《电路与线性系统分析》课件第10章

10.1变换的定义10.2变换收敛区及典型序列变换

10.3变换的性质与定理10.4逆变换

10.5离散系统的复频域分析10.6离散系统的系统函数与系统特性

10.7离散系统的模拟习题十

变换的数学理论很早就形成了，但直到20世纪五六十年代随着计算机的应用与发展，才真正得到了广泛的实际应用。作为一种重要的数学工具，它把描述离散系统的差分方程变换成代数方程，使其求解过程得到简化。还可以利用系统函数的零、极点分布，定性分析系统的时域特性、频率响应、稳定性等，是离散系统分析的重要方法。变换在离散系统的作用与地位，与拉氏变换在连续时间系统的作用相当。10.1变换的定义

双边变换的定义如下：(10.1-1)如果x(n)是因果序列，则式(10.1-1)的变换为(10.1-2)式(10.1-2)也称单边变换。可见因果序列的双边变换就是单边变换，所以单边变换是双边变换的特例。

变换是复变量z的幂级数(也称罗朗级数)，其系数是序列x(n)的样值。连续时间系统中，信号一般是因果的，所以主要讨论拉氏单边变换。在离散系统分析中，可以用因果系统逼近非因果系统，因此单边与双边变换都要涉及。变换也可用英文缩写ZT或表示。10.2变换收敛区及典型序列变换

式(10.1-1)是双边变换的定义，根据其是否收敛以及收敛条件，决定了序列变换是否存在以及存在的条件，本节先就此进行讨论。10.2.1变换的收敛区对于任意给定的有界序列，使式(10.1-1)级数收敛的所有z值称为X(z)的收敛区。我们举例说明式(10.1-1)收敛与否，以及在什么范围收敛。例10.2-1

已知序列，，分别求它们的变换及收敛区。解：

az

1

<1

a

<

z

a

1z

<1

a

>

z

X1(z)与X2(z)相同，但X1(z)的收敛区是以|a|为半径的圆外，而X2(z)的收敛区是以|a|为半径的圆内。此例说明，收敛区与x(n)有关，并且对于双边变换，不同序列的变换表示式有可能相同，但各自的收敛区一定不同。所以为了唯一确定变换所对应的序列，双边变换除了要给出X(z)的表示式外，还必须标明X(z)的收敛区。任意序列变换存在的充分条件是级数满足绝对可和，即(10.2-1)下面利用式(10.2-1)讨论几类序列的收敛区。

1.有限长序列

若有限长序列，如图10.2-1所示。图10.2-1有限长序列示意图则有限长序列的变换为由有限长序列的变换可见，此时X(z)是有限项级数，因此只要级数每项有界，则有限项之和亦有界。当x(n)有界时，变换的收敛区取决于|z|-n。当n1≤n≤n2时，显然，|z|-n在整个开区间(0，∞)可满足这一条件。所以有限长序列的收敛区至少为0<|z|<∞。如果0≤n1，X(z)只有z的负幂项，收敛区为0<|z|≤∞；若n2≤0，X(z)只有z的正幂项，收敛区为0≤|z|<∞；均为半开区间。特别地，x(n)=δ(n)

X(z)=1，0≤|z|≤∞，收敛区为全z平面。

例10.2-2已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。

解:收敛区为0<|z|≤∞

2.右边序列右边序列是有始无终的序列，即n2→∞，如图10.2-2所示。右边序列的变换为当n1<0时，将右边序列的X(z)分为两部分式中第①项是有限长序列，其收敛区为0≤|z|<∞；第②项只有z的负幂项，若②收敛，|z|一定不为0，所以其收敛区为RX-≤|z|<∞，是以RX-为半径的圆外，且RX-一定大于零；综合①、②两项的收敛区情况，一般右边序列的收敛区为

RX-<|z|<∞(10.2-2)式(10.2-2)表明右边序列的收敛区是以RX-为收敛半径的圆外。

当n1≥0时，X(z)的和式中没有z的正幂项，收敛区为RX-<|z|≤∞。例10.2-3

已知序列，求X(z)。解：此例收敛区是以X(z)的极点1/3为半径的圆外。推论：在X(z)的封闭表示式中，若有多个极点，则右边序列的收敛区是以绝对值最大的极点为收敛半径的圆外。

