新疆乌鲁木齐市2024-2025学年高二数学下学期开学考试试题

Page8乌鲁木齐市2024-2025学年高二数学下学期开学考试（考试范围：选择性必修一全册）总分150分考试时间120分钟一、单项选择题（12小题每题5分共60分）1．已知直线与相互垂直，则（

）A． B． C．3 D．12．过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（

）A．1条 B．2条C．3条 D．4条3．抛物线的焦点坐标为是抛物线上一点，则点M到抛物线的准线的距离是（

）A．4 B．5 C．6 D．74．已知椭圆的长轴长为10，离心率为，则椭圆的短轴长为（

）A．3 B．4 C．6 D．85．曲线表示（

）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆6．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，B，点A在第一象限，且|AF|﹣|BF|，则（

）A． B．2 C．3 D．47．已知，，，且，则（

）A． B． C． D．8．若直线与直线相互垂直，则a的值为（

）A． B．1C． D．29．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．11．已知点在直线上，点在椭圆上，则的最小值是（

）A． B． C． D．12．圆与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内含 D．外切二、填空题（共4小题，每题5分共20分）13．在正方体中，给出以下向量表达式：①；

②；③；

④.其中能够化简为向量的是______________（填序号）.14．平面的斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别为，则斜线与平面所成角为__________.15．已知空间三点，，，向量分别与，都垂直，且，且的横､纵､竖坐标均为正，则向量的坐标为___________.16．已知直线与圆相交于A，B两点，则线段的长为___________.三、解答题（共70分，请依据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。）17．如图，在四棱锥中，，底面，是边长为2的菱形，，正所在平面与底面垂直．(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值．18．已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.(1)若点是棱上的动点请推断下列条件：①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论；(2)若点为棱上的一点（不含端点），摸索究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，恳求出的值，若不存在，请说明理由.19．推断下列不同的直线与是否平行.（1）的斜率为2，经过，两点；（2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点；（3）经过，两点，经过，两点．20．双曲线的实轴为，点是双曲线上的一个动点，引，，与的交点为，求点的轨迹方程.21．求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．22．如图，在三棱锥中，，O为中点.(1)证明：直线平面；(2)若点M在棱上，，且，求直线与平面所成角的余弦值.高二数学开学考试答案：123456789101112DBCDDBCBCCAD13．①②【解析】①中，；②中，；③中，；④中，.故答案为：①②.14．【解析】由线面角的含义知，即为线面所成角或其补角，又因为线面角，所以，所以，即斜线与平面所成角为60°.故答案为：.15．【解析】设向量的坐标为，因为，，，所以，，因为向量分别与，都垂直，且，所以，解得：，所以向量的坐标为，故答案为：.16．【解析】直线恒过点，圆的圆心，半径为，直线恒过圆的圆心，所以直线交圆的弦长为直径，所以线段的长为.故答案为：.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）设的中点为O，利用面面垂直的性质证明平面，从而证明，进而证明四边形为平行四边形，由此可证明平面；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出面和平面的法向量，利用向量的夹角公式结合同角的三角函数的平方关系即可求得答案.(1)设的中点为O，连接,因为是正三角形，所以，又因为平面平面，所以平面，又因为底面，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，所以，平面，因此平面．(2)因为，，所以是正三角形，连接OB,则，如图，以O为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，可取平面的法向量为，设平面的法向量，由，由，令，即，所以，所以所求二面角的正弦值为．18．(1)②，证明见解析(2)存在，【分析】（1）先连接、交于，确定是的几等分点，再确定是的几等分点．（2）建立空间直角坐标系，平面垂直，对应法向量垂直，数量积为，列出方程求解．（1）条件②可以推断平面.如图，连接，相交于点，连EM.在梯形中，有，，.又因为，所以，故，又平面，平面，所以平面.故当时，平面.（2）以A为原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系，则A(0，0，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(0，2，0)，设，则对于平面ADN，设其法向量，满意，即，故取对于平面BDN，设其法向量，满意，即，故取，若平面ADN平面BDN，则，即，解得，此时N为PC的中点，.19．（1）平行；（2）平行；（3）平行.【分析】（1）利用两直线的斜率是否相等进行推断即可.（2）依据直线的斜率即可推断.（3）求出两直线的斜率即可求解.【解析】（1）经过，两点，则，则，可得两直线平行.（2）经过，两点，可得平行于x轴，平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以；（3）经过，两点，，经过，两点，则，所以.20．【解析】设，，，，由已知条件可得，即，又点在双曲线上，代入可得，即为点的轨迹方程.【解析】设，，，，由题意可知，，否则点（或点）和点（或点）重合，不符合题意；，，利用垂直斜率关系可得，两式相乘得①又点在双曲线上，，即将其代入①式得，化简整理得：所以点的轨迹方程为：21．.【分析】依据等轴双曲线可设为，点代入干脆求解即可.【解析】设所求的等轴双曲线的方程为：，将代入得：，即，所以等轴双曲线的标准方程：22．(1)证明见解析(2)【分析】（1）证得和，然后依据线面垂直的判定定理即可得出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【解析】（1）∵，且为中点，∴，∵，且为中点，∴，∵，且为中点，∴，∵，，，∴，∴，∵，平面，且，