∴BC＝4eq\r(5)，∴sin∠BCO＝eq\f(\r(5),5)，∵EF∥BC，∴∠FGT＝∠EGL＝∠BCO，∴sin∠FGT＝sin∠EGL＝sin∠BCO＝eq\f(\r(5),5)，∴EG＝﹣eq\r(5)xE，FG＝eq\r(5)xF，∴﹣＝＝＝，∵﹣＝，∴＝，解得：m＝﹣8，∴点G的坐标为(0，﹣8)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)所给不等式组的解集为2≤x＜4，其整数解为2，3，∵OA、OB的长是所给不等式组的整数解，且OA＜OB，∴OA＝2，OB＝3，则A(﹣2，0)，B(3，0)，∵点A、B在抛物线上，∴，解得a=1,c=-6，∴所求的抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣6，∵点D(2，m)在抛物线上，∴m＝22﹣2﹣6＝﹣4；(2)如图1所示，连接AD交y轴于点E，则此时AE＋ED最小，设直线AD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∵点A(﹣2，0)，D(2，﹣4)在直线AD上，∴，解得，∴直线AD的函数解析式为y＝﹣x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，即E(0．﹣2)，∴OE＝|﹣2|＝2，故答案为：2；(3)如图1，∵AD∥FB，∴△AEO∽△BFO，∴＝，∵OE＝OA＝2，∴OF＝OB＝3，∵C(0，﹣6)，∴OC＝|﹣6|＝6，∴CF＝CO＋OF＝6＋3＝9，∴抛物线向上平移9个单位，故答案为：9；(4)∵以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，对角线互相垂直且平分，由∵OA≠OB，∴AB与MN不能作为一组对角线，∴分两种情况：①以AM与BN为对角线时，如图2①和图2②，如图2①，AB＝OA＋OB＝2＋3＝5，∵四边形ABMN是菱形，∴MN∥AB∥x轴，MN＝MB＝AB＝5，在Rt△MBO中，OM＝4，∴M(0，4)，∴N(﹣5，4)，如图2②，同理可得：N(﹣5，﹣4)，②以AN与BM为对角线时，如图2③和图2④，如图2③，菱形的边长仍为5，MN∥x轴，∵MO＝eq\r(21)，∴M(0，eq\r(21))，∴N(5，eq\r(21))，如图2④，同理可得：N(5，﹣eq\r(21))，综上所述，①②两种情况，符合条件的点N的坐标为：N1(﹣5，﹣4)、N2(﹣5，4)、N3(5，eq\r(21))、N4(5，﹣eq\r(21))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：将A(﹣1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋3，得，解得，∴解析式为；(2)当x＝0时，，∴C(0，3)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(4，0)，C(0，3)分别代入得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣eq\f(3,4)+3，过点D作y轴的平行线，交直线BC与点F，交x轴于点H，过点A作y轴的平行线，交直线BC与点G，∵A(﹣1，0)，∴当x＝﹣1时，y＝eq\f(15,4)，∴G(-1,eq\f(15,4))，AG=eq\f(15,4)，∵AG∥y轴∥DF，∴△DEF∽△AEG，∴，∴＝，∴DF＝3，设，，∴，解得：t1＝t2＝2，∴D(2,eq\f(9,2))，∴DH=eq\f(9,2)，AH＝1＋2＝3，在Rt△ADH中，tan∠DAB=eq\f(3,2)；(3)存在，分三种情况：①如图2，四边形ACPQ是菱形，则PC＝AC，设P(x，﹣eq\f(3,4)x＋3)，∵A(﹣1，0)，C(0，3)，∴得：x＝±eq\f(4,5)eq\r(10)，当x＝﹣eq\f(4,5)eq\r(10)时，P(﹣eq\f(4,5)eq\r(10)，eq\f(3,5)eq\r(10)+3)，∴Q(﹣eq\f(4,5)eq\r(10)﹣1，eq\f(3,5)eq\r(10))，当x＝eq\f(4,5)eq\r(10)时，P(eq\f(4,5)eq\r(10)，﹣eq\f(3,5)eq\r(10)+3)，∴Q(eq\f(