3.左边序列左边序列是无始有终的序列，即n1→∞，如图10.2-3所示。左边序列的变换为图10.2-3左边序列示意图当n2>0时，将左边序列的X(z)分为两部分式中第①项只有z的正幂项，所以其收敛区为0<|z|<RX+；第②项是有限长序列，收敛区为0<|z|≤∞。综合①、②两项的收敛区情况，一般左边序列的收敛区为

0<|z|<RX+(10.2-3)式(10.2-3)表明左边序列的收敛区是以RX+为收敛半径的圆内。当n2≤0时，X(z)的和式中没有z的负幂项，其收敛区为0≤|z|<RX+。

例10.2-4已知序列x(n)=-bnu(-n-1)，求X(z)。解：注意到此例收敛区是以X(z)的极点b为半径的圆内。推论：在X(z)的封闭表示式中，若有多个极点，则左边序列的收敛区是以绝对值最小的极点为收敛半径的圆内。

4.双边序列双边序列是无始无终的序列，即n1→∞，n2→∞。其变换为将双边序列的X(z)分为两部分式中第①项是左序列，其收敛区为0≤|z|<RX+；第②项是右序列，其收敛区为RX-<|z|≤∞。综合第①、②项的收敛区情况可知，只有当RX+>RX-时，X(z)的双边变换存在，收敛区为

RX-<|z|<RX+(10.2-4)式(10.2-4)表明双边序列的收敛区是以RX-为内径，以RX+为外径的环形区；而当RX+<RX-时，X(z)的双边变换不存在。

例10.2-5已知双边序列x(n)=c|n|，c为实数，求X(z)。解：

x(n)=c

n

=

X(z)=X1(z)+X2(z)当n<0时，

cz

<1或当n≥0时，

cz

1

<1或c

<

z

讨论：(1)|c|<1，收敛的c|n|波形如图10.2-4所示。X(z)=X1(z)+X2(z)

cz

<1或图10.2-4双边收敛序列示意图

(2)|c|>1，发散的c|n|波形如图10.2-5所示，因为RX-=|c|>1/|c|=RX+无公共收敛区，所以X(z)的双边变换不存在。10.2.2典型序列的变换在离散系统分析中除了因果序列，非因果序列也有一定的应用。所以典型序列中除了单边序列也有双边序列。

1.单位脉冲序列δ(n)[

(n)]＝

(n)1

2.单位阶跃序列u(n)

3.斜变序列nu(n)可利用u(n)的变换，

z

>1

等式两边分别对z-1求导，得两边各乘以z-1

z

>1

4.实指数序列(1)anu(n)(2)

anu(

n

1)若

a=eb，则

5.单边正、余弦序列由指数序列的变换ebu(n)

z

>

eb

可推得

z

>1

将正、余弦序列分解为两个指数序列同理

6.双边指数序列

x(n)=a

n

a

<1

10.3变换的性质与定理

变换的性质与定理讨论的是序列时域与复频域之间的对应关系、变换规律。它们既能揭示时域与复频域之间的内在联系，又能提供系统分析、简化运算的新方法。

1.线性

若

x(n)

X(z)

y(n)

Y(z)则ax(n)+by(n)

aX(z)+bY(z)

R

<

z

<R+式中

(10.3-1)

2.双边变换的位移(移序)性(m>0)

若序列x(n)的双边变换为

x(n)

X(z)则x(n+m)

zmX(z)(10.3-2)

证明

[x(n+m)]=

令n+m=k，代入上式

[x(n+m)]==zmX(z)位移序列变换的收敛区一般不变。

3.单边变换的位移性

(1)若序列x(n)的单边变换为

x(n)u(n)

X(z)则序列左移后单边变换为x(n+m)u(n)

m>0(10.3-3)证

[x(n+m)u(n)]=令n+m=k

序列左移后的单边变换示意图如图10.3-1所示。特别的，图10.3-1序列左移后的单边变换示意图

[x(n+1)u(n)]=zX(z)

zx(0)

[x(n+2)u(n)]=z2X(z)

z2x(0)

zx(1)

(2)若x(n)u(n)

X(z)，则x(n

m)u(n)

m>0(10.3-4)证

[x(n

m)u(n)]＝令n

m=k

序列右移后单边变换的示意图如图10.3-2所示。图10.3-2序列右移后的单边变换特别的，[x(n

1)u(n)]=z1X(z)+x(

1)

