新课标2025版高考数学一轮总复习第9章统计与统计案例第1节随机抽样教师用书

PAGEPAGE1第一节随机抽样考试要求：了解简洁随机抽样和分层随机抽样的必要性，驾驭分层随机抽样的样本平均数，知道获得数据的基本途径．一、教材概念·结论·性质重现1．简洁随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，假如抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简洁随机抽样；假如抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简洁随机抽样．放回简洁随机抽样和不放回简洁随机抽样统称为简洁随机抽样．(2)最常用的简洁随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．(3)应用范围：总体个体数较少．2．分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简洁随机抽样，再把全部子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样．(1)每一个子总体称为层．在分层随机抽样中，假如每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的安排方式为比例安排．(2)假如层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，则2层的样本平均数分别为eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，2层的总体平均数分别为eq\x\to(X)，eq\x\to(Y)，总体平均数为eq\x\to(W)，样本平均数为eq\x\to(w)．则eq\x\to(w)＝eq\f(m,m＋n)eq\x\to(x)＋eq\f(n,m＋n)eq\x\to(y)，eq\x\to(W)＝eq\f(M,M＋N)eq\x\to(X)＋eq\f(N,M＋N)eq\x\to(Y)．(3)在比例安排的分层随机抽样中，可以干脆用样本平均数eq\x\to(w)估计总体平均数eq\x\to(W)．两种抽样方法的特点、联系及适用范围类别简洁随机抽样分层随机抽样共同点抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等各自特点从总体中逐个抽取将总体分成几层，分层进行抽取联系各层抽样时，采纳简洁随机抽样适用范围总体个数较少总体由差异明显的几部分组成二、基本技能·思想·活动阅历1．推断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)简洁随机抽样的每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关． (×)(2)在抽签法中，先抽的人抽中的可能性大． (×)(3)在分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关． (×)2．现有以下两项调查：①从10台冰箱中抽取3台进行质量检查；②某社区有600户家庭，其中高收入家庭180户，中等收入家庭360户，低收入家庭60户，为了调查家庭购买力的某项指标，拟抽取一个容量为30的样本．则完成这两项调查最相宜采纳的抽样方法分别是()A．①②都采纳简洁随机抽样B．①②都采纳分层随机抽样C．①采纳简洁随机抽样，②采纳分层随机抽样D．①采纳分层随机抽样，②采纳简洁随机抽样C解析：对于①，“从10台冰箱中抽取3台进行质量检查”，总体容量比较少，应采纳简洁随机抽样法；对于②，总体容量较多，且样本差异比较明显，应采纳分层随机抽样法．3．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体B．个体C．样本量D．从总体中抽取的一个样本A解析：由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本量是200．4．某学校高二年级选择“史政地”“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210,90和60．若采纳分层随机抽样的方法从中随机抽取12名学生，则从“史政生”组合中抽取的学生人数为()A．7 B．6C．3 D．2C解析：由题意可知，“史政地”“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210,90和60，故“史政生”所占的比例为eq\f(90,210＋90＋60)＝eq\f(1,4)．由于分层随机抽样是按比例抽取，可得“史政生”组合中抽取的学生人数为12×eq\f(1,4)＝3．5．下列状况适合用全面调查的是()A．了解一批玉米种子的发芽率B．了解某城市居民的食品消费结构C．调查一个县各村的粮食播种面积D．调查一条河的水质C解析：A．了解一批玉米种子的发芽率适合抽样调查，故不符合题意；B．了解某城市居民的食品消费结构适合抽样调查，故不符合题意；C．调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查，故符合题意；D．调查一条河的水质适合抽样调查，故不符合题意．故选C．6．某班60名同学中选出4人参与户外活动，利用随机数法抽取样本时，先将60名同学按01,02，…，60进行编号，然后从随机数表第1行的第5列数字起先从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为()0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676(注：表中的数据为随机数表的第1行和第2行)A．24 B．36C．46 D．47C解析：由题知从随机数表的第1行的第5列和第6列数字起先，由表可知依次选取43,36,47,46．故选出的第4个同学的编号为46．7．要完成下列三项调查：①某商城从10台同款平板电脑中抽取4台作为商城促销的奖品；②某市从老、中、青三代市民中抽取100人调查他们网络购物的状况．适合采纳的抽样方法依次为_______．①抽签法；②分层随机抽样解析：对于①，所收集的数据没有明显差异，且数量较少，应用抽签法；对于②，所收集的数据差异明显，应用分层随机抽样．考点1统计中的基本概念、数据获得——基础性1．为了了解某省高考数学考试的状况，抽取2000名考生的数学试卷进行分析，2000叫作()A．个体 B．样本C．样本量 D．总体C解析：2000是个数字，没有单位，由样本量的定义可知2000是样本量．故选C．2．某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1000名学生的考试成果，从中随机抽取了100名学生的考试成果，就这个问题来说，下面说法正确的是()A．