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文档简介
第8章非正弦周期电流电路
8.1非正弦周期信号及其分析8.2周期函数分解为傅里叶级数8.3非正弦周期电流电路中电流和电压的有效值8.4非正弦周期电流电路的平均值和平均功率8.5非正弦周期电流电路的分析习题8【本章要点】本章主要介绍周期函数分解为傅里叶级数、非正弦周期电流电路中电压和电流的有效值、非正弦周期电流电路的平均值和平均功率以及非正弦周期电流电路的分析等内容。8.1非正弦周期信号及其分析如果一个正弦电源或多个同频电源同时作用在一个线性电路中,那么电路的稳态电压、电流都是同频的正弦量。在工程实践和科学研究中,实际遇到的往往不是真正的正弦量,如交流发电机发出的电压波形与真正的正弦波存在一定的差别,可以看做是非正弦的。如果电路存在非线性元件,即使电流、电压是正弦波,那么电路中也会产生非正弦电流。在电子设备、自动控制等技术的领域内所广泛应用的脉冲电路,其电压和电流的波形都是非正弦的,如图8-所示。图8-1非正弦周期信号
(a)方波;(b)锯齿波;(c)全波整流波形图8-1所示电路中的波形虽然各不相同,但它们都是按一定规律周而复始地变动,故称之为非正弦周期信号。非正弦电流可分为周期电流与非周期电流两种。具体分析方法如下:
(1)将非正弦周期激励电压、电流或外施信号分解为一系列不同频率的正弦量之和;
(2)分别计算在各种频率正弦量单独作用下产生的正弦电流分量和电压分量;
(3)根据线性电路的叠加定理,把所得分量变换成时域形式进行叠加,得到电路中实际的稳态电流和电压。8.2周期函数分解为傅里叶级数在线性电路分析中,傅里叶级数扮演着重要的角色。利用傅里叶级数可将周期电流或电压分解为一系列不同频率正弦周期信号之和,然后求解在这些正弦信号作用下的稳态响应。8.2.1傅里叶级数设f(t)为一非正弦周期函数,即f(t)=f(t+kT),k=0,1,2,3,…,其周期为T,频率为f。如果f(t)满足狄里赫利条件,则可将f(t)的傅里叶级数展开为以下两种形式。形式1:其中:n为正整数;;、an和bn
称为傅里叶系数。求时,对和式(8-1)两端在一个周期内积分,只有右端的这一项积分不为零,即(8-1)所以,是f(t)在T内的平均值,称为直流分量;求an时,用cosnω1t乘式(8-1),有(8-2)
对上式两端在一个周期内积分,根据三角函数的正交性,只有右端的ancos2nω1t这一项积分不为零,其他各项在一个周期内积分都等于零,即所以(8-3)令n=1,2,3,…,便可求得a1,a2,a3,…;求bn时,同理用sinnω1t乘式(8-1),并使其在一个周期内积分,可得
(8-4)为了使傅里叶级数形式更加简洁,便于用相量法求解在这些正弦信号作用下的稳态响应,傅里叶级数可展开为第二种形式。形式2:(8-5)式中
傅里叶级数是一个无穷三角级数。式(8-5)中,第一项称为周期函数的直流分量;其余所有的项是具有不同振幅、不同初相位而频率成整数倍关系的一些正弦量;第二项A1msin(nω1t+θn)称为一次谐波(或基波分量),其周期或频率与原周期函数相同,其他各项统称为高次谐波,即二次、三次、四次、n次谐波。式(8-5)表明,一个非正弦周期函数可以表示为一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。这种数学表达式可以详尽、准确地表达周期函数分解的结果,但不直观。为了更直观地表达f(t)分解为傅里叶级数后的频率分量、各频率分量的大小以及各谐波分量初相角的大小,用如图8-2所示的图形来表示,这种图形称为f(t)的频谱图。8-2信号频谱图(a)幅度频谱;(b)相位频谱如果用每一谱线的高度表示该频率谐波的幅值,则所做出的图形称为幅度频谱(amplitudespectrum)。如果用每一谱线的高度表示该频率谐波的初相角,则所做出的图形称为相位频谱(phasespectrum)。
例8-1求如图8-3所示周期性矩形信号f(t)的傅里叶级数展开式及其频谱。图8-3例8-1用图