[x(n2)u(n)]=z2X(z)+z1x(

1)+x(

2)

(3)若x(n)为因果序列，x(n)u(n)

X(z)，则x(n

m)u(n)

z

mX(z)m>0(10.3-5)(10.3-6)

4.指数序列加权

若x(n)

X(z)，，则anx(n)

X(a

1z)

(10.3-7)证

[anx(n)]==X(a

1

z)利用指数序列加权性及x(n)=u(n),

z

>1，可推得anx(n)

X(a

1

z)=

a

1z

>1，z

>

a

，

z

>1

z

>1

z

>1

5.x(n)线性加权或z域微分性若x(n)

X(z)，，则nx(n)

(10.3-8)证

(交换运算次序)

6.时域卷积定理若w(n)=x(n)

y(n)，则W(z)=X(z)Y(z)R

<

z

<

R+(10.3-9)式中，，例10.3-4：x(n)=u(n)

X(z)=

z

>1

y(n)=anu(n)

Y(z)=

z

>

a

，其中

a

<1。求w(n)=x(n)

y(n)。解

:W(z)=X(z)Y(z)=；

z

>1

利用卷积定理，可以求解离散系统的零状态响应，如图10.3-3所示。图10.3-3离散系统的零状态响应求解表10.3-1列出了变换性质与定理的有关信息。10.4逆变换

逆换也称反变换，反变换也可用英文缩写IZT或-1表示，是由X(z)求x(n)的运算，若X(z)(10.4-1)则由柯西积分定理，可以推得逆变换表示式为(10.4-2)即对X(z)zn

1作围线积分，其中c是在X(z)的收敛区内一条逆时针绕原点的围线。一般来说，计算复变函数积分比较困难，所以当X(z)为有理函数时，介绍常用的三种反变换方法。10.4.1、幂级数法将X(z)展开X(z)=

+x(

1)z+x(0)+x(1)z

1+x(2)z

2+

，其系数就是x(n)。特别的，对单边的左序列或右序列，当X(z)为有理函数时，幂级数法也称长除法。举例说明用长除法将X(z)展开成级数求得x(n)的方法。例10.4-2

已知X(z)

z

>1/

a

，求x(n)。解：因为收敛区在1/|a|外，序列为右序列，应展开为z的降幂级数。X(z)=1+(az)

1+(az)

2+(az)

2+

由此可得

x(n)=a

nu(n)。例10.4-3

已知X(z)=

z

<1/

a

，求x(n)。解：因为收敛区在1/

a

圆内，序列为左序列，应展开为z的升幂级数。

X(z)=

az

(az)2

(az)3

(az)4

由此可得

x(n)=

a

nu(

n

1)。用长除法可将X(z)展开为z的升幂或降幂级数，它取决于X(z)的收敛区。所以在用长除法之前，首先要确定x(n)是左序列还是右序列，由此决定分母多项式是按升还是按降幂排列。由长除法可以直接得到x(n)的具体数值，但当X(z)有两个或两个以上极点时，用长除法得到的序列值，要归纳为x(n)闭合式还是比较困难的，这时可以用部分分式法求解x(n)。10.4.2部分分式法

X(z)一般是z的有理函数，可表示为有理分式形式。最基本的分式及所对应的序列为(10.4-3)式(10.4-3)是最常用的Z变换对。部分分式法就是基于此基础上的一种方法，即将X(z)的一般有理分式展开为基本有理分式之和。这与傅氏变换、拉氏变换的部分分式法相似。通常X(z)表示式为式中，分子最高次为M，分母最高次为N。设M

