《电路分析》课件第3章

第3章电阻电路的一般分析方法

3.1支路电流法3.2网孔电流法3.3节点电压法习题3【本章要点】本章主要介绍线性电阻电路的分析方法，即支路电流法、网孔电流法及节点电压法。通过本章的学习，要求能够列写电路方程，并能应用这些方法分析、计算电阻电路。3.1支路电流法支路电流法是以支路电流为独立变量，应用基尔霍夫电压和电流两条定律建立电路方程的一种方法。对于有n个节点、b条支路的电路,由KCL可以列出n个节点电流方程，但这些方程并非彼此独立。同样，应用KVL列写回路的电压方程也存在类似的问题。如图3－1所示，该电路含有2个节点，3条支路。设电路中各元件电阻参数已知，以支路电流为电路变量，根据图中参考方向，列写KCL方程为

-i1+i2+i3=0

(节点a)（3－1）

i1-i2-i3=0

(节点b) （3－2）式（3－1）和式(3－2）只差一个负号，显然它们彼此也是不独立的，只能取其中之一为独立方程。因此，对于具有n个节点的电路，电路的独立方程数为n-1个。如图3－1所示电路中，共有3个回路。为了使所列方程为独立方程，应使所选回路中至少有一条未被其他回路所包含的新支路。对于平面电路，网孔恰好满足上述独立回路的规律，所以选择网孔作为独立回路是最好的方法。按图示的绕行方向，列写KVL方程为

R1i1+R2i2-us1+us2=0

(回路Ⅰ)

-R2i2+R3i3-us2+us3=0

(回路Ⅱ)整理后得

R1i1+R2i2=us1-us2

（3－3）

-R2i2+R3i3=us2-us3

（3－4）式（3－3）和式（3－4）两个方程相互独立，联立求解可得到各支路电流。由此可见，对于具有n个节点的电路，当支路的数目为b时，独立回路数l为l=b-(n-1)在平面电路中，取网孔作为独立回路时，网孔的数目就等于独立回路中电压方程的个数。由以上分析可知，支路电流法是以支路电流为变量，对含有b条支路，n个节点的电路，应用KCL建立n-1个独立电流方程，应用KVL建立b-(n-1)个独立电压方程，从而求解b个未知的支路电流方程。

例3－1电路如图3－2所示，求解各支路电流。图3－2例3－1用图

解该电路有2个节点，故有一个独立节点电流方程为－i1+i2+i3=0网孔为独立回路，并设理想电流源两端电压为u，列写KVL方程为

2i1+2i2－8=0

(网孔Ⅰ)－2i2+6i3+u=0

(网孔Ⅱ)

从图3－2中可以看出，理想电流源的端电压u也为未知量，所以必须补充i3=－is=－1A方程，联立以上方程得

i1=1.5A，i2=2.5A

例3－1支路Ⅱ中只含一个理想电流源而不存在与之并联的电阻，把这种无并联电阻的电流源称为无伴电流源，电路中存在这类支路时，需要加一个补充方程。支路电流法的优点是可以直接求出各支路电流，缺点是必须求解b个方程，若支路b较多，那么计算起来就很麻烦。3.2网孔电流法

网孔电流法是以网孔电流作为电路独立变量，应用KVL建立电路方程来求解电路中网孔电流的方法，该方法仅适用于平面电路。如图3－3所示电路中，有3个网孔。网孔电流是人们假想的只在网孔边界流动的电流。如图3－3中，im1、im2为网孔电流，其参考方向是任意假定的，常将网孔电流的绕行方向选顺时针或逆时针方向。如图3－3所示电路中，由KCL得

i2=i1－i3

（3－5）节点电流可用网孔电流表示，当支路中只有一个网孔时，该支路电流就等于该网孔电流；当某支路中同时有几个网孔电流通过时，则该支路电流就等于这几个网孔电流的代数和。网孔电流是从网孔中某一个节点流进，同时又从该节点流出，网孔电流自动满足KCL。所以，我们只列写KVL方程就可以了，对于平面电路，网孔就是独立回路。图3－3网孔电流法节点电流可用网孔电流表示，当支路中只有一个网孔时，该支路电流就等于该网孔电流；当某支路中同时有几个网孔电流通过时，则该支路电流就等于这几个网孔电流的代数和。网孔电流是从网孔中某一个节点流进，同时又从该节点流出，网孔电流自动满足KCL。所以，我们只列写KVL方程就可以了，对于平面电路，网孔就是独立回路。式（3－5）用网孔电流表示为i1=im1

i3=im2

i2=im1－im2

列写KVL回路方程得R1im1+R2(im1－im2)＝us1－us2(网孔Ⅰ)R3im2+R2(im2－im1)=us2－us3(网孔Ⅱ)