4,5)eq\r(10)﹣1，﹣eq\f(3,5)eq\r(10))；②如图3，四边形APCQ是菱形，∵BC＝AB＝5，∴B在AC的垂直平分线上，∴P与B重合，∴Q(﹣5，3)；③如图4，四边形ACQP是菱形，同理得P(1.6，eq\f(9,5))，∴Q(2.6，eq\f(24,5))；综上，点Q的坐标为(﹣eq\f(4,5)eq\r(10)﹣1，eq\f(3,5)eq\r(10))或(eq\f(4,5)eq\r(10)﹣1，﹣eq\f(3,5)eq\r(10))或(﹣5，3)或(2.6，eq\f(24,5))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线C1：y＝﹣x2﹣4x﹣2＝﹣(x＋2)2＋2，∴顶点A(﹣2，2)，令x＝0，可得y＝﹣2，∴B(0，﹣2)．(2)如图1中，当AB为菱形的边时，四边形ABCD是菱形，由题意A(﹣2，2)，B(0，﹣2)，C(0，6)，D(2，2)，此时抛物线C1与C2关于T(0，2)成中心对称，∴D(2，2)是抛物线C2的顶点，∴抛物线C2的解析式为y＝(x﹣2)2＋2，即y＝x2﹣4x＋6．如图2中，当AB是菱形的对角线时，四边形ADBC是菱形，此时CA＝BC，设C(0，m)则有，22＋(2﹣m)2＝(m＋2)2，∴m＝eq\f(1,2)，∴C(0，eq\f(1,2))，∵AD＝BC＝eq\f(5,2)，∴D(﹣2，﹣eq\f(1,2))，设抛物线C2的解析式为y＝x2＋bx＋eq\f(1,2)，把D(﹣2，﹣eq\f(1,2))代入y＝x2＋bx＋eq\f(1,2)，可得﹣eq\f(1,2)＝4﹣2b＋eq\f(1,2)，解得b＝eq\f(5,2)，∴抛物线C2的解析式为y＝x2＋eq\f(5,2)x＋eq\f(1,2)，如图3中，当AB是菱形的边时，点C是抛物线的顶点(0，2eq\r(5)﹣2)，可得抛物线的解析式为y＝x2＋2eq\r(5)﹣2．综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y＝x2﹣4x＋6或y＝x2＋eq\f(5,2)x＋eq\f(1,2)或y＝x2＋2eq\r(5)﹣2．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)在y＝﹣eq\f(1,2)x2﹣eq\f(3,2)x＋2中，令x＝0，则y＝2，∴C(0，2)，∴OC＝2，令y＝0，则﹣eq\f(1,2)x2﹣eq\f(3,2)x＋2＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣4，∴A(﹣4，0)，B(1，0)，∴AB＝1﹣(﹣4)＝5，∴S△ABC＝eq\f(1,2)ABOC＝eq\f(1,2)×5×2＝5；(2)如图1，过点P作PN∥y轴，交AC于点T，交CM于点N，交x轴于点K，过点G作GH⊥PN于点H，则∠PNG＝∠OCM，∠PHG＝∠AKT＝90°，∵PG⊥AC，∴∠PET＝90°＝∠AKT，∴∠PTE＋∠TPE＝90°，∠OAC＋∠ATK＝90°，∵∠PTE＝∠ATK，∴∠TPE＝∠OAC，∵∠OCM＝∠OAC，∴∠PNG＝∠TPE＝∠OAC，∴PG＝NG，∵GH⊥PN，∴PH＝eq\f(1,2)PN，∵tan∠OAC＝tan∠OCM，∴＝，即＝，∴OM＝1，∴M(﹣1，0)，设直线OM的解析式为y＝kx＋b，∵M(﹣1，0)，C(0，2)，∴，解得：，∴直线CM的解析式为y＝2x＋2，设P(m，﹣eq\f(1,2)m2﹣eq\f(3,2)m＋2)，则N(m，2m＋2)，∴PN＝﹣eq\f(1,2)m2﹣eq\f(3,2)m＋2﹣(2m＋2)＝﹣eq\f(1,2)m2﹣eq\f(7,2)m，∴PH＝eq\f(1,2)PN＝﹣eq\f(1,4)m2﹣eq\f(7,4)m，∵AC＝2eq\r(5)，∴＝cos∠TPE＝cos∠OAC＝＝＝，∴PG＝PH＝﹣m2﹣m＝﹣(m＋)2＋，∴当m＝﹣eq\f(7,2)，PG最大，最大值为，故当点P坐标为(﹣eq\f(7,2)，eq\f(9,8))时，PG最大，最大值为；(3)抛物线y＝﹣eq\f(1,2)x2﹣eq\f(3,2)x＋2＝﹣eq\f(1,2)(x＋eq\f(3,2))2＋，该抛物线沿射线AC方向平移eq\r(5)个单位，实际上就是向右平移2个单位，向上平移1个单位，平移后的解析式为：y＝﹣eq\f(1,2)(x﹣eq\f