《电路分析》课件第2章

第2章电阻电路的等效变换

2.1电阻的串联、并联及混联等效2.2电阻Y形连接和△形连接2.3独立电源的连接和等效变换2.4受控源

习题2

【本章要点】本章首先阐述电路等效的概念和电阻电路分析的等效变换法，即串、并联等效变换、Y-△等效变换、电源的等效变换,然后介绍电路中的受控电源。在电路分析理论中，“等效”的概念是很重要的，利用等效变换的方法可以简化电路的分析和计算。如果电路N1端口的伏安特性与电路N2端口的伏安特性完全相同，则称电路N1与N2是端口等效的,或称电路N1与N2互为等效电路。对于这两个电路来说，它们的内部结构和元件参数可能完全不同，但对其外部电路而言，无论接入的是N1还是N2，它们的作用完全相同，因而外部电路各处的电流、电压将不会改变。这种计算电路的方法称为电路的等效变换，如用简单等效电路代替复杂电路可以简化电路的计算。图2-1电路的等效(a)电路N1；(b)电路N2

2.1电阻的串联、并联及混联等效

2.1.1电阻的串联等效

电路如图2-2（a）所示，将各个电阻元件依次串接起来，中间没有分支的连接方式，称为电阻的串联。显然，串联的各个电阻电流相等。设电压、电流为关联参考方向，应用KVL，得

u=u1+u2=R1i+R2i=(R1+R2)i

（2-1）图2-2电阻的串联及其等效将图2-2(a)看做等效电路定义中的电路N1，式(2-1)就是它的伏安关系(VAR)。将图2-2(b)看做等效电路定义中的电路N2，由欧姆定律可写出它的VAR为

u=Ri

(2-2)根据电路等效条件，可令式(2-1)和式(2-2)相等，即(R1+R2)i=Ri

这就是说，电阻R1和R2串联时，对于它们的外部电压u和电流i来说，可以用等效电阻来代替，等效电阻为

R=R1+R2

(2-3)

一般来说，若有n个电阻R1，R2，…，Rn串联，则它们的等效电阻为

R=R1+R2+…+Rn

(2-4)

对于图2-2(a)所示电路中的R1和R2来说，它们两端的电压是如何分配的，由式(2-2)和式(2-3)可得

由欧姆定律得u1=R1i，u2=R2i

故有分压公式

由分压公式可知串联电阻的电压值与电阻值成正比，串联电路中消耗的总功率等于各串联电阻消耗功率之和，且电阻值越大，消耗的功率越大。

2.1.2电阻的并联等效几个电阻跨接在相同两点的连接方式，称为电阻的并联。显然，并联的电阻两端具有相同的电压。电路如图2-3(a)所示，设电压、电流为关联参考方向，由KCL，可得

i=i1+i2

根据欧姆定律，可得

所以，（2-6）式(2-6)是图2-3(a)所示两个电阻并联电路的VAR。图2-3(b)是单个电阻的电路，由欧姆定律可写出它的VAR为图2-3电阻的并联及其等效根据电路等效条件，令式(2-6)和式(2-7)相等，即

所以

由式(2-8)可知，电阻并联，其等效电阻之倒数等于相并联各电阻倒数之和。一般来说，若有n个电阻R1,R2,…,Rn并联，则它们的等效电阻可用下式计算:

(2-9)（2-8）由式(2-8)不难得到常用的两个电阻并联时的等效电阻为（2-10）电阻并联有分流关系，如果总电流i是已知的，由于u=iR，则两并联支路的电流分别为将式（2-10）代入以上两式，得分流公式（2-11）

由分流公式可知，电阻并联分流与电阻值成反比，即电阻值大者分得的电流小。电阻并联电路消耗的总功率等于相并联各电阻消耗功率之和，且电阻值大者消耗的功率小。2.1.3电阻的混联等效电路中既有电阻串联又有电阻并联的电路称为电阻混联电路，如图2-4所示。图2-4中的电阻可用一个电阻R来等效，具体分析计算方法如下。分析混联电路的关键问题是如何判别串、并联。判别混联电路的串、并联关系一般应掌握下述三点：