解在第一个周期内f(t)的表达式为根据傅里叶级数系数公式得当n为偶数时当n为偶数时由此求得周期性矩形信号f(t)由有限项谐波合成的波形如图8-4所示。其幅度频谱图如图8-5所示。图8-4谐波合成示意图图8-5矩形波的幅度频谱图8.2.2周期函数的对称性
若要把已知信号f(t)展为傅里叶级数,如果f(t)的波形满足某种对称性,则在其傅里叶级数中有些项将不出现,留下的各项系数的表达式也变得比较简单。波形的对称性有两类:一类是对整周期对称,例如偶函数和奇函数;另一类是对半周期对称,例如奇谐函数。前者决定级数中只可能含有余弦项或正弦项,后者决定级数中只可能含有偶次项或奇次项。1.偶函数若信号波形相对于纵轴是对称的,即满足f(t)=f(-t),此时f(t)是偶函数,如图8-6所示。傅里叶级数的系数中的f(t)cosnω1t是偶函数,而中的f(t)sinnω1t是奇函数,于是级数中的系数所以在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项,只含有直流项和余弦项。图8-6偶函数波形
2.奇函数若信号波形相对于纵轴是反对称的,即满足f(t)=-f(-t),此时f(t)是奇函数,如图8-7所示。图8-7奇函数波形由,可以知道,a0=0,a0=0;,所以在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项,只可能含有正弦项。
3.奇谐函数若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转,此时波形并不发生变化,即满足,这样的函数称为半波对称函数或奇谐函数,如图8-8所示。图8-8奇谐函数波形由,可知,f(t)sinw1t和f(t)cosw1t的积分存在,而f(t)cos2w1t和f(t)sin2w1t为零,即a0=0,a0=b(n为偶数),,
(n为奇数)。8.3非正弦周期电流电路中电流和电压的有效值工程中常将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效应换算为在效应上与之相等的直流量,以衡量和比较周期电流或电压的效应,这一直流量就称为周期量的有效值。有效值定义为(8-6)式(8-6)表示周期量的有效值等于其瞬时值的平方,在一个周期内积分的平均值再取平方根,因此有效值又称均方根值。上式的定义无论是对正弦周期量,还是对非正弦周期量公式都适用。当电流i(t)是正弦量时,可以得出正弦量的有效值与正弦量的振幅之间的特殊关系,即(8-7)将i(t)展开为傅里叶级数,即(8-8)将式(8-8)代入式(8-6),得i(t)的有效值为(8-9)将式(8-9)中多项式的平方展开,可知有三种类型的项:
(1)各交叉项乘积2Inmsin(nω1t+θn)Ikmsin(kω1t+θk);
(2)直流与各次谐波的乘积2I0Ikmsin(kω1t+θk);
(3)各次谐波的平方项。由三角函数的正交性可知,各交叉项乘积的2倍在一个周期内的积分值应为零,直流与各次谐波的乘积的积分值也为零,只有各平方项的平均值不为零,即所以即i的有效值为(8-10)由此可见,非正弦周期电流的有效值等于它的直流分量及各谐波分量有效值的平方和的平方根。
例8-2已知周期电流i=1+0.707sin(ωt-20°)+0.42sin(2ωt+50°)A,试求其有效值。
解将直流分量及各谐波分量的有效值代入式(8-10)中,得8.4非正弦周期电流电路的平均值和平均功率
1.非正弦周期量的平均值在电工实践中,还常用到平均值的概念,其数学表达式为(8-11)根据式(8-11)可求得正弦电流的平均值为对于非正弦周期电流的平均值,根据式(8-11)可知等于此电流绝对值的平均值。取绝对值是将负值部分反号,对于二极管整流电路来说就是“全波整流”。所以,正弦电流的平均值就是“全波整流”后的平均值。若计算正弦电压的平均值,并计算正弦电压的有效值与平均值之比,可设u(t)=Umsinωt,则平均值为有效值为有效值与平均值之比为
2.非正弦周期量的平均功率