1000名学生是总体B．每个学生是个体C．1000名学生的考试成果是一个个体D．样本量是100D解析：依据题意得，本题的总体、个体与样本考查的对象都是学生成果，而不是学生，选项A，B表达的对象都是学生，不是成果，A，B都错误；C中1000名学生的成果是总体，不是个体，所以C错误；D中样本量是100，所以D正确．概念不清致误(1)区分总体、总体容量：总体由全部探讨对象组成，由探讨对象确定；总体容量是总体样本的个数．(2)区分个体、样本、样本量：个体是指考查对象，样本是抽取的个体，样本量是指抽取的样本个数．考点2简洁随机抽样及其应用——综合性(1)下列抽取样本的方式属于简洁随机抽样的个数为()①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；③某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参与学校组织的篮球赛．A．0 B．1C．2 D．3A解析：①不是简洁随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简洁随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；③不是简洁随机抽样，因为不是等可能抽样．故选A．简洁随机抽样适合总体中个数较少．留意随机抽样不是随意或随意抽取，随意或随意抽取都会带有主观或客观的影响因素．(2)总体由编号为01,02,03，…，50的50个个体组成，利用随机数表从中抽取5个个体，下面供应随机数表的第5行到第7行：931247795737891845503994611160984965735098473030983723104476914606792662若从表中第6行的第6列数字起先向右依次读取，则抽取的第3个个体的编号是()A．09 B．03C．35 D．37B解析：利用随机数表从第6行第6列起先向右读取，依次为09,84(舍弃)，96(舍弃)，57(舍弃)，35,09(重复，舍弃)，84(舍弃)，73(舍弃)，03，所以抽取的第3个个体的编号是03．在运用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，将超过总体号码或出现重复号码的数字舍弃．(2024·郑州期末)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600，从中抽取60个样本，现供应随机数表的第4行到第6行：第4行：32211834297864540732524206443812234356773578905642第5行：84421253313457860736253007328623457889072368960804第6行：32567808436789535577348994837522535578324577892345若从表中第6行第6列起先向右依次读取3个数据，则得到的第7个样本编号为()A．522 B．324C．535 D．578B解析：第6行第6列的数起先的数为808(舍弃)，436,789(舍弃)，535,577,348,994(舍弃)，837(舍弃)，522,535(重复舍弃)，578,324．所以抽取的7个编号为436,535,577,348,522,578,324．即第7个样本编号为324．考点3分层随机抽样——综合性考向1求总体或样本量(1)近年来，许多学生因为手机的原因其视力受到了很大的损害，中小学生的近视率也呈明显的上升趋势．某区为了了解中小学生的视力健康状况，确定从城区的几所学校随机抽取一个样本进行调查．已知这几所学校的小学生、初中生、中学生的人数比为5∶6∶7，现用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为n的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50，则n＝()A．250 B．300C．800 D．900D解析：这几所学校的小学生、初中生、中学生的人数比为5∶6∶7，现用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为n的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50，则neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6k,5k＋6k＋7k)－\f(5k,5k＋6k＋7k)))＝50，解得n＝900．故选D．(2)(2024·宝鸡模拟)我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人(用分层随机抽样的方法)，则北面共有()A．8000人 B．8100人C．8200人 D．8300人B解析：设北面人数为x，依据题意知，eq\f(x,x＋7488＋6912)＝eq\f(108,300)，解得x＝8100，所以北面共有8100人．故选B．考向2分层随机抽样的均值某市的3个区共有中学学生20000人，且3个区的中学学生人数之比为2∶3∶5．现要从全部学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市中学学生的视力状况．(1)试写出抽样过程；(2)若样本中3个区的中学学生的平均视力分别为4.8,4.8,4.6，试估计该市中学学生的平均视力．解：(1)①由于该市中学学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层随机抽样法抽取样本．②确定每层抽取的个体数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×eq\f(2,2＋3＋5)＝40,200×eq\f(3,2＋3＋5)＝60,200×eq\f(5,2＋3＋5)＝100．③在各层分别按简洁随机抽样法抽取样本．④综合每层抽样，组成容量为200的样本．(2)样本中中学学生的平均视力为eq\f(40,200)×4.8＋eq\f(60,200)×4.8＋eq\f(100,200)×4.6＝4.7．所以估计该市中学学生的平均视力约为4.7．分层随机抽样均值的计算假如总体的层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M，N，抽取的样本量分别为m，n，若2层的样本平均数分别为eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，2层的总体平均数分别为eq\x\to(X)，eq\x\to(Y)，总体平均数为eq\x\to(W)，样本平均数为eq\x\to(w)，则eq\x\to(w)＝eq\f(m,m＋n)eq\x\