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文档简介

广东省南海中学2025届高考数学必刷试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数满足:(为虚数单位),则()A. B. C. D.2.对于函数,定义满足的实数为的不动点,设,其中且,若有且仅有一个不动点,则的取值范围是()A.或 B.C.或 D.3.已知复数z满足(i为虚数单位),则在复平面内复数z对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.函数f(x)=的图象大致为()A. B.C. D.5.已知类产品共两件,类产品共三件,混放在一起,现需要通过检测将其区分开来,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时,检测结束,则第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为()A. B. C. D.6.已知,且,则在方向上的投影为()A. B. C. D.7.已知向量,,,若,则()A. B. C. D.8.复数满足为虚数单位),则的虚部为()A. B. C. D.9.若双曲线的焦距为,则的一个焦点到一条渐近线的距离为()A. B. C. D.10.已知正项数列满足:,设,当最小时,的值为()A. B. C. D.11.已知向量,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.12.已知双曲线,点是直线上任意一点,若圆与双曲线的右支没有公共点,则双曲线的离心率取值范围是().A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若奇函数满足,为R上的单调函数,对任意实数都有,当时,,则________.14.已知向量,且,则实数的值是__________.15.已知函数是定义在上的奇函数,且周期为,当时,,则的值为___________________.16.已知数列满足对任意,若,则数列的通项公式________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,四棱锥的底面ABCD是正方形,为等边三角形,M,N分别是AB,AD的中点,且平面平面ABCD.(1)证明:平面PNB;(2)问棱PA上是否存在一点E,使平面DEM,求的值18.(12分)已知函数的导函数的两个零点为和.(1)求的单调区间;(2)若的极小值为,求在区间上的最大值.19.(12分)在如图所示的多面体中,四边形是矩形,梯形为直角梯形,平面平面,且,,.(1)求证:平面.(2)求二面角的大小.20.(12分)已知,,函数的最小值为.(1)求证:;(2)若恒成立,求实数的最大值.21.(12分)已知为椭圆的左、右焦点,离心率为,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)过的直线分别交椭圆于和,且,问是否存在常数,使得成等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.22.(10分)某商店举行促销反馈活动,顾客购物每满200元,有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次,满400元可以抽奖两次,依次类推).抽奖的规则如下:在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同的小球,顾客每次从口袋中摸出一个小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球编号一次比一次大(如1,2,5),则获得一等奖,奖金40元;若摸得的小球编号一次比一次小(如5,3,1),则获得二等奖,奖金20元;其余情况获得三等奖,奖金10元.(1)某人抽奖一次,求其获奖金额X的概率分布和数学期望;(2)赵四购物恰好满600元,假设他不放弃每次抽奖机会,求他获得的奖金恰好为60元的概率.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

利用复数的乘法、除法运算求出,再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】由,则,所以.故选:A【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念,属于基础题.2、C【解析】

根据不动点的定义,利用换底公式分离参数可得;构造函数,并讨论的单调性与最值,画出函数图象,即可确定的取值范围.【详解】由得,.令,则,令,解得,所以当时,,则在内单调递增;当时,,则在内单调递减;所以在处取得极大值,即最大值为,则的图象如下图所示:由有且仅有一个不动点,可得得或,解得或.故选:C【点睛】本题考查了函数新定义的应用,由导数确定函数的单调性与最值,分离参数法与构造函数方法的应用,属于中档题.3、D【解析】

根据复数运算,求得,再求其对应点即可判断.【详解】,故其对应点的坐标为.其位于第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的运算,以及复数对应点的坐标,属综合基础题.4、D【解析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项,再根据特殊值可区分剩余两个选项.【详解】因为f(-x)=≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称,排除选项B,C.又f(2)==-<0.排除A,故选D.【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象,属于中档题.5、D【解析】

根据分步计数原理,由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率,不放回情况下第二次检测出类产品的概率,即可得解.【详解】类产品共两件,类产品共三件,则第一次检测出类产品的概率为;不放回情况下,剩余4件产品,则第二次检测出类产品的概率为;故第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为;故选:D.【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用,古典概型概率计算公式的应用,属于基础题.6、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出,再由投影的定义计算.【详解】由可得,因为,所以.故在方向上的投影为.故选:C.【点睛】本题考查向量的数量积与投影.掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键.7、A【解析】

根据向量坐标运算求得,由平行关系构造方程可求得结果.【详解】,,解得:故选:【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题,涉及到平面向量的坐标运算;关键是明确若两向量平行,则.8、C【解析】

,分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】由已知,,故的虚部为.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.9、B【解析】

根据焦距即可求得参数,再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线的焦距为,故可得,解得,不妨取;又焦点,其中一条渐近线为,由点到直线的距离公式即可求的.故选:B.【点睛】本题考查由双曲线的焦距求方程,以及双曲线的几何性质,属综合基础题.10、B【解析】

由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由递推公式求出.【详解】由得,即,,当且仅当时取得最小值,此时.故选:B【点睛】本题主要考查了数列中的最值问题,递推公式的应用,基本不等式求最值,考查了学生的运算求解能力.11、A【解析】

