《电路与信号》课件模块8

模块8瞬态电路的复频域分析8.1拉普拉斯变换

8.2拉普拉斯变换的性质

8.3拉氏反变换

8.4瞬态电路的复频域分析法

本模块小结习题8复频域分析法与时域分析法相比具有以下优点：

(1)简化激励f(t)的函数式。拉氏变换可将常用的指数函数、超越函数及有不连续点的函数变换为简单的初等函数F(s)。

(2)简化运算。拉氏变换将“微分”和“积分”运算转换为“乘法”和“除法”运算，即把微分、积分方程转换为代数方程。

(3)简化求解步骤。由于初始条件自动地包含在变换式中，因此一次计算便可求得全响应。

以上是从数学角度看复频域分析法所具有的优点。对于已知的线性时不变电路而言，可以不必列写出微分方程，而直接对时域电路模型进行变换(即对各元件的伏安关系取拉氏变换)，从而得到复频域的电路模型，利用直流电路的分析方法列出激励F(s)作用下的响应Y(s)的代数方程，再将Y(s)经拉氏反变换还原成时域响应y(t)。其示意图如图8.1所示。图8.1.1

s域分析与时域分析的比较

8.1拉普拉斯变换

8.1.1拉普拉斯变换的定义

从模块7可知，绝对可积条件限制了某些信号(如增长信号eat，a＞0)的傅氏变换，而对于阶跃信号、直流信号等虽然未受约束，但其变换式中出现冲激分量。为使更多的函数存在变换，现引入一个衰减因子e－σt(σ为任意实数)与f(t)相乘，经过这一数学加工，使新的信号f(t)e－σt收敛，以满足绝对可积条件。按此思路，写出数学处理过程如下:令s=σ+jω，上式可以写为

又由傅氏反变换得

对等式两边同乘以eσt得

令s=σ+jω，则ds=jdω，上式可写成(8.1.2)(8.1.1)单边拉氏正变换的定义式为

拉氏反变换的定义式为

简记为(8.1.4)(8.1.3)8.1.2常见信号的拉氏变换

1.指数函数f(t)=e－atε(t)

记为

2.阶跃函数f(t)=ε(t)

记为(8.1.5)(8.1.6)

3.冲激函数f(t)=δ(t)

记为

4.直流(常数)信号f(t)=A

记为(8.1.8)(8.1.7)在这里需注意，常数f(t)=A的定义域为(－∞，∞)，但对于实际的直流信号，总有接入的起始时刻，所以实际的直流函数应写成f(t)=Aε(t)，其拉氏变换对记为

拉氏变换的单边性如图8.1.1(a)、(b)、(c)所示，可以得到相同的变换式，即图8.1.1

3种具有相同拉氏变换的f(t)

当对 求反变换时，也只能给出t≥0时间范围内的函数值，即

单边拉氏变换的这一特点并没有给它的应用带来不便，因为在系统分析中，往往只需求解t≥0的系统响应，而t＜0的情况由系统的状态决定。

常见信号的拉氏变换如表8.1.1所示。表8.1.1常见信号的拉氏变换 8.2拉普拉斯变换的性质

与傅里叶变换一样，拉氏变换也有许多重要性质。掌握好这些性质，对求一些复杂信号的拉氏变换或由象函数求反变换都是非常方便的。拉氏变换性质也进一步揭示了信号的时域特性与其复频域(s)域特性之间的关系。

8.1节中指出，拉氏变换与傅氏变换的定义式相似，拉氏变换是傅氏变换的推广。因此，拉氏变换的性质中有很多类似于傅氏变换的性质，这些类似的性质只需将傅氏变换性质中的jω改写成s即可。但是，拉氏变换与傅氏变换毕竟是两种不同的变换，特别是拉氏变换是单边的，所以又有其独特的性质。拉氏变换的性质如表8.2.1所示，以便查阅。表8.2.1拉氏变换的性质8.2.1线性

若 ， ，a、b为常数，则

证明:

(8.2.1)

【例8.2.1】求sin(ω0t)的拉氏变换。

解：由欧拉公式知

又已知

所以即记为

同理可得

8.2.2时延性

若 ，则(8.2.2)(8.2.3)(8.2.4)

证明：

令τ=t－t0，则t=τ+t0，并代入上式得

该性质具有拉氏变换的单边性质。

【例8.2.2】求图8.2.1所示的f(t)的拉氏变换。图8.2.1例8.2.2图

解：将f(t)看成f1(t)与f2(t)的组合。因为

所以

【例8.2.3】用时延性求t［e(t)－e(t－1)］的拉氏变换。

解：为了正确使用时延性，需先整理：

f(t)=t［e(t)－e(t－1)］=te(t)－(t－1)e(t－1)－e(t－1)