(1,2))2＋，对称轴为直线x＝eq\f(1,2)，两个抛物线交于E点，所以﹣eq\f(1,2)(x＋eq\f(3,2))2＋＝﹣eq\f(1,2)(x﹣eq\f(1,2))2＋，解得：x＝﹣1，代入得y＝3，∴E(﹣1，3)，设F(eq\f(1,2)，n)，则AE2＝(﹣1＋4)2＋32＝18，AF2＝(eq\f(1,2)＋4)2＋n2，EF2＝(eq\f(1,2)＋1)2＋(n﹣3)2，当AE＝AF时，18＝20.25＋n2，此方程无实数根；当AE＝EF时，18＝n2﹣6n＋11.25，解得：n1＝3﹣eq\f(3\r(7),2)，n2＝3＋eq\f(3\r(7),2)，则F1(eq\f(1,2)，3﹣eq\f(3\r(7),2))，对应的Q1(﹣eq\f(5,2)，﹣eq\f(3\r(7),2))；F2(eq\f(1,2)，3＋eq\f(3\r(7),2))，对应的Q2(﹣eq\f(5,2)，eq\f(3\r(7),2))；当AF＝EF时，20.25＋n2＝n2﹣6n＋11.25，解得：n＝﹣eq\f(3,2)，F3(eq\f(1,2)，﹣eq\f(3,2))，对应的Q3(﹣eq\f(11,2)，eq\f(9,2))；综上所述，Q点的坐标为(﹣eq\f(5,2)，﹣eq\f(3\r(7),2))或(﹣eq\f(5,2)，eq\f(3\r(7),2))或(﹣eq\f(11,2)，eq\f(9,2))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵S△ABC＝eq\f(7,2)BCOA＝6，BC＝3，B(1，0)，∴OA＝4，C(4，0)，∴A(0，4)，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x＋4；(2)如图，过点P作PE∥y轴交AC于点E，作DF⊥PE于F，∵OC＝OA＝4，则∠OAC＝∠DEF＝45°．∴DF＝EF，∵PD∥AB，∴∠ABO＝∠DGB＝∠HGP．∵∠ABO＋∠OAB＝90°，∠HGP＋∠DPE＝90°，∴∠OAB＝∠DPE．∴tan∠DPE＝tan∠OAB＝eq\f(1,4)，∴，∴PF＝4DF．∵EF＝DF．∴PE＝PF﹣EF＝3DF．∴DF＝eq\f(1,3)PE，又在Rt△PDF中，由勾股定理得：PD＝eq\r(17)DF＝eq\f(1,3)eq\r(17)PE．设点P(t，t2﹣5t＋4)，∵C(4，0)，A(0，4)，∴直线AC解析式为：y＝﹣x＋4，∴点E坐标为(t，﹣t＋4)∴PE＝yE﹣yP＝﹣t＋4﹣(t2﹣5t＋4)＝﹣t2＋4t，∴PD＝eq\f(1,3)eq\r(17)PE＝eq\f(1,3)eq\r(17)(﹣t2＋4t)＝﹣eq\f(1,3)eq\r(17)(t﹣2)2＋eq\f(4,3)eq\r(17)，∵﹣eq\f(1,3)eq\r(17)＜0，∴当t＝2时，PD有最大值eq\f(4,3)eq\r(17)，此时点P(2，﹣2)；(3)∵y＝x2﹣5x＋4＝(x﹣eq\f(5,2))2﹣eq\f(9,4)，该抛物线向左移动eq\f(7,2)个单位，∴新抛物线的解析式为：y′＝(x＋1)2﹣eq\f(9,4)，∴新抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设M(﹣1，t)；当线段AB为菱形的对角线时，MA＝MB，∵A(0，4)，B(1，0)，∴MA2＝12＋(4﹣t)2＝t2﹣8t＋17，MB2＝t2＋4，∴t2﹣8t＋17＝t2＋4，解得t＝，∴M(﹣1，)，∵A(0，4)，B(1，0)，∴0＋1﹣(﹣1)＝2，0＋4﹣＝，∴N(2，)；当线段AB为菱形的边时，∵A(0，4)，B(1，0)，∴MA2＝12＋(4﹣t)2＝t2﹣8t＋17，AB2＝17，MB2＝t2＋4，①当MA＝AB时，MA2＝AB2，即t2﹣8t＋17＝17，∴t＝0或t＝8；∴M(﹣1，0)或(﹣1，8)；∵直线AB为y＝﹣4x＋4，当x＝﹣1时，y＝8，∴(﹣1，8)在直线AB上，不合题意，舍去，∵A(0，4)，B(1，0)，∴﹣1＋1＝0，0﹣4＝﹣4，∴N(0，﹣4)；②当BA＝BM时，BA2＝BM2，即17＝t2＋4，∴t＝eq\r(13)或t＝﹣eq\r(13)；∴M(﹣1，eq\r(13))或(﹣1，﹣eq\r(13))；∵A(0，4)，B(1，0)，∴﹣1﹣1＝﹣2，∴N(﹣2，eq\r(13)＋4)或(﹣2，﹣eq