N，且X(z)均为单极点，X(z)可展开为(10.4-5)式中k=0,12,

,N

(10.4-6)(10.4-7)因为变换的基本形式为，在用部分分式展开法时，可以先将展开，然后每个分式乘以z，X(z)就可以展开为的形式，即

(10.4-8)式中，A0对应的变换为A0δ(n)，根据收敛域最终确定x(n)。例10.4-4

已知,

z

>1，求x(n)。解:

z

>1，是右边(因果)序列。

z

>1x(n)=(

2

0.5n)u(n)例10.4-5：已知，2<

z

<3，求x(n)。解：因为收敛区为2<

z

<3，是双边序列，且2<

z

对应右边序列，

z

<3对应左边序列，所以x(n)=2nu(n)+(

3)nu(

n

1)若X(z)在z=d1有二阶的重极点，其余为单极点。X(z)可展开为其中，A0、Ak计算同前，Bk为Bk

(10.4-9)表10.4-1给出了常用序列的变换。利用这个表再结合变换的性质，可求一般序列的正、反变换。10.5离散系统的复频域分析

二阶LTI离散系统的差分方程一般形式为y(n

2)+a1y(n

1)+a0

y(n)=b2x(n

2)+b1x(n

1)+b0

x(n)(10.5-1)当x(n)是因果序列，已知初始(边界)条件y(

1),y(

2)时，可利用变换求解式(10.5-1)。对式(10.5-1)等式两边取变换，利用单边Z变换的位移性，得到

Y(z)+a1[z-1Y(z)+y(-1)]+a2[z-2Y(z)+z-1y(-1)+y(-2)]=(b2z-2+b1z-1+b0)X(z)整理上式得到

(1+a1z-1+a2z-2)Y(z)+a1y(-1)+a2[z-1y(-1)+y(-2)]=(b0+b1z-1+b2z-2)X(z)(10.5-2)10.5.1零状态响应

零状态响应是仅由激励引起的响应,此时系统初始条件(y(-1)=y(-2)=0，代入式(10.5-2)得到(1+a1z-1+a2z-2)Y(z)=(b0+b1z-1+b2z-2)X(z)(10.5-3)由式(10.5-3)得零状态响应为令(10.5-4)(10.5-5)式中，H(z)为系统(传输)函数，零状态响应还可表示为Yzs(z)=H(z)X(z)

(10.5-6)(10.5-7)例10.5-1

已知一离散系统的差分方程为求y(n)。其中x(n)=(1/3)nu(n)，y(-1)=0。解：因为y(-1)=0，是零状态响应。对方程两边取变换10.5.2零输入响应零输入响应是仅由系统初始储能引起的响应，与初始(边界)条件y(-1)、y(-2)密切相关。此时激励x(n)=0，式(10.5-1)差分方程右边等于零，代入(10.5-2)得到(1+a1z-1+a2z-2)Y(z)+a1y(-1)+a2[z-1y(-1)+y(-2)]=0(10.5-8)(10.5-9)(10.5-10)

例10.5-2

差分方程同例10.5-1，x(n)=0，y(-1)=-2，求yzi(n)。解:

激励x(n)=0，是零输入响应。对方程两边取变换10.5.3全响应利用变换，不需要分别求零状态响应与零输入响应，可以直接求解差分方程的全响应。(10.5-11)

例10.5-3系统差分方程、激励x(n)同例10.5-1，(0)=0，求y(n)。解:先求出边界条件y(-1)，将n=0代入原方程叠代解出y(-1)=-2，此时的y(n)是全响应。方程两边取变换10.6离散系统的系统函数与系统特性

10.6.1系统函数及其零极点由二阶LTI离散系统的后向差分方程一般式

y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)=b0x(n)+b1x(n-1)+b2x(n-2)得到二阶LTI离散系统的系统函数(10.6-1)式(10.6-1)是z-1的有理分式，其系数正是差分方程的系数，它的分子分母多项式可以分解为H(z)==式中，{c1，c2}是H(z)的零点，{d1，d2}是H(z)的极点。由式(10.6-2)可见，除了系数A外，H(z)可由其零、极点确定。将零点{c1，c2}与极点{d1，d2}标在z平面上，可得到离散系统的零、极点图。例10.6-1已知某离散系统的系统函数为，|z|>0.5，画出该系统的零、极点图。解:

例10.6-1离散系统的零、极点图如图10.6-1所示。图10.6-1例10.6-1系统的零、极点图当离散系统的系统函数有原点以外的任意极点时，即式(10.6-2)中有di≠0{i=1，2}时，对应的单位脉冲响应h(n)的时宽为无限，这样的系统称为无限冲激响应系统(简称IIR系统)；当离散系统的系统函数只有原点处的极点时，即式(10.6-2)中所有di=0{i=1，2}时，对应的单位脉冲响应h(n)的时宽有限，这样的系统称为有限冲激响应系统(简称FIR系统)。FIR系统函数的一般表示式为