(1)看电路的结构特点；

(2)看电压、电流关系；

(3)对电路作变形等效。图2-4电阻混联例2-1

如图2-5(a)所示，设R1=300Ω，R2=300Ω，R3=600Ω，u=6V，试求：

(1)从a、b两端看进去的输入电阻(等效电阻)；

(2)R1上的电压u1；

(3)R3中的电流i3。图2-5例2-1用图解(1)所谓a、b两端看进去的输入电阻，是指a、b两端的电压u与电流i的比值，用Rin表示，即

显然，该输入电阻Rin就是等效电阻。对于本例电阻混联电路，应利用串、并联关系逐步化简。首先将R2与R3并联的等效电阻求出，即

得到如图2-5(b)所示电路后，则Rin=Rab=R1+Rcb=300+200=500Ω

(2)电流i为

故

u1=R1i=300×0.012=3.6V

(3)由分流公式，有例2-2求如图2-6(a)所示电路的等效电阻Rab和Rcd。图2-6例2-2用图解对a、b端口，等效电路如图2-6(b)所示，可知

Rab=6∥［2∥2+4∥(2+4∥4)］=6∥(1+2)=2Ω对c、d端口，等效电路如图2-6(c)所示，可知2.2电阻Y形连接和△形连接图2-7(a)所示的是桥式电路，电路中各个电阻之间既不是串联也不是并联，这时就不能用串、并联的方法求ab端的等效电阻。将连接在①、②、③三个端子间的R12、R23、R31构成的△形连接电路等效变换为图2-7(b)所示的由R1、R2、R3构成的Y形连接电路，再应用串、并联简化的方法求得ab端口的等效电阻，由此，提出了Y-△等效变换的问题。图2-7桥式电路如图2-8(a)、(b)所示电路，两电路要求对外等效，R1、R2、R3三个Y形连接电阻与R12、R23、R31三个△形连接电阻应满足什么关系？图2-8△形连接和Y形连接的等效变换为使图2-8(a)、(b)两电路等效，等效变换的推导办法是两电路在一个对应端子悬空的等同条件下，分别测图2-8(a)、(b)两电路剩余两端子间的电阻，要求测得的电阻相同。悬空第③端子，得悬空第①端子，得悬空第①端子，得联立以上三式，可求得由式(2-12)可方便地把△形连接等效为Y形连接。反过来，由Y形连接求△形连接的公式可由式(2-12)两两相乘后相加，再分别除以式(2-12)三式中的每一个，得到式(2-12)和式(2-13)两组等效变换公式的记忆规律请读者自行归纳。若△形连接的三个电阻相等，即R12=R23=R31=R△

等效变换后，Y形连接的R1、R2、R3必然相等，满足:反之，若R1=R2=R3=RY，则等效的△形连接满足:R12=R23=R31=R△=3RY

例2-3求图2-9(a)所示电路a、b两端间的电阻。图2-9例2-3用图解把3个电阻组成的Y形连接等效变换为△形连接，可画出图2-9(b)，可得例2-4

求图2-9所示电路中3电阻两端电压U1。图2-10例2-4用图解应用Y形和△形连接的等效变换将图2-10(a)所示的电路等效为图2-10(b)所示的电路，再利用电阻串、并联等效求得等效电阻Rab为Rab=3+(3+9)∥(3+3)=7Ω从而可得电流由分流公式，得

所以电压为U1=3I1=3×2=6V2.3独立电源的连接和等效变换2.3.1电流源的连接在电路分析中，经常遇到如图2-10（a）所示的几个电流源并联的情况，由于电流源并联不影响电路中的电压，所以可将几个并联的电流源用一个电流源等效代替。先将电流源和电阻分开放置，如图2-10（b）所示，有i=i1-i2+i3其中,R1、R2、R3、R4四个电阻并联，因此，图2-11(b)可化简为一个等效电流源和等效电阻的形式，如图2-11(c)所示，等效电阻为R=R1∥R2∥R3∥R4