整理后得(R1+R2)im1－R2im2=us1－us2

－R2im1+(R2+R3)im2=us2－us3

写成一般形式为式（3－6）中：R11、R22分别是网孔Ⅰ和网孔Ⅱ的电阻之和，称为自电阻，简称自阻；R12、R21分别是网孔Ⅰ和网孔Ⅱ的公共支路电阻，称为互电阻，简称互阻；us11、us22分别是网孔Ⅰ和网孔Ⅱ的电压源的代数和。通过互阻的两个网孔电流参考方向相同时，互阻取正值；如果两个网孔之间没有公共电阻，则相应的互阻为零；自阻恒为正值，各电压源的方向与网孔电流方向一致时，前面取负号，反之取正号。以上规律推广到含有m个网孔的电路，其网孔电流的一般形式为R11im1+R12im2+…+R1mimm=us11

R21im1+R22im2+…+R2mimm=us22

R31im1+R32im2+…+R3mimm=us33

Rm1im1+Rm2im2+…+Rmmimm=usmm

网孔分析法的计算步骤如下：

(1)在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网孔电流均选为顺时针（或逆时针）方向，网孔方程的全部互阻前均取负号。

(2)列写网孔方程。

(3)求解网孔方程，得到各网孔电流。

(4)假设支路电流的参考方向，根据支路电流与网孔电流的线性组合关系，求得各支路电流。

例3－2

用网孔分析法求如图3－4所示电路中各支路电流。图3－4例3－2用图解电路共有3个网孔，选取网孔电流为im1、im2、im3，所以有

R11=2+1+2=5Ω

R22=2+6+3=11Ω

R33=1+6+3=10Ω

R12=R21=－2Ω

R23=R32=－6Ω

R31=R13=－1Ω

us11=－12V

us22=6V

us33=19V网孔电流方程为5im1－2im2－im3=－12V－2im1+11im2－6im3=6V－im1－6im2+10im3=19V用消去法或行列式法解得im1=－1Aim2=2Aim3=3A

进而求得各支路电流为

i1=im1=－1A

i2=－im2=－2A

i3=im3=3A

i4=i3－i1=4A

i5=i1－i2=1A

i6=i3－i2=5A

例3－3电路中的网孔电流im1、im2、im3

如图3－5所示,求各支路电流。图3－5例3－3用图

解由于8A电流源可以确定网孔电流im3=8A，因此只列写另外两个方程:4i1+2i2=12V2i1+6i2+3i3=20Vi3=8A

解得i1=4A,i2=－2A网孔电流法虽然仅适用于平面电路，但实际中的大多数电路都属于平面电路，所以网孔电流法仍不失使用的广泛性。对于非平面电路，我们采用回路电流法来求解电路中的回路电流。显然，回路电流法不仅适用于非平面电路，更适用于平面电路。回路电流法列写方程的方法与网孔电流法类似，im1、im2、im3…分别表示为回路电流。3.3节点电压法节点电压法是以电路中节点电压为独立变量，对n-1个独立节点用KCL列写节点电压方程，从而求解电路中其他各电量的方法。下面以图3－6为例，推导节点电压方程。选取节点0为参考点，那么1、2、3的节点电压分别设为un1、un2、un3，对节点1、2、3列写KCL方程

由欧姆定律，得将上式代入式（3－7）中，整理后得(G1+G5)un1－G1un2－G5un3=G5us5+is

－G1un1+(G1+G2+G3)un2－G3un3=0－G5un1－G3un2+(G3+G4+G5)un3=－G4us4－G5us5

方程进一步写成式（3－8）中：G11、G22、G33分别是与节点1、2、3相关联的各电导之和，称为自电导；G12、G21分别是连接在节点1、2之间的电导之和，并取负号，称为互电导；G23、G32分别是连接在节点2、3之间的电导之和,并取负号，称为互电导；G13、G31分别是连接在节点1、3之间的电导之和,并取负号，称为互电导；is11、is22、is33分别表示节点1、2、的注入电流。注入电流等于流向节点的电流源的代数和，流入节点者前取正号，流出节点者前取负号。注入电流源也包括图3－6中电压源和电阻串联组合经等效变换形成的电流源。自电导恒为正，互电导恒为负。

例3－4

电路如图3－7所示，已知Us1=16V，Is3=2A，Us6=40V，R1=4Ω，R2=10Ω，R3=R4=R5=20Ω，R6=10Ω，设地为参考节点，求节点1、2的电压un1和un2。图3－7例3－4用图

解电路参考方向如图3－7所示，由已知条件可得列写节点电压方程:0.4un1－0.1un2=1.2－0.1un1＋0.25un2=6以上两个方程联立求得un1＝10Vun2＝28V习题3

3－1电路如图（a）、（b）所示，在两种情况下KCL、VL独立方程各为多少？习题3－1图

3－2用支路法计算如图所示的各支路电流。习题3－2图

3－3电路如图所示，已知R1=R2=10Ω,R