所以

8.2.3

s域平移性

若 ，则

证明：

【例8.2.4】求sin(ωt)e－at的拉氏变换。

解：因为

所以8.2.4尺度变换性

若 ，则

证明：

令τ=at，则上式为

【例8.2.5】已知 ，求L［f(at－b)ε(at－b)］，a＞0，b＞0。

解：(1)以at代t，则 ，所以

(2)以 代t，则

所以8.2.5时域微分性

若 ，则

证明：设 ，则所以

F1(s)=sF(s)－f(0－)

即

若f(0－)=0，就有

该公式可以重复使用，即…

【例8.2.6】已知LC元件在时域的伏安关系，求它们的拉氏变换。

解：

(1)对于电感元件，其时域的伏安关系为

对等式两边同时求拉氏变换得

UL(s)=L［sIL(s)－iL(0－)］=LsIL(s)－LiL(0－)

(8.2.8)

根据以上拉氏变换式作出等效电路，如图8.2.2(a)所示，称为电感元件的s域模型。

(2)对于电容元件，其时域的伏安关系为

对等式两边同时求拉氏变换得

IC(s)=C［sUC(s)－uC(0－)］=CsUC(s)－CuC(0－)

对上式整理可得(8.2.9)根据以上拉氏变换式作出等效电路，如图8.2.2(b)所示，称为电容元件的s域模型。图8.2.2(a)、(b)又称为运算电路。从运算电路的伏安关系看，电压和电流关系是代数关系，即由运算电路建立的方程是代数方程。在后面我们会应用运算电路进行复频域分析，求一阶、二阶或高阶电路的响应。图8.2.2例8.2.6图

【例8.2.7】图8.2.3给出了f1(t)、f2(t)、f3(t)的图形，求L［f1(t)］、L［f2(t)］、L［f3(t)］及 、 、 。

解：根据单边拉氏变换的概念，得

但是根据微分性可知f1(0－)=－1，f2(0－)=0，f3(0－)=1，所以8.2.6时域积分性

若 ，则

其中：

证明：由于

上式第一项为常量，即所以

第二项可用分部积分求得，得所以

8.2.7卷积定理

若 ， ，则

证明：

令t－τ=x，t=x+τ，则

该定理使我们联想到卷积积分求零状态响应的方法，利用拉氏变换也可以求零状态响应，如图8.2.4所示。图8.2.4用拉氏变换求零状态响应示意图图8.2.4中，Yf(s)是系统零状态响应的象函数；F(s)是激励的象函数；Yf(s)与F(s)之比称为系统函数，用H(s)表示，称为网络函数或传输函数，即

8.3拉氏反变换

本节将讨论求拉氏反变换的一般方法。在前面我们已得到反变换的定义式为

设有理多项式形式为

【例8.3.1】已知 ，求f(t)。

解：由于分子最高阶数为1，分母最高阶数为2，为真分式，所以可以直接用部分分式法，即

得分子恒等式

s=A(s+1)+B(s+2)

比较系数后建立代数方程解得

A=2，B=－1

所以

根据常见信号拉氏变换对，可直接写出反变换式：

f(t)=(2e－2t－e－t)ε(t)

由例8.3.1可总结出部分分式法求反变换的步骤如下：

(1)判断F(s)是否为真分式，如果不是真分式，则要先用长除法将F(s)分解为真分式。

(2)将F(s)分解为部分分式。

(3)求待定系数。

(4)根据已知拉氏变换对写出相对应的时域函数f(t)。在例8.3.1中，求待定系数是用比较系数法完成，根据极点的不同特点，系数有不同的求解方法。

(1)极点为实数无重根。假定p1，p2，…，pn均为实数，且无重根，例如

上式两边同乘以s－p1，并令s=p1，则得到

以此类推，可得到：

(2)有多重极点。假定

要求k12，k13，…，不能采用类似求k11的方法，因为这样将导致分母中出现“0”值，为解决这一矛盾，引入

F1(s)=(s－p1)kF(s)

于是

上式两边微分得所以

以此类推，可得

(3)包含共轭复数极点。这种情况下，通常采用配方方法。

【例8.3.2】设 ，求f(t)。

解：展开成分式为所以

【例8.3.3】求 的反变换。

解：对于二次三项式，常用配方法，即

根据常见信号的拉氏变换，可直接写出

f(t)=(coste－3t－2sinte－3t)ε(t)=(cost－2sint)