图2-11电流源的并联等效化简如图2-12(a)所示，若有n个电流源并联，也可以用一个电流源等效代替，即（2-14）如果的参考方向与图中的参考方向一致，则式中的前面取“+”号；反之取“-”号。图2-12n个电流源的并联等效化简电路如图2-13(a)所示，任意电路元件与电流源串联。由于串联电路中流过的电流相等，因此图2-13(a)所示电路可用图2-13(b)所示电路来等效。图2-13任意电路元件与电流源的串联等效几个电流源串联，要求各电流源的电流值相等且方向一致，否则违背KCL。其等效电路为其中的任意一个电流源，如图2-14所示。图2-14两个电流源的串联等效在电路分析中，经常遇到如图2-15(a)所示的电压源串联的情况，由于电压源串联不影响电路中的电流，因此，在许多电压源串联时，可将电压源与电阻分开放置,如图2-15(b)所示。由图2-15(b)，按照电流的参考方向绕行，可得u3+R1i+R2i+R3i+R4i+u4-u1+u2=0整理得(u3+u4-u1+u2)+(R1+R2+R3+R4)i=0令u=-(u3+u4-u1+u2)R=R1+R2+R3+R4可得如图2-15(c)所示的化简电路。图2-15电压源的串联等效化简若有n个电压源相串联，可以用一个电压源等效代替，如图2-16(a)所示，等效电压源的电压为(2-15)如果usk的参考方向与图2-16(b)中us的参考方向一致，则式中usk的前面取“+”号；反之取“-”号。图2-16n个电压源的串联等效化简电路如图2-17(a)所示，任意电路元件与电压源并联。由于并联电路两端的电压相等，因此图2-17(a)所示电路可用图2-17(b)所示电路来等效。图2-17任意电路元件与电压源的并联等效几个电压源相并联，只有各电压源的电压值相等且方向一致的情况下才允许并联，否则违背KVL。其等效电路中的电压源为其中的任意电压源，如图2-18所示。图2-18两个电压源的并联等效2.3.3两种实际电源模型间的等效变换实际电源是理想电源和电阻的组合，可以是电压源和电阻的串联组合，构成实际电压源；也可以是电流源和电阻的并联组合，构成实际电流源。实际电源之间也存在等效的问题，下面从实际电源的外特性入手，讨论实际电源的等效互换。电源的外特性即为电源的外端的电流、电压的约束关系。将电源的外端接上负载，电路如图2-19所示。图2-19实际电源的模型与其外特性由图2-19(a)可见，实际电压源的外部电压和电流的伏安关系为

u=us-Rsi(2-16)

由图2-19(b)可见，实际电流源的外部电压和电流的伏安关系为

u=Rsir=Rs(is-i)=Rsis-Rsi

(2-17)

由电源的伏安特性可以看到，若理想电源的电压us或电流is一定时，无论是电压源还是电流源，其外电压总是随着外电流的增加而减小，因此，它们的伏安特性相同，如图2-19(c)所示。两种实际电源模型的伏安特性相同，说明两种实际电源模型的实质为一个电源的两种不同的表现形式。因此，对于外电路来说，只要电源的外特性一样，用哪一种模型表示，所起的作用都是一样的。也就是说，实际电源既可以用电压源模型，也可以用电流源模型。两种模型具有相同的VAR，即满足等效的条件，所以它们可以等效互换。在同一负载下，若使两电源模型等效，式(2-16)和式(2-17)必须相等，即us-Rsi=Rsis-Rsi

若使上式成立，则有us=Rsis

Rs=Rs

因此可得如图2-20所示的两种电源模型的等效互换电路。图2-20实际电压源与电流源的等效互换在某些情况下，应用实际电源的两种模型的等效互换分析可以使电路分析简化，可以将多电源混联的复杂电路化简为单电源的简单电路。需要说明的是，电压源和电流源之间是不能等效互换的。这是因为这两类电源的定义是矛盾的。在实际中，对电压源来说，若外电路电阻R＜＜Rs，则该实际电压源可以近似看做电压源；对电流源来说，若外电路电阻R＜＜Rs，则该实际电流源可以近似看做电流源。

例2-5将图2-21所示实际电压源等效变换为实际电流源。图2-21例2-5用图解在图2-21(a)中，等效电流源的电流为

其方向向上，所以，图2-21(a)中的等效电流源如图2-22(a)所示。在图2-22(b)中，等效电流源的电流为

其方向向下，所以，图2-21(b)中的等效电流源如图2-22(b)所示。图2-22等效电流源在等效过程中一定要注意电源电压极性与电源电流流向的关系。

例2-6

将图2-23所示实际电流源等效变换为实际电压源。图2-23例2-6用图

解在图2-23(a)中，等效电压源的电压us为us=3×4=12V所以，图2-23(a)中的等效电压源如图2-24(a)所示。在图2-23(b)中，等效电压源的电压us为us=6×5=30V所以，图2-23(b)中的等效电压源如图2-24(b)所示。图2-24等效电压源在等效过程中一定要注意电源电流流向与电源电压极性的关系。

例2-7求图2-25(a)所示电路的电流I和Ix。

解首先将两实际电流源变换为实际电压源，如图2-25(b)所示。再将12V电压源先变换为电流源，此时两个4Ω电阻并联等效为2Ω，接着将此电流源变换为6V和2Ω串联的实际电压源模型，如图2-25(c)所示。图2-25例2-7用图由此得到一个单回路电路，根据KVL可得2I+2I+I+4I+2+24-6=0

