差分方程稳定性

1.差分方程模型

对于k阶差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(1-1)若有xn=x(n),满足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,则称xn=x(n)是差分方程(1-1)的解,包含个任意常数的解称为(1-1)的通解,x0,x1,…,xk-1为已知时称为(1-1)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(1-1)的特解.

若x0,x1,…,xk-1已知,则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.

若有常数a是差分方程(1-1)的解,即F(n;a,a,…,a)=0,则称

a是差分方程(1-1)的平衡点.

又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定的解

xn=x(n)都有xn→a(n→∞),则称这个平衡点a是稳定的.

一阶常系数线性差分方程

xn+1+axn=b,(其中a,b为常数,且a≠-1,0)的通解为xn=C(-

a)n+b/(a+1)

易知b/(a+1)是其平衡点,由上式知,当且仅当|a|＜1时,b/(a+1)是稳定的平衡点.

二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常数.

当r=0时,它有一特解x*=0；

当r≠0,且a+b+1≠0时,它有一特解x*=r/(a+b+1).

不管是哪种情形,x*是其平衡点.设其特征方程

2+a

+b=0的两个根分别为

=

1,

=

2.

①当

1,

2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+C1(

1)n+C2(

2)n;

②当

1,2=

是两个相同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+(C1+C2n)

n;

③当

1,2=

(cos

+isin

)是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+

n(C1cosn

+C2sinn

).

易知,当且仅当特征方程的任一特征根|

i|＜1时,平衡点x*是稳定的.

则对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点x*由代数方程x=f(x)解出.

为分析平衡点x*的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程时,上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同.

因此当时,x*是不稳定的.当时,x*是稳定的；当2.建模实例：差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)t

,x

N,x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t)~某种群

t时刻的数量(人口)yk~某种群第k代的数量(人口)若yk=N,则yk+1,yk+2,…=N讨论平衡点的稳定性，即k

,

yk

N？y*=N是平衡点离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶(非线性)差分方程

(1)的平衡点y*=N讨论

x*的稳定性变量代换(2)的平衡点(1)的平衡点

x*——代数方程

x=f(x)的根稳定性判断(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点x*是(2)和(1)的稳定平衡点x*是(2)和(1)的不稳定平衡点补充知识(刚学过的):一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性01的平衡点及其稳定性平衡点稳定性x*

稳定x*

不稳定另一平衡点为

x=0不稳定01/2101的平衡点及其稳定性初值

x0=0.2数值计算结果b<3,x

b=3.3,x

两个极限点b=3.45,x4个极限点b=3.55,x8个极限点0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.411891

0.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.6154

0.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.4794

0.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.4327

0.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.3548

0.39870.87110.56800.2000