在电路分析中经常遇到非正弦周期电流电路的功率问题,下面讨论这一问题。设加在二端口网络的周期电压、电流分别为当其参考方向一致时,其吸收的瞬时功率为p(t)=u(t)i(t)平均功率为(8-12)将式(8-2)积分,可有以下几种类型的项:
(1)直流电压与直流电流的乘积;
(2)直流电压与电流多次谐波的乘积;
(3)直流电流与电压多次谐波的乘积;
(4)各同次谐波电压与电流的乘积;
(5)不同次谐波电压与电流的乘积。已知(2)、(3)、(5)各类积分值为零,将(1)、(4)两类求平均值,即积化和差为即非正弦周期电流电路的平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和。
例8-3已知某二端口网络的电压、电流分别为当u(t)与i(t)取关联参考方向时,求二端口网络吸收的平均功率。解将电压和电流的直流分量和各次谐波的有效值代入平均功率公式,得平均功率
P=2×10+18.55×100cos21.8°+6.4×50cos[30°-(69.81°-90°)]
=20+1772.34+204.88
=1997.22W8.5非正弦周期电流电路的分析在工程实践中,周期性激励信号一般都满足狄里赫利条件,都可展开为傅里叶级数。根据线性电路的叠加性,可将非正弦周期性激励信号产生的响应等效于一系列按傅里叶级数展开的正弦信号作用下的稳态响应之和。由于傅里叶级数的收敛性,根据工程计算所允许的误差范围,一般只取前若干项来计算(对周期电压信号可认为是若干谐波电压源相串联,对周期电流信号可认为是若干谐波电流源相并联)。其分析电路的具体步骤如下:
(1)信号分解。将给定的非正弦激励信号分解为傅里叶级数,并根据计算精度要求,取有限项高次谐波。
(2)计算谐波响应。分别计算各次谐波单独作用下电路的响应,计算方法与直流电路及正弦交流电路的计算方法完全相同。对直流分量,电感元件相当于短路,电容元件相当于开路。对各次谐波分量可以用相量法求解,电路成为正弦交流电路,并把计算结果转换为时域形式。
(3)叠加响应。用叠加原理,把步骤(2)所计算出的各次谐波作用下的响应结果用时域表达后进行相加,终响应是用时间函数表示的。
例8-4电路如图8-9所示,,ωL=2Ω,1/(ωC)=15Ω,R1=5Ω,R2=10Ω,求各支路电流及R1支路吸收的平均功率。图8-9例8-4用图
解因为电源电压已分解为傅里叶级数,所以可直接计算各次谐波作用下的电路响应。
(1)在直流分量U0=10V单独作用下,等效电路如图8-10(a)所示,这时电感相当于短路,而电容相当于开路。各支路电流分别为
(2)在基波分量单独作用下,等效电路如图8-10(b)所示,用相量法计算如下:(3)在三次谐波分量单独作用下,等效电路如图8-10(c)所示。此时,感抗XL(3)=3ωL=6Ω,容抗,则有图8-10图8-9所示电路的等效电路将以上各个响应分量用瞬时表达式表示后叠加,得到各支路电流为各支路电流有效值为R1支路吸收的平均功率为
例8-5电路如图8-1所示,已知,输入电源为求电流i和电阻吸收的平均功率P。图8-11例8-5用图解:电流相量的一般表达式,式中:为k次谐波电流的振幅。根据叠加定理,按k=0,1,2,…的顺序,逐一求解如下:当k=0时,直流分量,U0=10V,
I0=0,
P0=0当k=1时,当k=3时,同理求得:当k=5时,当k=7时,当k=9时,按时域形式叠加,得习题88-1求如图所示波形的傅里叶级数的系数。习题8-1图8-2已知周期函数f(t)如图所示,求其傅里叶级数的展开式。习题8-2图8-3已知周期函数f(t)如图(a)、(b)所示,求其傅里叶级数的展开式。习题8-3图
8-4已知一个RLC串联电路,其R=11Ω,L=0.015H,C=70μF,外加电压为u(t)=11+141.4cos1000t-35.4sin2000tV,试求电路中的电流i(t)和电路消耗的功率。
8-5有效值为100V的正弦电压加在电感L两端时,得电流I=10A;当电压中有三次谐波分量,而有效值仍为100V时,得电流I
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