所以

由图2-25(b)及KVL可得

2.4受控源

前面介绍的电压源和电流源是一种独立的电源，在电路分析中，为了描述一些器件的实际工作性能，电路模型中常常等效出另外一种电源——受控源。受控源与独立电源相比在某些方面具有相同的特性。受控电压源的电压或受控电流源的电流与独立电压源的电压或独立电流源的电流有所不同，后者是独立量，前者则受电路中某些部分电压或电流控制。如晶体管的集电极电流受基极电流控制，运算放大器的输出电压受输入电压控制，所以这类器件的电路模型中要用到受控源。受控源一般由两条支路对外引出两个端口构成，一对为输出端钮或受控端，是对外提供电压或电流的；另一对为输入端钮或称为控制端，是施加控制量的端钮，所施加的控制量可以是电流也可以是电压。按其电源的性能来看，受控源首先应分为受控电压源和受控电流源两类；由于控制量既可以是电压，又可以是电流，因此，每类电源又可分为电流控制源或电压控制源两种。所以，受控源共有四种形式，其模型如图2-26所示。图2-26受控源模型图2-26(a)是电压控制电压源，简称VCVS，其输出电压是输入电压u1的μ倍，μ无量纲。图2-26(b)是电流控制电压源，简称CCVS，其输出电压是输入电流i1的γ倍，γ具有电阻量纲。图2-26(c)是电压控制电流源，简称VCCS，其输出电流是输入电压u1的g倍，g具有电导量纲。图2-26(d)是电流控制电流源，简称CCCS，其输出电流是输入电流i1的α倍，α无量纲。μ、γ、g、α

称为控制参数，若控制参数为常数，则称受控源为线性受控源。本书所涉及的受控源均为线性受控源。受控源的特点如下：

(1)因为受控源输出的电流、电压是电路中某支路电压或电流的函数，所以，在不知道控制量时，不能确定受控源输出的电流、电压。

(2)因为受控源输出的电流、电压是电路中某支路电压或电流的函数，所以，受控源不能独立存在，必须与控制量同时出现。

(3)由于表征受控源特性的是电压电流的代数方程，因此，受控源也可以看成电阻元件，它具有电源和电阻的两重性。

2.3节介绍的实际电源的两种模型之间的等效变换可以用来解决电压源和电阻串联单口与电流源和电阻并联单口之间的等效变换。与此相同，一个受控电压源(仅指受控支路，以下同)和电阻串联的单口，也可以与一个受控电流源和电阻并联单口进行等效互换。等效互换的办法是将受控源当做独立源一样进行变换，但在变换过程中一定要把握受控源的控制量在变换前后不变异。

例2-8

求图2-27所示电路中的开路电压uab

图2-27例2-8用图解在图2-27中可见，uab=2I1，根据KCL可得I1=I+8I=9I

按图2-27所标的绕行方向，根据KVL可得

2I1-20+2I=2×9I-20+2I=0

解得I=1AI1=9A所以uab=2×9=18V

例2-9

求图2-28(a)所示电路中的电压U。图2-28例2-9用图

解将电流源等效互换为电压源,如图2-28(b)所示。设电流I的参考方向及回路Ⅰ的绕行方向如图2-28(b)所标。在图2-28(b)中可见

U=2I由KVL可得2I+U+2I+4U-14=0将2I=U代入上式可得U+U+U+4U=14解得U=2V

例2-10电路如图2-29(a)所示，求ab端的输出电阻Ro。图2-29例2-10用图

解结合这个例子介绍二端电路输入电阻、输出电阻的概念。在电路中一般把加激励源(信号)的端子称为输入端。由输入端看，不含独立源的电阻电路(可以含受控源)的等效电阻，称为二端电路的输入电阻，记为Ri。电路中接负载的端子称为输出端，由输出两个端子看，不含独立源的电阻电路(可以含受控源)的等效电阻，称为二端电路的输出电阻,记为Ro。求二端电路的输入电阻的方法与求输出电阻的方法是完全一样的。对于仅含有受控源、电阻的二端电路在求等效电阻(即输入电阻或输出电阻)时，不能简单地用电阻串、并联等效的方法，而应该用端子间加电源的办法来求：加电压源u，求电流i；加电流源i，求电压u(注意：所设u、i的参考方向对二端电路来说是关联的)，则其等效电阻为对于既不含独立源又不含受控源的电阻二端电路在求等效电阻时，当然亦可用端子间加电源的办法，但常用更简便的串并联等效方法来求。这里还应提醒读者：由于受控源的作用的原因，含有受控源的电阻二端电路的输入电阻（或输出电阻）可以是正值，可以是负值，当然亦可以为零，今后若遇到求出的这类二端电路的输入（或输出）电阻的值为负值，不必大惊小怪。下面具体求本例的输出电阻。在a、b两端外加电流源i，设电压u使u、i对二端电路来说参考方向关联，并设电流i1、i2的参考方向如图2-29(b)上所标。