H(z)=(b0+b1z

1+b2z

2)=A(1

c1z

1)(1

c2z

1)由于FIR系统具有线性相位，并且没有系统稳定问题，所以得到越来越广泛的应用。(10.6-3)10.6.2系统特性系统特性由系统函数确定，是系统本身具有的特性，与激励无关。系统函数及收敛区包含系统特性的信息。用系统函数的收敛区能判断系统的因果稳定性。1.系统的因果性

一般实用的系统是具有因果性的，也称这类系统为因果系统。由因果系统的时域条件n<0时，h(n)=0；及H(z)的定义，可知因果系统的H(z)只有z的负幂项，其收敛区为RH<|z|≤∞，所以收敛区包含无穷时，必为因果系统。例10.6-2已知某系统的系统函数为，|z|>0.5，求该系统的h(n)，并判断该系统的因果性。解:

该系统的收敛区|z|>0.5包含无穷，所以是因果系统。由n<0时，h(n)=0也能得到相同结果。h(n)=(0.5)nu(n)

2.系统的稳定性一般可靠实用的系统是具有稳定性的，也称这类系统为稳定系统。由系统稳定的时域条件，可推知|h(n)|一定是随着n增加而趋于零的衰减序列，这类序列所对应的H(z)收敛区必定包含单位圆，其收敛区为RH-<|z|<RH+，且RH-<1<RH+，所以当收敛区包含单位圆时，为稳定系统。与连续时间系统当虚轴上有一阶极点时，定义系统为临界稳定的情况类似，当H(z)的单位圆上有一阶极点时，离散系统为临界稳定，临界稳定属于不稳定。

3.因果稳定系统综合上述1、2情况，当RH-<|z|≤∞，且RH-<1时，系统是因果稳定系统，意味着因果稳定的系统函数H(z)的所有极点只能分布在单位圆内，若H(z)有单位圆上或单位圆外的极点，则系统就是非稳定系统。10.7离散系统的模拟

LTI离散系统的基本运算有延时(移序)、乘法、加法，基本运算可以由基本运算单元实现，由基本运算单元可以构成LTI离散系统。因为离散系统延时器的作用与连续系统中的积分器相当，由此可得到与连续时间系统相似的模拟与信号流图，所以梅森公式也适用于离散系统。与连续系统不同的是，离散系统分为IIR系统与FIR系统，下面分别讨论两类离散系统的模拟(仿真)与信号流图。10.7.1二阶IIR系统的直接形式描述二阶IIR系统输入x(n)与输出y(n)关系的差分方程一般为

y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)=b0x(n)+b1x(n-1)+b2x(n-2)(10.7-1)对应的二阶离散系统的系统函数为(10.7-2)对比式(8.6-10)及图8.6-8的连续系统的模拟，式(10.7-2)对应的离散IIR系统模拟如图10.7-1所示。图10.7-1式(10.7-2）离散IIR系统的模拟结构将图10.7-1的延时器改为竖排，由图10.7-1可以得到式(10.7-2)另一种直接形式的模拟图，结构如图10.7-2所示。

图10.7-2式(10.7-2)IIR系统的直接Ⅱ型模拟图图10.7-2的系统模拟结构称为直接Ⅱ型，也称最少延迟网络、典范形式、正准型。通常IIR的直接形式多是指这种结构。

例10.7-1已知数字系统的系统函数H(z)为画出该系统的直接型结构。解：例10.7-1的直接型结构如图10.7-3所示。图10.7-3例10.7-1的直接型结构10.7.2二阶FIR系统的直接形式(横截型、卷积型)

二阶FIR系统的单位脉冲响应h(n)是时宽为2的有限长序列，相应的二阶FIR系统函数为H(z)=h(0)+h(1)z-1+h(2)z-2=b0+b1z-1+b2z-2(10.7-3)式中h(0)=b0，h(1)=b1，h(2)=b2其特点是系统函数H(z)无极点，因此它的网络结构一般没有反馈支路。下面介绍二阶FIR系统的基本结构形式。由式(10.7-3)得二阶FIR系统的差分方程为由式(10.7-4)可以直接画出二阶FIR系统的直接型模拟图如图10.7-4所示。图10.7-4二阶FIR系统的直接型模拟图例10.7-2已知数字系统的系统