投影即为,利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量与向量的夹角为,由题意,得,,所以,向量在向量方向上的投影为.故选:A.【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算,难度不大,属于基础题.12、B【解析】

先求出双曲线的渐近线方程,可得则直线与直线的距离,根据圆与双曲线的右支没有公共点,可得,解得即可.【详解】由题意,双曲线的一条渐近线方程为,即,∵是直线上任意一点,则直线与直线的距离,∵圆与双曲线的右支没有公共点,则,∴,即,又故的取值范围为,故选:B.【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系,以及两平行线间的距离公式,其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据可得,函数是以为周期的函数,令,可求,从而可得,代入解析式即可求解.【详解】令,则,由,则,所以,解得,所以,由时,,所以时,;由,所以,所以函数是以为周期的函数,,又函数为奇函数,所以.故答案为:【点睛】本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用,属于中档题.14、【解析】∵=(1,2),=(x,1),则=+2=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,4),=2﹣=2(1,2)﹣(x,1)=(2﹣x,3),∵∴3(1+2x)﹣4(2﹣x)=1,解得:x=.点睛:由向量的数乘和坐标加减法运算求得,然后利用向量共线的坐标表示列式求解x的值.若=(a1,a2),=(b1,b2),则⊥⇔a1a2+b1b2=1,∥⇔a1b2﹣a2b1=1.15、【解析】

由题意可得:,周期为,可得,可求出,最后再求的值即可.【详解】解:函数是定义在上的奇函数,.由周期为,可知,,..故答案为:.【点睛】本题主要考查函数的基本性质,属于基础题.16、【解析】

由可得,利用等比数列的通项公式可得,再利用累加法求和与等比数列的求和公式,即可得出结论.【详解】由,得,数列是等比数列,首项为2,公比为2,,,,,满足上式,.故答案为:.【点睛】本题考查数列的通项公式,递推公式转化为等比数列是解题的关键,利用累加法求通项公式,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)存在,.【解析】

(1)根据题意证出,,再由线面垂直的判定定理即可证出.(2)连接AC交DM于点Q,连接EQ,利用线面平行的性质定理可得,从而可得,在正方形ABCD中,由即可求解.【详解】(1)证明:在正方形ABCD中,M,N分别是AB,AD的中点,∴,,.∴.∴.又,∴,∴.∵为等边三角形,N是AD的中点,∴.又平面平面ABCD,平面PAD,平面平面,∴平面ABCD.又平面ABCD,∴.∵平面PNB,,∴平面PNB.(2)解:存在.如图,连接AC交DM于点Q,连接EQ.∵平面DEM,平面PAC,平面平面,∴.∴.在正方形ABCD中,,且.∴,∴.故.所以棱PA上存在点E,使平面DEM,此时,E是棱A的靠近点A的三等分点.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、线面平行的性质定理,考查了学生的推理能力以及空间想象能力,属于空间几何中的基础题.18、(1)单调递增区间是,单调递减区间是和;(2)最大值是.【解析】

(1)求得,由题意可知和是函数的两个零点,根据函数的符号变化可得出的符号变化,进而可得出函数的单调递增区间和递减区间;(2)由(1)中的结论知,函数的极小值为,进而得出,解出、、的值,然后利用导数可求得函数在区间上的最大值.【详解】(1),令,因为,所以的零点就是的零点,且与符号相同.又因为,所以当时,,即;当或时,,即.所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是和;(2)由(1)知,是的极小值点,所以有,解得,,,所以.因为函数的单调递增区间是,单调递减区间是和.所以为函数的极大值,故在区间上的最大值取和中的最大者,而,所以函数在区间上的最大值是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间与最值,考查计算能力,属于中等题.19、(1)见解析;(2)【解析】

(1)根据面面垂直性质及线面垂直性质,可证明;由所给线段关系,结合勾股定理逆定理,可证明,进而由线面垂直的判定定理证明平面.(2)建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并求得平面和平面的法向量,由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值,结合图形即可求得二面角的大小.【详解】(1)证明:∵平面平面ABEG,且,∴平面,∴,由题意可得,∴,∵,且,∴平面.(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则,,,,,,.设平面的法向量是,则,令,,由(1)可知平面的法向量是,∴,由图可知,二面角为钝二面角,所以二面角的大小为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定,面面垂直及线面垂直的性质应用,空间向量法求二面角的大小,属于中档题.20、(1)见解析;(2)最大值为.【解析】

(1)将函数表示为分段函数,利用函数的单调性求出该函数的最小值,进而可证得结论成立;(2)由可得出,并将代数式与相乘,展开后利用基本不等式可求得的最小值,进而可得出实数的最大值.【详解】(1).当时,函数单调递减,则;当时,函数单调递增,则;当时,函数单调递增,则.综上所述,,所以;(2)因为恒成立,且,,所以恒成立,即.因为,当且仅当时等号成立,所以,实数的最大值为.【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解,同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数,考查推理能力与计算能力,属于中等题.21、(1);(2)存在,.

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