【例8.3.4】求 的反变换。

解法一：用公式法：

其中：

k2=sF(s)|s=0=－2

令

则

于是有

解法二：

在分子恒等式中，有

As+B(s+1)s+C(s+1)2s+D(s+1)3=s－2令s=0，得D=－2；令s=－1得A=3。

将A、D代入分子恒等式得

3s+B(s+1)s+Cs(s+1)2－2(s+1)3=s－2

将等式展开，并比较系数得

C=2

B=2

即

取反变换得

8.4瞬态电路的复频域分析法

8.4.1复频域电路模型

1.电路基本元件的s域模型

所谓电路元件的s域模型，就是用电压和电流的象函数表示电路元件的伏安关系。

1)电阻元件的s域模型

电阻元件在图8.4.1(a)所示的关联参考方向下的时域模型中，其伏安关系为

uR(t)=RiR(t)或iR(t)=GuR(t)

对以上两式分别取拉氏变换，由线性得 UR(s)=RIR(s)或IR(s)=GUR(s)

(8.4.1)

式(8.4.1)即为电阻元件在s域的伏安关系，也称s域的欧姆定律。因此，s域模型如图8.4.1(b)所示。图8.4.1电阻元件的时域和s域模型

2)电感元件的s域模型

动态元件电感在图8.4.2(a)所示的关联参考方向下的时域模型中，其伏安关系为

对上面两式分别取拉氏变换，由时域微、积分性得(8.4.2)当电感无初始储能，即零初始状态iL(0－)=0时，式(8.4.2)可简化为

此时图8.4.2(b)、(c)中的内电压源短路，内电流源开路，如图8.4.2(d)所示。(8.4.3)图8.4.2电感元件的时域和s域模型

3)电容元件的s域模型

动态元件电容的伏安关系在图8.4.3(a)所示的关联参考方向下，为

对上面两式分别取拉氏变换，由时域微、积分性质得(8.4.4)由式(8.4.4)可分别得到电容元件串联形式和并联形式的s域模型分别如图8.4.3(b)、(c)所示。

当电容无初始储能，即uC(0－)=0时，式(8.4.4)简化为

此时的s域模型如图8.4.3(d)所示。(8.4.5)图8.4.3电容元件的时域和s域模型

2.基尔霍夫定律的s域形式

在时域中，KCL和KVL的数学表达式分别为

利用拉氏变换的线性性质，对上式分别取拉氏变换得(8.4.6)8.4.2复频域分析法举例

由复频域分析法的内容，可归纳出复频域分析法的解题步骤如下:

(1)求瞬态电路的初始状态iL(0－)和uC(0－)。若初始状态已知或只求零状态响应，则此步可省略。

(2)将激励源f(t)变换成象函数F(s)。

(3)作t＞0时s域电路模型(又称运算电路)。

(4)应用直流电路的一般分析方法、定理和公式列写出求解响应Y(s)的方程式，并进行求解。

(5)将响应Y(s)反变换为时域响应y(t)。复频域分析法可以单独求零输入响应(F(s)=0)、零状态响应(内电源为零)，也可以一举求得全响应，这是因为在s域电路模型中可自动显示出初始状态的有无。

【例8.4.1】如图8.4.4(a)所示，iL(0－)=0，uC(0－)=0，us(t)=20ε(t)V，用s域分析法求t＞0时的iL(t)。

解：(1)对激励进行拉氏变换得

(2)作电路的s域模型，如图8.4.4(b)所示。图8.4.4例8.4.1图

(3)列电路方程：

移项得

(4)求反变换：

iL(t)=(5e－t－5e－5t)ε(t)A

【例8.4.2】如图8.4.5(a)所示，求t＞0时的电压u(t)。

解：(1)t＜0时，iL(0－)=1A，uC(0－)=1V。

(2)t＞0时，电压源为0，s域等效电路如图8.4.5(b)所示。图8.4.5例8.4.2图

(3)由叠加定理求得

(4)求反变换得

【例8.4.3】图8.4.6所示为常用的分压电路，若以u1(t)为输入，u2(t)为输出，试分析为使输出不失真，电路元件应满足的条件。

图8.4.6例8.4.3图

解：对于零状态电路作s域模型，如图8.4.6(b)所示。令R1与 的等效阻抗为Z1(s)，R2与 的等效阻抗为Z2(s)，则有 本模块小结

1.拉普拉斯变换的定义式

正变换：

反变换：

2.常见信号的拉氏变换

3.拉氏变换与傅氏变换不同的性质

若 ，则

(1)时延性：

(2)时域微分性：

(3)时域积分性：(t0＞0)

4.拉普拉斯反变换的确定

用部分分式展开法展开真分式F(s)。

5.s域分析法的解题步骤

(1)求电路的初始状态iL(0－)和uC(0－)。